Элективный курс по алгебре "Задачи с параметрами"
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Пояснительная записка

 Рабочая программа  элективного курса составлена  на основе авторской программы элективного курса «Задачи с параметрами» А.Г. Прудских, Т.А. Шенцевой.  При составлении рабочей программы учтены рекомендации инструктивно-методического письма «О преподавании математики  в общеобразовательных учреждениях Белгородской области».

  Образовательная программа «Задачи с параметрами» направлена   на расширение школьного курса математики, подготовку к итоговой аттестации.   Отличительной особенностью  курса является систематизация и классификация заданий с параметром и методов их решения по основным разделам курса математики 10- 11 класса. Разделы  программы свободно могут перемещаться в рамках курса, без ущерба для общей цели и результата, в зависимости от основной  программы.

•  На ЕГЭ, вступительных экзаменах, олимпиадах часто встречаются  задачи с параметрами. В школьном курсе математики эти задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому при решении таких задач у выпускников обычно возникают затруднения.  Но в государственном  стандарте образования по математике отмечается, что в ближайшем будущем задачи с параметрами будут введены в школьный курс.  Поэтому  возникла необходимость создания такой программы.

 Целью  программы является формирование и развитие у учащихся логического мышления, интеллектуальных и практических умений в области решения уравнений и  неравенств, содержащих параметр.

Задачи курса:

• систематизация знаний и умений по стержневым темам курса математики старшей школы;
• развитие творческих способностей; коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе;
•  формирование  навыков  исследовательской деятельности  учащихся; умение оценивать свои способности к математике и умению делать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения; подготовка к итоговой аттестации обучающихся.

 Элективный курс рассчитан на 2 года, один час в неделю в 10 классе. Всего 35 ч.

Один час в неделю: 11 класс. Всего 34 ч. Содержание курса предусматривает индивидуальную и коллективную работу учащихся и предполагает работу с разными источниками информации.

Требования к уровню подготовки учащихся

В результате изучения курса ученик должен

уметь 

• решать задачи обязательного и повышенного уровня сложности;
•  точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения;
•  излагать собственные рассуждения при решении задач;
•  правильно пользоваться математической символикой и терминологией;
•  применять рациональные приемы тождественных преобразований.

знать

• понятие параметра,  модуль числа;
•  алгоритмы решений задач с модулями и параметрами;
•  различные приёмы при решении показательных и комбинированных уравнений и систем;
•  решать уравнения с модулем и параметром;
•  применять различные приёмы  решения показательных и комбинированных уравнений;
• нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств.

  Результат изучения курса предполагает углубление имеющихся знаний по математике, развитие самостоятельной математической деятельности учащихся, качественную подготовку к сдаче экзамена по математике в форме ЕГЭ.

Календарно-тематическое планирование 10 кл.

Календарно-тематическое планирование 11 кл.

Содержание курса

 Параметр: понятие, общие методы решения

Основная цель-определение уравнения и неравенства  с параметром, области определения уравнения с параметром; общие приемы решения заданий с параметром. Учащимся раскрывается содержание понятия параметр, его интерпретация, основные теоремы.

Методы решения задач с параметром.

Основная цель- введение различных методов решения задач с параметром. Учащимся дается характеристика каждого метода решения задач с параметром; обоснование   выбора  метода решения. в зависимости от условия, вопроса задачи.

 Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к линейным.

Основная цель  - формирование навыка решения линейных уравнений и неравенств с параметром, а  также уравнений и неравенств, приводимых к ним. 

 Квадратные уравнения и неравенства.

 Основная цель - формирование навыка решения квадратных уравнений и неравенств с параметром, исследовать квадратный трехчлен, знаки корней в зависимости от параметра. определение квадратного трехчлена и квадратного уравнения, решения уравнений выделением полного квадрата,  уравнений по формуле, методы решения неполных квадратных уравнений.  Методы решения квадратных неравенств. В ходе практических занятий  рассматриваются задания различной степени сложности,

 Дробно-рациональные уравнения и неравенства.

Основная цель - формирование навыка решения  дробных уравнений, содержащих  параметр, различных типов и различными методами.

 Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами.

Основная цель - познакомить учащихся с графическим приемом решения заданий с параметрами, формировать умение использовать свойства функций при решении задач с параметрами. На практических занятиях рассмотреть свойства монотонности функций, ограниченности области значений, экстремальные свойства.

Тригонометрия.

Основная цель-введение методов решения  тригонометрических задач с параметром: преобразование выражений, решение уравнений и неравенств.  В ходе практических занятий  рассматриваются задания различной степени сложности,

 Показательные  уравнения и неравенства.

Основная цель -формирование навыка оценки основания степени, решения показательных уравнений  и неравенств различного вида.

Зачет.

Основная цель - подведение итогов изучения  курса «Параметр» в 10 -11классах.

Программа предусматривает: самостоятельных работ 2, зачетов - 1.

Формы и средства контроля

Контроль знаний учащихся осуществляется в форме самостоятельных работ, а также зачета.

 Критерии оценки:

• «5»- в решении нет математических ошибок,
• «4»- допущены одна ошибка или есть два – три недочёта,
• «3»- допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, «2»- допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.
• «1» - полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме.

Учебно- методические средства обучения

Литература для учащихся

      1.П.И.Горштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачи с параметрами

«Илекса» М.,2005

      2.К.П.Сикорский Дополнительные главы по курсу математики. М.,                   «Просвещение», 1996.

М.Л.Галицкий Сборник задач по алгебре 8-9 кл. М. «Просвещение», 2000.

3. С.М. Крамор. Примеры с параметрами и их  решения.М.Аркти.2001.

4.В.В.Локоть. Задачи с параметрами и их    решения.Тригонометрия.М.Аркти.2002.

5.И.Ф.Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10, 11 класса средней школы.М.1989.

      6. http://www.intellectcentre.ru – сайт издательства «Интеллект-Центр», где можно найти учебно-тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк  тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений

http://www.fipi.ru  - портал информационной поддержки ЕГ

Литература для учителя:

1.М.Я.Выгодский Справочник по элементарной математике. М. «Астель Аст», 2003

2. И.С. Петряков Математические кружки. М. « Просвещение», 1997

3. Л.Я.Фальке Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе. М. «Илекса», 2006

4. А.П.Карп Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11 кл. М., «Просвещение», 1999

5. В.В.Амелькин, В.Рабцевич. Задачи с параметром. Минск. 1996.

6. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачи с параметрами. М. «Илекса».2005.

7. Г.А.Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры.М.1989.

8. А.Х.Шахмейстер. Задачи с параметрами в ЕГЭ.С.-Петербург.М. 2004.

9.С.А.Субханкулова. Задачи спараметроми. Илекса.2010

10. http://www.internet-scool.ru  - сайт Интернет – школы издательства Просвещение. Учебный план разработан на основе федерального базисного учебного плана для общеобразовательных учреждений РФ и представляет область знаний «Математика». На сайте представлены Интернет-уроки по алгебре и началам анализа и геометрии, включают подготовку сдачи ЕГЭ.  

http://www.legion.ru – сайт издательства «Легион»

http://www.intellectcentre.ru – сайт издательства «Интеллект-Центр», где можно найти учебно-тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк  тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений

http://www.fipi.ru  - портал информационной поддержки

Оборудование

1. Портреты выдающихся деятелей математики
2. Компьютер.
3. Мультимедиапроектор.
4. Экран навесной.
5. Доска магнитная.
6. Комплект инструментов классных: линейка, транспортир, угольник (300, 600), угольник (450, 450), циркуль.
7. Шкаф секционный для хранения литературы и демонстрационного оборудования

Самостоятельная работа №1             10 кл

Вариант 1

1. .Решите уравнение        a+3ax- (a+2) =0

2.  Найдите все значения параметра а, при  которых сумма корней и сумма квадратов корней уравнения равны2ах +2а -1=0

.

Вариант 2

1. .Решите уравнение        

2.  Найдите все значения параметра а, при  которых оба корня  уравнения больше -1.

Самостоятельная работа №2

Вариант 1

1..При каких значениях  параметра а  неравенство (а-1)-4ха+4 справедливо при всех  х0 ?

2..Решить неравенство при всех значениях параметра  а.

Вариант 2

1..При каких значениях  параметра а  неравенство (а+4)- 3ах +2 -5а0

справедливо при всех  х0 ?

2..Решить неравенство при всех значениях параметра  а 6.

Самостоятельная работа №3

Вариант 1

1..При каких значениях  параметра а  уравнение -(а+0,5)+0,5а=0 имеет ровно три корня на отрезке ?

2. При каких значениях  параметра а  число π является периодом функции f(х)= ?

3. При каких значениях  параметра а  уравнения являются равносильными , 4 а.

Вариант 2

1..При каких значениях  параметра а  уравнение

2(+1) +1=0 не имеет решений?

2. Найдите наименьшее положительное значение параметра а , при котором функция  f(х)=3а- 2  ) является нечетной?

3.Сколько решений имеет уравнение   интервале ?

Самостоятельная работа №1     11класс

Вариант 1

1. Найти все значения параметра а , при которых функция

F (х) = 2+48ах +6х-5 возрастает на всей числовой прямой.

    2 .При каких значениях  параметра а наибольшее значение функции

f(х)=+5а+2а на отрезке  достигается в двух различных точках?

3.В пирамиде АВСД проводятся сечения параллельные ребрам АД и ВС. В каком отношении сечение наибольшей площади делит ребро АС ?

        Вариант 2

1.При каких значениях параметра а из точки М(а,-1) можно провести три различные касательные к графику функции  f(х)=?

2. При каких значениях  параметра а наименьшее значение функции

f(х)=   на промежутке  достигается на правом конце ?

3.В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар..Второй шар , имеющий радиус 1, касается первого шара и всех боковых граней пирамиды. При каком значении радиуса первого шара пирамида имеет наименьший объем  ?

        Самостоятельная работа №2

        Вариант 1

1.Найдите все  значения параметра а при которых множество решений неравенства  содержит  точку х=1.

2. Для каждого значения  с решите неравенство

        Вариант 2

1 Найдите  все значения параметра а, при котором уравнение

 =  имеет два различных решения.

2. Для каждого значения  с решите  неравенство  с -2(с-1)

Зачёт

        Вариант 1

2. Найти все значения параметра а , при которых функция

F (х) = 2+48ах +6х-5 возрастает на всей числовой прямой.

    2 .При каких значениях  параметра а наибольшее значение функции

f(х)=+5а+2а на отрезке  достигается в двух различных точках?

3.В пирамиде АВСД проводятся сечения параллельные ребрам АД и ВС. В каком отношении сечение наибольшей площади делит ребро АС ?

        Вариант 2

1.При каких значениях параметра а из точки М(а,-1) можно провести три различные касательные к графику функции  f(х)=?

2. При каких значениях  параметра а наименьшее значение функции

f(х)=   на промежутке  достигается на правом конце ?

3.В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар..Второй шар , имеющий радиус 1, касается первого шара и всех боковых граней пирамиды. При каком значении радиуса первого шара пирамида имеет наименьший объем

Пояснительная записка

 Рабочая программа  элективного курса составлена  на основе авторской программы элективного курса «Задачи с параметрами» А.Г. Прудских, Т.А. Шенцевой.  При составлении рабочей программы учтены рекомендации инструктивно-методического письма «О преподавании математики  в общеобразовательных учреждениях Белгородской области».

  Образовательная программа «Задачи с параметрами» направлена   на расширение школьного курса математики, подготовку к итоговой аттестации.   Отличительной особенностью  курса является систематизация и классификация заданий с параметром и методов их решения по основным разделам курса математики 10- 11 класса. Разделы  программы свободно могут перемещаться в рамках курса, без ущерба для общей цели и результата, в зависимости от основной  программы.

•  На ЕГЭ, вступительных экзаменах, олимпиадах часто встречаются  задачи с параметрами. В школьном курсе математики эти задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому при решении таких задач у выпускников обычно возникают затруднения.  Но в государственном  стандарте образования по математике отмечается, что в ближайшем будущем задачи с параметрами будут введены в школьный курс.  Поэтому  возникла необходимость создания такой программы.

 Целью  программы является формирование и развитие у учащихся логического мышления, интеллектуальных и практических умений в области решения уравнений и  неравенств, содержащих параметр.

Задачи курса:

• систематизация знаний и умений по стержневым темам курса математики старшей школы;
• развитие творческих способностей; коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе;
•  формирование  навыков  исследовательской деятельности  учащихся; умение оценивать свои способности к математике и умению делать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения; подготовка к итоговой аттестации обучающихся.

 Элективный курс рассчитан на 2 года, один час в неделю в 10 классе. Всего 35 ч.

Один час в неделю: 11 класс. Всего 34 ч. Содержание курса предусматривает индивидуальную и коллективную работу учащихся и предполагает работу с разными источниками информации.

Требования к уровню подготовки учащихся

В результате изучения курса ученик должен

уметь 

• решать задачи обязательного и повышенного уровня сложности;
•  точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения;
•  излагать собственные рассуждения при решении задач;
•  правильно пользоваться математической символикой и терминологией;
•  применять рациональные приемы тождественных преобразований.

знать

• понятие параметра,  модуль числа;
•  алгоритмы решений задач с модулями и параметрами;
•  различные приёмы при решении показательных и комбинированных уравнений и систем;
•  решать уравнения с модулем и параметром;
•  применять различные приёмы  решения показательных и комбинированных уравнений;
• нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств.

  Результат изучения курса предполагает углубление имеющихся знаний по математике, развитие самостоятельной математической деятельности учащихся, качественную подготовку к сдаче экзамена по математике в форме ЕГЭ.

Календарно-тематическое планирование 10 кл.

Календарно-тематическое планирование 11 кл.

Содержание курса

 Параметр: понятие, общие методы решения

Основная цель-определение уравнения и неравенства  с параметром, области определения уравнения с параметром; общие приемы решения заданий с параметром. Учащимся раскрывается содержание понятия параметр, его интерпретация, основные теоремы.

Методы решения задач с параметром.

Основная цель- введение различных методов решения задач с параметром. Учащимся дается характеристика каждого метода решения задач с параметром; обоснование   выбора  метода решения. в зависимости от условия, вопроса задачи.

 Линейные уравнения и неравенства, уравнения и неравенства приводимые к линейным.

Основная цель  - формирование навыка решения линейных уравнений и неравенств с параметром, а  также уравнений и неравенств, приводимых к ним. 

 Квадратные уравнения и неравенства.

 Основная цель - формирование навыка решения квадратных уравнений и неравенств с параметром, исследовать квадратный трехчлен, знаки корней в зависимости от параметра. определение квадратного трехчлена и квадратного уравнения, решения уравнений выделением полного квадрата,  уравнений по формуле, методы решения неполных квадратных уравнений.  Методы решения квадратных неравенств. В ходе практических занятий  рассматриваются задания различной степени сложности,

 Дробно-рациональные уравнения и неравенства.

Основная цель - формирование навыка решения  дробных уравнений, содержащих  параметр, различных типов и различными методами.

 Графические интерпретации. Свойства функций в задачах с параметрами.

Основная цель - познакомить учащихся с графическим приемом решения заданий с параметрами, формировать умение использовать свойства функций при решении задач с параметрами. На практических занятиях рассмотреть свойства монотонности функций, ограниченности области значений, экстремальные свойства.

Тригонометрия.

Основная цель-введение методов решения  тригонометрических задач с параметром: преобразование выражений, решение уравнений и неравенств.  В ходе практических занятий  рассматриваются задания различной степени сложности,

 Показательные  уравнения и неравенства.

Основная цель -формирование навыка оценки основания степени, решения показательных уравнений  и неравенств различного вида.

Зачет.

Основная цель - подведение итогов изучения  курса «Параметр» в 10 -11классах.

Программа предусматривает: самостоятельных работ 2, зачетов - 1.

Формы и средства контроля

Контроль знаний учащихся осуществляется в форме самостоятельных работ, а также зачета.

 Критерии оценки:

• «5»- в решении нет математических ошибок,
• «4»- допущены одна ошибка или есть два – три недочёта,
• «3»- допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, «2»- допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.
• «1» - полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме.

Учебно- методические средства обучения

Литература для учащихся

      1.П.И.Горштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачи с параметрами

«Илекса» М.,2005

      2.К.П.Сикорский Дополнительные главы по курсу математики. М.,                   «Просвещение», 1996.

М.Л.Галицкий Сборник задач по алгебре 8-9 кл. М. «Просвещение», 2000.

3. С.М. Крамор. Примеры с параметрами и их  решения.М.Аркти.2001.

4.В.В.Локоть. Задачи с параметрами и их    решения.Тригонометрия.М.Аркти.2002.

5.И.Ф.Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10, 11 класса средней школы.М.1989.

      6. http://www.intellectcentre.ru – сайт издательства «Интеллект-Центр», где можно найти учебно-тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк  тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений

http://www.fipi.ru  - портал информационной поддержки ЕГ

Литература для учителя:

1.М.Я.Выгодский Справочник по элементарной математике. М. «Астель Аст», 2003

2. И.С. Петряков Математические кружки. М. « Просвещение», 1997

3. Л.Я.Фальке Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе. М. «Илекса», 2006

4. А.П.Карп Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11 кл. М., «Просвещение», 1999

5. В.В.Амелькин, В.Рабцевич. Задачи с параметром. Минск. 1996.

6. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачи с параметрами. М. «Илекса».2005.

7. Г.А.Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры.М.1989.

8. А.Х.Шахмейстер. Задачи с параметрами в ЕГЭ.С.-Петербург.М. 2004.

9.С.А.Субханкулова. Задачи спараметроми. Илекса.2010

10. http://www.internet-scool.ru  - сайт Интернет – школы издательства Просвещение. Учебный план разработан на основе федерального базисного учебного плана для общеобразовательных учреждений РФ и представляет область знаний «Математика». На сайте представлены Интернет-уроки по алгебре и началам анализа и геометрии, включают подготовку сдачи ЕГЭ.  

http://www.legion.ru – сайт издательства «Легион»

http://www.intellectcentre.ru – сайт издательства «Интеллект-Центр», где можно найти учебно-тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк  тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений

http://www.fipi.ru  - портал информационной поддержки

Оборудование

1. Портреты выдающихся деятелей математики
2. Компьютер.
3. Мультимедиапроектор.
4. Экран навесной.
5. Доска магнитная.
6. Комплект инструментов классных: линейка, транспортир, угольник (300, 600), угольник (450, 450), циркуль.
7. Шкаф секционный для хранения литературы и демонстрационного оборудования

Самостоятельная работа №1             10 кл

Вариант 1

1. .Решите уравнение        a+3ax- (a+2) =0

2.  Найдите все значения параметра а, при  которых сумма корней и сумма квадратов корней уравнения равны2ах +2а -1=0

.

Вариант 2

1. .Решите уравнение        

2.  Найдите все значения параметра а, при  которых оба корня  уравнения больше -1.

Самостоятельная работа №2

Вариант 1

1..При каких значениях  параметра а  неравенство (а-1)-4ха+4 справедливо при всех  х0 ?

2..Решить неравенство при всех значениях параметра  а.

Вариант 2

1..При каких значениях  параметра а  неравенство (а+4)- 3ах +2 -5а0

справедливо при всех  х0 ?

2..Решить неравенство при всех значениях параметра  а 6.

Самостоятельная работа №3

Вариант 1

1..При каких значениях  параметра а  уравнение -(а+0,5)+0,5а=0 имеет ровно три корня на отрезке ?

2. При каких значениях  параметра а  число π является периодом функции f(х)= ?

3. При каких значениях  параметра а  уравнения являются равносильными , 4 а.

Вариант 2

1..При каких значениях  параметра а  уравнение

2(+1) +1=0 не имеет решений?

2. Найдите наименьшее положительное значение параметра а , при котором функция  f(х)=3а- 2  ) является нечетной?

3.Сколько решений имеет уравнение   интервале ?

Самостоятельная работа №1     11класс

Вариант 1

1. Найти все значения параметра а , при которых функция

F (х) = 2+48ах +6х-5 возрастает на всей числовой прямой.

    2 .При каких значениях  параметра а наибольшее значение функции

f(х)=+5а+2а на отрезке  достигается в двух различных точках?

3.В пирамиде АВСД проводятся сечения параллельные ребрам АД и ВС. В каком отношении сечение наибольшей площади делит ребро АС ?

        Вариант 2

1.При каких значениях параметра а из точки М(а,-1) можно провести три различные касательные к графику функции  f(х)=?

2. При каких значениях  параметра а наименьшее значение функции

f(х)=   на промежутке  достигается на правом конце ?

3.В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар..Второй шар , имеющий радиус 1, касается первого шара и всех боковых граней пирамиды. При каком значении радиуса первого шара пирамида имеет наименьший объем  ?

        Самостоятельная работа №2

        Вариант 1

1.Найдите все  значения параметра а при которых множество решений неравенства  содержит  точку х=1.

2. Для каждого значения  с решите неравенство

        Вариант 2

1 Найдите  все значения параметра а, при котором уравнение

 =  имеет два различных решения.

2. Для каждого значения  с решите  неравенство  с -2(с-1)

Зачёт

        Вариант 1

2. Найти все значения параметра а , при которых функция

F (х) = 2+48ах +6х-5 возрастает на всей числовой прямой.

    2 .При каких значениях  параметра а наибольшее значение функции

f(х)=+5а+2а на отрезке  достигается в двух различных точках?

3.В пирамиде АВСД проводятся сечения параллельные ребрам АД и ВС. В каком отношении сечение наибольшей площади делит ребро АС ?

        Вариант 2

1.При каких значениях параметра а из точки М(а,-1) можно провести три различные касательные к графику функции  f(х)=?

2. При каких значениях  параметра а наименьшее значение функции

f(х)=   на промежутке  достигается на правом конце ?

3.В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар..Второй шар , имеющий радиус 1, касается первого шара и всех боковых граней пирамиды. При каком значении радиуса первого шара пирамида имеет наименьший объем