рабочая программа элективный курс математика-9
рабочая программа по алгебре (9 класс) по теме

Равновеликие и равносоставленные многоугольники

Пояснительная записка

В курсе планиметрии встречаются задачи, связанные с «разрезанием фигуры на части и перекладыванием этих частей» при вычислении площадей многоугольников. В основе этого метода лежит понятие равносоставленности. Параллелограмм разрезанием и перекладыванием сводится к прямоугольнику, треугольник – к параллелограмму. Как правило, задачи на разрезание не имеют универсального метода решения, поэтому учащиеся могут в полной мере проявить свою интуицию и способность к творческому мышлению. Задачи на разрезание занимательны и доступны. В ходе их решения формируется представление о таких важных свойствах площадей, как равновеликость и равносоставленность.

Из определения и свойств площади следует, что любые два равносоставленных многоугольника равновелики. Перед учащимися можно поставить проблему: верно ли обратное утверждение, то есть верно ли, что любые два равновеликих многоугольника равносоставленны? Это утверждение вошло в историю математики как теорема Бояи-Гервина. Доказательство Гервина не очень сложное. Используя определенную группу задач на разрезание, учащиеся сами могут доказать эту классическую теорему. Задачи на разрезание имеют и практическую направленность. К ним относятся, в частности, задачи на разрезание на равновеликие части.

Основная цель курса – познакомить учащихся с задачами на разрезание, которые способствуют развитию логического мышления, интуиции и смекалки, формируют понятия равновеликости и равносоставленности геометрических фигур, выявляют свойства последних, имеют практические приложения.

Методические рекомендации

В начале первого занятия необходимо вспомнить с учащимися определение многоугольника и основные свойства площади. Далее полезно дать определения равновеликих и равносоставленных фигур, поскольку не во всех учебниках они присутствуют. Исторический материал можно изложить либо перед практическим занятием, либо излагать его по мере изучение остального материала.

Курс состоит из трех частей. Первая часть способствует формированию понятия равносоставленных фигур и изучению их свойств. Она является подготовительной для доказательства теоремы Бояи-Гервина, включает в себя занимательные задачи и софизмы. Здесь учащимся можно предложить самим придумать аналогичные задачи.

Вторая часть посвящена изучению доказательства теоремы Бояи-Гервина доступным школьнику методом.

Двум группам учащихся можно поручить самостоятельно изучить материал, предшествующей теореме. Первая группа готовит сообщение по задачам 1-3. Вторая – доказывает теоремы 2-3. В заключение учитель доказывает лемму и теорему Бояи-Гервина.

Третья часть курса посвящена равновеликим фигурам. В ней рассмотрены задачи, связанные с практическим построением прямых, делящих фигуру на две равновеликие части. Ряд задач можно предложить для самостоятельного решения.

На итоговом занятии учащиеся могут продемонстрировать решение задач, предложенных для самостоятельного решения, придуманных самими учащимися или подобранными ими из рекомендованной литературы, но не вошедшие в данный курс, а также математические софизмы, связанные с данной темой и исторический материал.

Учебно-тематическое планирование

Количество часов

Всего 8 часов.

Учебно-тематический план

Дидактические материалы курса

1. Равносоставленные многоугольники

Рассмотрим некоторый многоугольник F. Пусть M и N – какие-нибудь точки, лежащие на сторонах многоугольника. Если все точки ломаной, соединяющей точки M и N, кроме самих точек M и N, лежат внутри многоугольника, то говорят, что ломаная разбивает многоугольник на два многоугольника. На рис. 1 многоугольник F разбит на два многоугольника F1 и F2, а на рис. 2 шестиугольник F разбит на 4 треугольника.

                         рис. 1                                  рис. 2

Пусть многоугольник F разбит на многоугольники F1, F2, …, Fk. Рассмотрим какие-нибудь многоугольники F'1, F'2, …, F'k, соответственно равные многоугольникам F1, F2, …, Fk. Говорят, что многоугольник F можно разрезать на многоугольники F1, F2, …, Fk, а из многоугольников F'1, F'2, …, F'k можно составить многоугольник F.

Отметим одно из основных свойств равносоставленных многоугольников. Справедлива

Теорема 1. Если многоугольник F1 равносоставлен с многоугольником F и многоугольник F2 равносоставлен с многоугольником F, то многоугольники F1 и F2 равносоставлены.

Задачи, в которых требуется разрезать данный многоугольник на какие-то определенные части (многоугольники) или, наоборот, составить из данных многоугольников новый многоугольник с заданными свойствами, называют задачами на разрезание многоугольников.

Если один многоугольник можно разрезать на части и составить из них другой многоугольник, то такие многоугольники называют равносоставленными.

Плоские фигуры, имеющие равные площади, называют равновеликими.

Примерами равновеликих многоугольников могут служить любые равные многоугольники. Обратное утверждение, конечно, неверно: равновеликие многоугольники могут быть неравными. Так, прямоугольник, стороны которого 1 см и 4 см и квадрат, стороны которого равны 2 см равновелики (площадь каждого из них равна 4 см2), но они, очевидно, не равны друг другу.

По свойству площади любые два равносоставленные многоугольника равновелики. Задачи на разрезание демонстрируют справедливость этого утверждения.

Задачи на разрезание фигур возникли в глубокой древности. Уже в VII-V вв. до н.э. в Индии в книге «Правила веревки» рассматриваются задачи на перекраивание фигуры, состоящей из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат и перекраивание прямоугольника в квадрат.

Позднее, примерно во II в. до н.э., в «Началах» Евклида приводится решение тех же задач, но уже с использованием метрических отношений в прямоугольном треугольнике. Первый трактат, в котором исследовались способы решения задач на разрезание, написал замечательный астроном и математик из Хорасана Абу-л-Вефа (940-998 гг.).

Рассмотрим задачи, которые, по сути, являются составляющими вывода формул площадей параллелограмма, треугольника и трапеции.

Задача 1. Доказать, что трапеция равносоставлена с параллелограммом, основание которого равно средней линии трапеции, а высота – высоте трапеции.

Решение приведено на рисунке 3.

рис. 3

Задача 2. Нарисуйте параллелограмм. Покажите, на какие две части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них прямоугольник.

Задача 3. Нарисуйте трапецию. Покажите: а) на какие две части нужно ее разрезать, чтобы затем сложить из них треугольник; б) на какие три части нужно ее разрезать, чтобы затем сложить из них прямоугольник.

Задача 4. Разрежьте равнобедренный треугольник на такие части, чтобы из них можно было сложить: а) прямоугольник; б) параллелограмм.

Задача 5. Нарисуйте прямоугольник, одна сторона которого в два раза больше другой. Покажите: а) на какие две части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них прямоугольный треугольник; б) на какие три части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них квадрат.

Задача 6. Разрежьте прямоугольник на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий ему квадрат.

а)                                                 б)

в)                                        г)                                д)

рис. 4

Решение задачи проиллюстрировано на рис. 4. Площадь прямоугольника равна ab (рис. 4а), значит сторона равновеликого ему квадрата равна . Построим отрезок, равный стороне квадрата (рис. 4б). Затем отложим этот отрезок на больших сторонах прямоугольного треугольника и проведем прямые, как показано на рис. 4в. На рис. 4г обозначены линии разреза и способ перекраивания прямоугольника в квадрат. В итоге мы получили квадрат (рис 4д) равновеликий данному прямоугольнику.

Задачи на разрезание допускают дальнейшее усложнение: можно разрезать на части несколько данных многоугольников и составлять из них новый многоугольник. Или, наоборот, можно разрезать данный многоугольник на части и составлять из них несколько новых многоугольников. Эти задачи, обычно, формулируют так: доказать, что многоугольник F равносоставлен с многоугольниками F1, F2, …, Fk.

Рассмотрим, например, такую задачу.

Задача 7. Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, поостренными на катетах.

Сформулированное в этой задаче утверждение представляет собой знаменитую теорему Пифагора (VI в. до н.э.). В настоящее время известно более 100 ее доказательств. Рис. 5 иллюстрирует одно из них. Это доказательство было опубликовано лишь в 1873 году. Его автор - лондонский биржевой маклер Генри Перичел - был в таком восторге от своего открытия, что приказал отпечатать схему разрезания квадрата на своей визитной карточке.

Подумайте и объясните, каким образом разделен на 4 равные части квадрат, построенный на большем катете.

Рисунок 6 иллюстрирует сразу два доказательства теоремы Пифагора:

1. ;
2. .

       рис.6

Среди всевозможных задач на разрезание многоугольников следует отметить задачу о разрезании квадрата на меньшие квадраты, любые два из которых не равны друг другу. Эта простая по формулировке задача оказалась в действительности очень трудной. До конца 30-х годов ХХ века многие геометры считали, что она вообще не имеет решения. Лишь в 1939 году немецкий математик Р. Шпраг сумел разбить квадрат на 55 попарно неравных квадратов. Приблизительно в это же время группа ученых Кембриджского университета в Англии установила глубокую связь между задачей о разрезании квадрата и теорией электрических цепей в физике. Об этом можно прочитать в книге Б.А. Кордемского и Н.В. Русалева "Удивительный квадрат" (М.: Столетие, 1994).

Задачи на разрезание имеют практическое приложение. Рассмотрим, например, такую задачу.

Задача 8. У хозяйки было два клетчатых коврика: один размером 60х60 см, другой – 80х80 см (рис. 7). Она решила сделать из них один клетчатый коврик размером 100х100 см. Мастер взялся выполнить эту работу и пообещал, что каждый коврик будет разрезан не более чем на две части и при этом не будет разрезана ни одна клетка. Обещание свое он сдержал. Как он поступил?

Решение представлено на рисунке 7.

рис. 7

Следующая задача на разрезание иллюстрирует известный парадокс.

Задача 9. Квадрат размером 8х8 разрезали на 4 части, как показано на рисунке 8. Из этих частей составили прямоугольник размером 13х5. Площадь квадрата 64, а прямоугольника 65. Значит, 64=65? Объясните, где допущена ошибка.

рис. 8

Упражнение. Придумайте или найдите в рекомендуемой литературе задачи на разрезание, имеющие практическое приложение и математические софизмы, связанные с ними.

Итак, мы убедились на практических задачах, что любые два равносоставленных многоугольника равновелики. А верно ли обратное утверждение? Будут ли равносоставленными любые два равновеликих многоугольника? Об этом пойдет речь в следующей части.

2. Теорема Бояи-Гервина

Задача 1. Докажите, что любой треугольник равносоставлен некоторому определенному параллелограмму, имеющему такое же основание и высоту, равную половине высоты треугольника.

Решение. В треугольнике ABC проведем среднюю линию DE и продолжим ее на отрезок EF, равный DE. Так как DF=2DE=AB и DFAB, то ADFB - параллелограмм. Треугольники DCE и EFB равны. Следовательно, треугольник ABC и параллелограмм ADFB равносоставлены.

   рис. 9

Задача 2. Всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником.

Решение. Пусть AB – наибольшая сторона треугольника ABC, CD – опущенная на нее высота. Точка D находится между A и B. Через середину CD – точку K – проведем прямую, параллельную AB и опустим на нее перпендикуляры AE и BF. Получим прямоугольник AEFB, который равносоставлен с треугольником ABC. Действительно, треугольники, помеченные цифрами 1 и 2, попарно равны между собой. Каждая из фигур ABC и AEFB состоит из заштрихованной трапеции и двух треугольников 1 и 2.

Теорема 2. Доказать, что два равновеликих параллелограмма, имеющих общее основание, равносоставлены.

Доказательство. Пусть ABCD и ABEF – два параллелограмма, имеющие общее основание AB и одинаковую меру площади.

рис. 11

Тогда высоты параллелограммов одинаковы и отрезки DC и EF лежат на одной прямой. На прямой AB отложим ряд отрезков BB1, B1B2, B2B3, …, AA1, A1A2, A2A3, … равных AB и через каждую точку деления проведем отрезки, равные по длине и параллельные AD и AF. Тогда полоса между параллельными прямыми AB и DE разобьется на ряд многоугольников. Каждый из этих многоугольников при параллельном переносе на расстояние, равное AB, и параллельно AB совмещается с другим, равным ему, многоугольником. Равные многоугольники отмечены одинаковыми цифрами. Остается заметить, что каждый из параллелограммов ABCD и ABEF составлены из попарно равных многоугольников. Следовательно, они равносоставлены.

Теорема 3. Два прямоугольника, имеющих одинаковую меру площади, равносоставлены.

рис. 12

Доказательство. Пусть ABCD и EFGH − два прямоугольника одинаковой площади. Пусть AB – наибольший из четырех отрезков AB, BC, EF и FG. Продолжим отрезок GH за H и на этой прямой радиусом, равным AB, сделаем засечку из точки E (так как ABEH, то окружность радиуса AB с центром в точке E будет с прямой GH иметь общую точку). Пусть EL=AB. На отрезке HL отложим LK=EF, получим параллелограмм EFKL, который равновелик прямоугольнику EFGH. По теореме 2 EFGH и EFKL равносоставлены. С другой стороны, EFKL равновелик с прямоугольником ABCD. Учитывая при этом, что AB=EL, по теореме 2 ABCD равносоставлен с EFKL. Таким образом, данные прямоугольники равносоставлены с параллелограммом EFKL и в силу теоремы 1 они равносоставлены, что и требовалось доказать.

Задача 3. Пусть задан треугольник ABC и отрезок PQ. Докажите, что всегда можно построить прямоугольник PQMN, равновеликий данному треугольнику.

Указание. Для решения задачи достаточно выразить сторону прямоугольника MN через сторону и соответствующую высоту треугольника ABC, а затем построить отрезок MN по полученной формуле.

Лемма. Всякий многоугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником.

Доказательство. Всякий многоугольник можно разбить на конечное число треугольников. Обозначим их 1, 2, …, n. Возьмем далее произвольный отрезок AB и в его концах восстановим перпендикуляры AC и BD. Проведем отрезок A1B1, параллельный отрезку AB, таким образом, чтобы площадь прямоугольника ABB1A1 была равна площади треугольника 1. Согласно задаче 2 треугольник 1 равносоставлен с некоторым прямоугольником, который, в свою очередь, равновелик с прямоугольником ABB1A1 и, следовательно, по теореме 3 равносоставлен с ним. По теореме 1 прямоугольник ABB1A1 и треугольник 1 равносоставлены.

Аналогично проводим A2B2 параллельно AB так, что A1B1B2A2 равновелик с треугольником 2 и с ним равносоставлен. В результате получим прямоугольник ABBnAn, равносоставленный с данным многоугольником.

Теорема Бояи-Гервина. Два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Доказательство. Согласно лемме каждый из многоугольников равносоставлен с некоторым прямоугольником. Полученные два прямоугольника имеют одинаковую площадь и, следовательно, равносоставлены (теорема 3). Таким образом, по теореме 1 два исходных многоугольника равносоставлены.

Впервые эта теорема была доказана в 1832 году венгерским математиком Я. Бояи, а в 1833 году передоказана немецким математиком П. Гервином.

Естественно возникает вопрос: верно ли, что равновеликие многогранники являются равносоставленными? Сформулированный вопрос является третьей проблемой Гильберта.

3. Равновеликие многоугольники

Задачи на равновеликость, быть может, являются самыми древними. Поскольку именно операция деления площади земельного участка на равновеликие части более всего занимала умы египетских землемеров.

Рассмотрим задачи, связанные с делением треугольника на две равновеликие части.

Задача 1. В треугольнике АВС проведите прямую параллельную ВС так, что треугольник разделится на две равновеликие части.

Решение. Пусть EF – искомая прямая. Треугольники ABC и AEF подобны. Так как , то коэффициент подобия равен , то есть  и . Следовательно, отрезок AF равен катету равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна AC.

Задача 2. Внутри треугольника ABC укажите все точки M, для которых .

Решение. Так как у искомого треугольника BMC и данного треугольника ABC общее основание BC, то отношение их площадей равно отношению их высот. Следовательно, M – любая точка средней линии M1M2 треугольника ABC.

Задача 3. В треугольнике ABC проведите прямую, перпендикулярную BC так, чтобы треугольник разделился на две равновеликие части.

Решение. Пусть EF – искомая прямая, то есть EFBC и . Проведем высоту AH. Треугольники AHC и EFC подобны.

 Остается построить отрезок .

Задача 4. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике  , где О – точка пересечения диагоналей, то .

Упражнение. Сформулируйте и докажите обратное утверждение из задачи 4.

Задача 5. Через данную точку М, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, проведите прямую, которая разделит этот треугольник на две равновеликие фигуры.

Решение. Если точка совпадает с вершиной треугольника, то искомой прямой является, очевидно, медиана, проведенная из этой вершины. Медиана будет искомой прямой и в случае, если точка М является серединой одной из сторон.

Предположим, что точка М лежит, например, на стороне АС треугольника и ближе к А, чем к С. Рассмотрим два способа построения искомой прямой.

Первый способ. Пусть В1 – середина АС треугольника АВС, М – внутренняя точка отрезка АВ1. Проведем медиану АА1 треугольника и через вершину А проведем прямую, параллельную МА1, пересекающую ВС в точке Х. Тогда МХ – искомая прямая, так как .

Второй способ. Через точку В1 – середину отрезка АС – проведем прямую В1Х, параллельную прямой МВ. Тогда в силу того, что , где Р – точка пересечения МХ и ВВ1, МХ – искомая прямая.

Задача 6. Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD точка E – середина диагонали BD. Проведите через точку E прямую, параллельную АС и пересекающую сторону СD в точке Х. Докажите, что АХ делит четырехугольник на две равновеликие части.

Указание: обоснуйте равенство площадей четырехугольников АЕСВ и АЕСD.

рис. 19

Задача 7. Пусть АH – высота треугольника АВС, MN – серединный перпендикуляр к стороне ВС. Докажите, что HN делит треугольник АВС на две равновеликие фигуры.

рис. 20

Задача 8. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника АВС опущены перпендикуляры на другие стороны. Докажите, что площадь образовавшегося шестиугольника составляет половину площади треугольника АВС.

Указание. М1М2М3 – середины сторон треугольника АВС, О – точка пересечения высот треугольника М1М2М3. Докажите, что половина площади шестиугольника M1QM2RM3P равна площади треугольника М1М2М3.

Задача 9. Через точку М, лежащую на стороне выпуклого четырехугольника, провести прямую, делящую его на две равновеликие части.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ 

В результате изучения данного курса ученик должен   уметь

-  Самостоятельно изучать и решать предложенные задачи с последующей презентацией

- Конструировать задачи на изучаемою тему с  последующей презентацией

Литература

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса; учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: «Просвещение», 1996
2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математические встречи. Часть 1. - Смоленск: СГПИ, 1994
3. Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. - М.-Л.: Гостехиздат, 1956
4. Дьюдонне Г.Э. 520 головоломок. - М.: Мир, 1975
5. Екимова Н.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. - М: МЦИМО, 2002
6. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. - М.: Наука, 1978
7. Лингрен Г. Занимательные задачи на разрезание. - М.: Мир, 1977
8. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы. - М.: Просвещение, 2002

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы. - М.: Дрофа, 1977.