Презентация для подготовки к ЕГЭ по математике В 14
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

Тип задания : Задача на составление уравнения Характеристика задания : Традиционная «текстовая» задача (на движение, работу и т.п.), сводящаяся к составлению и решению уравнения Комментарий : В качестве неизвестной, как правило, лучше выбирать искомую величину. Составленное уравнение является рациональным и сводится в большинстве случаев к линейному или квадратному 2

Слайд 3

3 1. Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого ему навстречу из города В выехал второй автомобиль со скоростью 65 км/ч. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? (ответ дать в километрах) Ответ: 240 Решение Через час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало равно 453 – 60 = 375 (км), поэтому автомобили встретятся через время t = 375/(60 + 65) = 3 (ч) Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 4 ч и проедет 60·4 = 240 (км)

Слайд 4

2 . Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого пешехода на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 м? Ответ: 12 Решение Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 м = 0,3 км, находим по формуле t = 0,3/1,5 = 0,2 (ч) 0,2 ч = 12 минут 4

Слайд 5

3 . Теплоход отошел от пристани одновременно с плотом и прошел вниз по течению 42 км. Сделав остановку на 1 час, он двинулся обратно вверх по реке. Пройдя 12 км, теплоход встретился с плотом. Во сколько раз собственная скорость теплохода больше скорости течения реки, если скорость течения реки равна 4 км/ч? 5 Ответ: 2 Решение Пусть x км/ч – собственная скорость теплохода, тогда ( х + 4) км/ч – скорость теплохода по течению, ( х – 4) км/ч – скорость теплохода против течения. К моменту встречи с теплоходом плот пройдет 30 км за 30/4 = 7,5 часов, 42/( х + 4) + 1 + 12/( х – 4) (ч) - время, которое теплоход находился в пути до встречи, Получаем уравнение: 42/( х + 4) + 1 + 12/( х – 4) = 7,5 х 1 = 2,75 (км/ч) - не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость течения реки равна 4 км/ч, х 2 = 8 (км/ч) Значит собственная скорость теплохода равна 8 км/ч и 8 : 4 = 2, т.е. в 2 раза собственная скорость теплохода больше скорости течения

Слайд 6

4 . Из одной точки круговой трассы, длина которой 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. V 1 = 80 км/ч и через 40 минут после старта он опережает второй автомобиль на один круг. Найти V 2 Ответ: 59 Решение Пусть V 2 = х (км/ч), 40 мин = 2/3 часа, тогда 14/(80 – х ) = 2/3, откуда 160 – 2х = 42, х = 59 (км/ч) 6

Слайд 7

5 . Теплоход, собственная скорость которого равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается обратно в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длилась 5 ч, в исходный пункт теплоход возвращается через 30 ч после отплытия от него. Сколько километров прошел теплоход за вест рейс? 7 Ответ: 616 Решение Пусть S = 2х (км) 25 + 3 =28 (км/ч) – скорость теплохода по течению, 25 – 3 = 22 (км/ч) – скорость теплохода против течения, х/28 (ч) – время движения по течению, х/22 (ч) – время движения против течения, тогда х /28 + х /22 + 5 = 30, откуда х = 308, а S = 616 (км)

Слайд 8

8 6 . Теплоход проходит от пристани А до пристани В по течению реки за 3 ч, а против течения – за 4 ч. За сколько часов проплывет это расстояние плот? Ответ: 24 Решение Пусть х км/ч – собственная скорость теплохода, у км/ч – скорость плота (течения), S км – путь АВ, тогда по условию задачи необходимо найти S /у - ? Из условия задачи: S = 3( х + у) и S = 4( х – у), значит 3( х + у) = 4( х – у), х = 7у S = 3(7у + у) = 24у S /у = 24у/у = 24 (ч)

Слайд 9

7 . Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со скоростью 24 км/ч. Найти среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути 9 Ответ: 16 Решение Пусть 3 S (км) – протяженность всей трассы, тогда t 1 = S/12 (ч), t 2 = S/1 6 (ч), t 3 = S/2 4 (ч), значит t = S/12 + S/1 6 + S/2 4 = 9 S /48 (ч), и тогда V ср = 3 S : 9 S/ 48 = 3 S·48/9S = 16 (км/ч)

Слайд 10

8 . По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 м, второй – 80 м. Сначала второй сухогруз отстает от первого и расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго сухогруза составляет 400 м. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 м. На сколько км/ч скорость первого сухогруза меньше скорости второго? 10 Ответ: 6 Решение Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью х (м/мин), равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 минут второй сухогруз проходит расстояние S = 400 + 80 + 120 + 600 = 1200 (м) Поэтому х = 1200 : 12 = 100 (м/мин) = 6 (км/ч)

Слайд 11

9 . Маша и Даша могут за день прополоть 3 грядки, Даша и Глаша – 4 грядки, а Глаша и Маша – 5 грядок. Сколько грядок за день смогут прополоть девочки, работая втроем? 11 Ответ: 6 Решение Вообразим, что сначала Маша и Даша работали один день, затем Даша и Глаша работали один день, а потом Глаша и Маша работали еще один день Получается, что каждая девочка работала 2 дня или что бригада, состоящая из Маши, Даши и Глаши , прополола 3 + 4 + 5 = 12 грядок за два дня Значит, за один день эта бригада прополет вдвое меньше грядок, т. е. 6

Слайд 12

10 . Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? 12 Ответ: 9 Решение За 3 часа первый рабочий выполнил 3/15 всего заказа. Оставшиеся 1 – 3/15 = 12/15 заказа рабочие делали вместе и потратили на это 12/15 : 2/15 = 6 (ч). Значит, время, потраченное на выполнение всего заказа, составляет 3 + 6 = 9 (ч)

Слайд 13

11 . Маша собирает ведро малины за 3 ч, а Саша – за 5 ч. За сколько часов они наберут 2 ведра малины, если будут собирать вместе с постоянной скоростью? 13 Ответ: 3,75 Решение 1/3 (ведра/ч) – скорость Маши, 1/5 (ведра/ч) – скорость Саши, 1/3 + 1/5 = 8/15 (ведра/ч) – совместная скорость, Тогда два ведра Маша и Саша наберут за 2 : 8/15 = 15/4 = 3,75 (ч)

Слайд 14

14 12 . Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 4 ч. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на 6 ч меньше, чем второй бригаде? Ответ: 6 Решение Пусть х (ч) – время, за которое первая бригада может вспахать поле самостоятельно, тогда х + 6 (ч) - время второй бригады, 1/ х - производительность первой бригады, 1/( х + 6) - производительность второй бригады, по условию задачи общая производительность равна 1/4 , тогда 1/ х + 1/( х + 6) = 1/4 4х + 4х + 24 = х 2 + 6х х 2 – 2х – 24 = 0, D = 25, х 1 = 6, х 2 = - 4 – не удовлетворяет условию задачи

Слайд 15

13. Два садовника стригут кусты вместе за 5 часов. Если бы первый садовник стриг кусты один 3 часа, то второму понадобилось бы 7,5 часов, чтобы довести работу до конца. За сколько часов второй садовник может один постричь все кусты? 15 Ответ : 50 Решение Пусть х – производительность первого садовника, у – производительность второго садовника, тогда 5х + 5у = 1, 3х + 7,5у = 1, откуда х = 5/45, у = 4/45 т. е. t 2 = 1 : 4/45 = 45/4 = 11,25 (ч)

Слайд 16

14 . Первая труба пропускает на 6 л воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров в минуту пропускает первая труба, если бак объемом в 360 л она заполняет на 10 мин дольше, чем вторая труба? Ответ : 12 Решение Пусть х (л/мин) – производительность первой трубы, тогда х+6 (л/мин) – производительность второй трубы, 360/ х (ч) – время заполнения бака первой трубой, 360/(х+6) (ч) – время заполнения бака второй трубой, тогда 360/ х = 360/(х+6) + 10 или 36/ х – 36/(х+6) = 1 х ( х + 6) = 216, х 2 + 6х – 216 = 0 х 1 = – 18 – не удовлетворяет условию задачи, х 2 = 12 (ч) 16

Слайд 17

15. Бассейн можно наполнить водой из двух кранов. Если открыть первый кран на 10 мин, а второй кран на 20 мин, то бассейн будет заполнен. Если первый кран открыть на 5 мин, а второй – на 15 минут, то заполнится 3/5 бассейна. За какое время можно заполнить бассейн из каждого крана в отдельности ? 17 Ответ : 50/3, 50 Решение Пусть х (мин) – время заполнения бассейна первым краном, у (мин) – время заполнения бассейна вторым краном, тогда 1/х – производительность первого крана, 1/у – производительность второго крана, тогда 10/х + 20/у = 1 1/х = 3/50 5/ х + 15/у = 3/5 1/у = 1/50 решая систему, имеем: х = 50/3 (мин), у = 50 (мин)

Слайд 18

16. Свитер дороже рубашки на 25%. На сколько процентов рубашка дешевле свитера? Ответ : 20 Решение Пусть х ( руб ) – стоимость свитера, у ( руб ) – стоимость рубашки, т. к. свитер дороже рубашки на 25%, то х = 1,25у, т. е. у = 0,8х, значит рубашка дешевле свитера на 20% 18

Слайд 19

17. Виноград содержит 91% влаги, а изюм – 7%. Сколько килограмм винограда потребуется для получения 21 кг изюма? Ответ : 217 Решение В данной задаче нас интересует масса сухого вещества, а не влаги Пусть х (кг) – потребуется, тогда (1 – 0,91) х = 0,09х (кг) – сухого вещества в х кг, (1 – 0,07)·21 = 0,93·21 (кг) – сухого вещества в 21 кг, т. к. масса сухого вещества неизменна, то 0,09х = 0,93·21, 9х = 93·21, х = 217 (кг) 19