Элективный курс. Программа "Текстовые задачи"
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Элективный курс предпрофильной подготовки

Пояснительная записка

       Программа элективного курса «Текстовые задачи» предназначена для учащихся 9 класса.

Задачи играют важную роль в организации учебно-воспитательного процесса. Они являются и целью, и средством обучения и математического развития школьников.

Математическое моделирование явлений и процессов широко применяется для изучения реального мира.

С задачами (житейскими, производственными, научными и др.) человек встречается ежедневно. Научиться решать задачи, понимать их сущность, владеть общими методами поиска их решения чрезвычайно важно.

Овладение умениями решать текстовые задачи является существенным фактором математического образования: они представляют собой мощное орудие формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся.

Важно показать учащимся примеры решения реальных задач экономики методом школьной математики.

Задачи, методы их решения – это инструменты для работы, а само решение – это процесс работы, процесс применения инструментов к материалу. Поэтому, чтобы облегчить решение задачи, надо знать материал этой работы, т.е. сами задачи – как они устроены, из чего состоят, надо знать и владеть инструментами – методами решения задач, и научиться разумно применять эти инструменты.

Цель данного курса

- развитие познавательного интереса учащихся к математике и соответствующим областям наук;

- формирование и развитие коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе, отстаивать свою точку зрения;

- формирование умения моделировать явления, процессы, исследовать их;

- развитие речи учащихся, формирование умения вслух доказывать свою точку зрения;

Курс связан не только с математикой базового курса, но и несколько расширяет его, готовит к сдаче единого государственного экзамена.

Он знакомит учащихся с методами решения математических и практических, сводимых к математическим, задач, объектами которых являются реальные предметы и процессы.

Курс рассчитан на 17 часов. Программа состоит из 5 блоков, связанных общей идеей.

Занятия предполагается проводить в основном в форме практикумов, семинаров, уроков исследований.

На итоговых занятиях учащиеся представляют свои работы по решению задач, индивидуально выбранных.

I блок (3 часа). Движение

Задачи на движение занимают большое место в курсе алгебры основной школы. На занятиях рассматриваются задачи на движение, на составление систем уравнений с двумя и тремя неизвестными.

II блок (3 часа). Работа

На занятиях решаются задачи на работу, в которых, как правило, за неизвестное принимается производительность, роль которой такова же, как роль скорости в задачах на движение.

III блок (3 часа). Смеси

На занятиях решаются задачи на смеси, растворы и сплавы, в которых в качестве неизвестных удобно выбирать либо весь вес (или объем) вещества, которое нас интересует в смеси, либо его консистенцию, т.е. вес (или объем) данного вещества в единице веса (или объема) смеси.

IV блок (3 часа). Оптимальный выбор и целые числа

На занятиях рассматриваются некоторые свойства целых чисел и решаются задачи на эти свойства.

V блок. Другие задачи

На занятиях решаются бытовые, ситуативные задачи, задачи, решаемые без составления уравнений, т.е. арифметические задачи.

Оставшиеся 2 часа отводятся на защиту проектов решений индивидуальных задач по выбранному (или рекомендованному в зависимости от рефлексии) блоку.

Требования к уровню усвоения учебного материала

В ходе освоения содержания элективного курса учащиеся:

- получают возможность:

знать и понимать:

• основные виды текстовых задач;
• методы решения задач на составление уравнений, систем уравнений.

- приобретают и совершенствуют опыт:

• грамотного и четкого изложения своих мыслей в устной речи;
• включения результатов своей работы в результаты работы одноклассников;
• реконструирования задачи в математическую модель;
• выполнения основных требований к решению любой текстовой задачи (удачный выбор неизвестных, составление уравнений и формализация того, что требуется найти, решения полученной системы уравнений или неравенств).

- должны уметь:

• создавать математическую модель;
• преобразовывать данный объект в другой вид;
• решать типичные задачи на движение, работу, смеси.

Тематическое планирование

Дидактический материал

I. Движение

          Задача 1. Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от А до В пароход покрывает в полтора раза быстрее, чем катер; при этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. Если они плывут против течения, то пароход идет от В до А в два раза быстрее (по времени, а не по скорости), чем катер. Найти скорости парохода и катера в стоячей воде.

Задача 2. Два туриста вышли из А в В одновременно, причем первый турист каждый километр пути проходит на 5 мин. быстрее второго. Первый, пройдя 1/5 часть пути, вернулся в А и, пробыв там 10 мин., снова пошел в В. При этом в В оба туриста пришли одновременно. Каково расстояние от А до В, если второй турист прошел его за 2,5 часа.

Задача 3. Пассажир, едущий из А в В, одну половину затраченного на путь времени ехал на автобусе, а вторую – на автомашине. Если бы он не ехал от А до В только на автобусе, то это заняло бы в полтора раза больше времени. Во сколько раз быстрее проходит путь от А до В машина, чем автобус?

Задача 4. Из А в В против течения выехала моторная лодка. В пути сломался мотор и пока его чинили 20 минут, лодку снесло вниз по реке. Насколько позднее прибыла лодка в В, если обычно из А в В она идет в полтора раза больше, чем из В в А?

Задача 5. Из А в В навстречу друг другу выехали одновременно два автобуса. Первый, имея вдвое большую скорость, проехал весь путь на 1 час быстрее 2-го. На сколько минут раньше произошла бы их встреча, если бы скорость 2-го увеличилась до скорости 1-го?

Задача 6. Два туриста вышли из А в В одновременно навстречу друг другу. Они встретились в 4 км от В. Достигнув А и В, туристы сразу повернули обратно и встретились в 2 км от А. Вторая встреча произошла через час после первой. Найти скорость туристов и расстояние от А до В.

Задача 7. Из А в С в 9 часов утра отправляется скорый поезд. В то же время из В, расположенного между А и С, выходят два пассажирских поезда, первый из которых идет в А, а второй – в С. Скорости пассажирских поездов равны. Скорый встречает первый пассажирский не позже, чем через три часа после отправления, потом приходит в пункт В не ранее 14 часов того же дня и, наконец, прибывает в С одновременно со 2-м пассажирским через 12 часов после встречи с 1-м пассажирским. Найти время прибытия в А первого пассажирского поезда.

Задача 8. Два тела движутся по окружности равномерно и в одну сторону. Первое тело проходит окружность на 2 секунды быстрее второго и догоняет второе тело каждые 12 секунд. За какое время каждое тело проходит окружность?

II. Работа

          Задача 1. В бассейн проведены три трубы. Первая и вторая вместе наполняют его на 5 ч. 20 минут быстрее, чем первая и третья вместе. Если бы вторая наливала, а третья выливала воду из бассейна, то он наполнился бы на 21/16 часа быстрее, чем бассейн вдвое большего объема первой и второй трубами вместе. За сколько времени первая и вторая труба наполнят бассейн, если первая и третья наполняют его более, чем за 8 часов?

Задача 2. Резервуар снабжается водой по пяти трубам. Первая наполняет его за 40 минут, вторая, третья и четвертая вместе – за 10 минут, вторая, третья и пятая – за 20 минут, пятая и четвертая – за 30 минут. За какое время его наполнят все пять труб вместе?

Задача 3. Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час дольше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и каждый бы работал еще на 1 час больше, то эта работа была бы сделана за 7 дней. Сколько было рабочих и сколько часов в день они работали?

Задача 4. Три бригады, работая вместе, должны выполнить некоторую работу. Первая и вторая бригады вместе могут выполнить ее на 36 минут быстрее, чем одна третья. За то время, за которое могут выполнить эту работу первая и третья бригады, вторая может выполнить половину работы. За то время, что работу выполнят вторая и третья бригады, первая выполнит 2/7 работы. За какое время все три бригады выполнит эту работу?

Задача 5. На фабрике несколько одинаковых поточных линий вместе выпускали в день 15000 банок консервов. После реконструкции все поточные линии заменили на более производительные, а их количество увеличилось на 5. Фабрика стала выпускать 33792 банки в день. Сколько вначале было линий?

Задача 6. Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Это же поле первая и вторая бригады вместе вспахивают за 6 дней, а первая и третья вместе – за 8 дней. Во сколько раз больше площадь, вспахиваемая за день второй бригадой по сравнению с площадью, вспахиваемой за день третьей бригадой?

Задача 7. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.

Задача 8. За время t первый рабочий сделал на 3 детали больше второго. Затем второй рабочий увеличил производительность труда на 0,2 детали в минуту и через некоторое целое число минут догнал и обогнал первого, работавшего с постоянной производительностью на 2 детали больше первого. Найти наибольшее возможное время t.

Задача 9. Двое рабочих вместе выполняют за час ¾ всей работы. Если первый рабочий выполнит ¼ всей работы, а второй, сменив его, выполнит ½ всей работы, то вместе они проработают 2,5 часа. За сколько часов каждый рабочий может выполнить всю работу, если за 1 час работы первого рабочего и за 0,5 часа работы второго рабочего будет выполнено больше половины работы?

III. Смеси

Задача 1. Два одинаковых сосуда наполнены спиртом. Из первого сосуда отлили р литров спирта и налили в него столько же воды. Затем из полученной смеси воды со спиртом отлили р литров и налили столько же литров воды. Из второго сосуда отлили 2р литров спирта и налили столько же воды. Затем из полученной смеси отлили 2р литров и налили столько же воды. Определить, какую часть объема сосуда составляют р литров, если крепость окончательной смеси в первом сосуде в 25/16 раза больше крепости окончательной смеси во втором.

Задача 2. Из двух жидкостей, удельный вес которых 2 г/см3 и 3 г/см3 соответственно, составлена смесь. При этом 4 см3 смеси весят в 10 раз меньше, чем вся первая жидкость, а 50 см3 смеси весят столько же, сколько вся вторая жидкость, входящая в эту смесь. Сколько граммов взято каждой и каков удельный вес смеси?

Задача 3. Имеются три смеси, составленные из трех элементов А, В,С. В первую смесь входят только А и В  в весовом отношении 3:5, во вторую — только В и С в весовом отношении 1:2, а в третью — только А и С в отношении 2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А,В,С были в отношении 3:5:2?

Задача 4. Имеются два сплава из цинка,  меди и олова.    Первый содержит 25% цинка,  второй — 50% меди.   Процентное содержание олова в первом сплаве в два раза больше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого и 300 кг второго, получили сплав, где 28% олова.   Сколько кг меди в этом новом сплаве?

Задача 5. В лаборатории есть раствор соли четырех различных концентраций. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится 15%-ный раствор. Второй, третий и четвертый растворы в равной пропорции дают при смешении 24%-ный раствор, и, наконец, раствор, составленный из равных частей первого и третьего, имеет концентрацию 10%. Какая концентрация будет при смешении второго и четвертого растворов в пропорции 2:1?

Задача 6. Даны два сплава. Первый весит 4 кг и содержит 70% серебра. Второй весит 3 кг и содержит 90% серебра. Сколько кг второго сплава надо сплавить со всем первым сплавом, чтобы получить r%-ный сплав серебра? При каких r задача имеет решение?

Задача 7. От двух однородных кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих соответственно т и п кг, отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в получившихся сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?

Задача 8. В сосуд с чистой водой налили 6 литров 64%-ного (по объему) раствора спирта, а затем после полного перемешивания вылили равное количество (т.е. 6 литров) получившегося раствора. Сколько воды было первоначально в сосуде, если после троекратного повторения эти операции в сосуде получился 37%-ный раствор спирта?

Задача 9. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие — 20%.   Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих фруктов?

IV. Оптимальный выбор и целые числа

         Задача 1.  Есть 2000 рублей на путевки в дома отдыха.  Путевки есть на 15,27 или 45 дней.   Стоимость их 21т. руб, 40т. руб и 60т. руб соответственно. Сколько и каких путевок надо купить, чтобы истратить все деньги, и сделать число дней отдыха наибольшим?

Задача 2.   Завод должен переслать 1100 деталей в ящиках.  Ящик первого типа вмещает 70 деталей, ящик второго типа — 40 деталей, ящик третьего типа — 25 деталей. Стоимость пересылки одного ящика первого типа —20 рублей, второго типа — 10 рублей, третьего типа -- 7 рублей. Недогрузка ящиков не допускается. Как переслать все детали, чтобы сумма, в которую это обойдется, была наименьшей?

Задача 3. Нужно перевезти по железной дороге 20 больших и 250 малых контейнеров. Один вагон вмещает 30 малых контейнеров, вес каждого из которых — 2 тонны. Большой контейнер занимает место 9 малых и весит 30 тонн. Грузоподъемность вагона — 80 тонн. Найти минимальное число вагонов, необходимое для перевозки всех контейнеров.

Задача 4. Группу людей попытались построить в колонну по 8 человек в ряд, но один ряд оказался неполным. Когда ту же группу людей перестроили по 7 человек в ряд, то все ряды были полными, а число их увеличилось на 2. Если бы их построили по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько всего было людей?

Задача 5. Искомое число больше 400 и меньше 500. Найти его, если сумма его цифр равна 9 и оно равно 47/36 числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке.

Задача 6. Если искомое двузначное число увеличить на 4,6, то получится число, произведение цифр которого равно 6. Сумма его цифр равна 14. Найти все такие числа.

Задача 7. В коробке находятся 13 красных и 17 белых шаров. Разрешается проводить в любом порядке и любом количестве следующие операции:

а)        увеличить на 2 число  красных шаров и  одновременно уменьшить на  1число белых;

б)        увеличить на 1 число красных шаров и одновременно увеличить на 2 число белых;

в)        уменьшить на 2 число красных шаров  и одновременно  увеличить на  1 число белых;

г)        уменьшить на 1 число красных шаров и одновременно уменьшить на 2 число белых.

Можно ли, совершая такие действия, добиться, чтобы в ящике было 37 красных шаров и 43 белых шара?

V. Другие задачи

Задача 1. Из пункта А одновременно стартуют три бегуна и одновременно финишируют в том же пункте, пробежав по маршруту, состоящему из прямолинейных отрезков АВ, ВС, СА, образующих треугольник ABC. На каждом из указанных отрезков скорости у бегунов постоянны и равны: у первого — 10 км/ч, 16 км/ч и 14 км/ч соответственно; у второго — 12 км/ч, 10 км/ч и 16 км/ч соответственно. Третий бегун в пунктах В и С оказывается не один и меняет скорость на маршруте один раз. Установить, является ли треугольник ABC остроугольным или тупоугольным.

Задача 2. Вася и Петя поделили между собой 39 орехов. Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшихся другому. Квадрат трети числа орехов, доставшихся Пете, меньше числа орехов, доставшихся Васе. Сколько орехов у каждого?

Задача 3. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 ч раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.

Задача 4. Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из А в D длиной 15 км за 1 ч. При этом, выходя из пункта А в 12 ч, он прибывает в пункты В и С, отстоящие от А на расстоянии 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался из А в D без остановок с постоянной скоростью v (относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты В, С, D не превысила бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью v в стоячей воде. Какой из пунктов — А или D — находится выше по течению?

Задача 5. Имеется два слитка золота массой 300 г и 400 г с различным процентным содержанием золота. Каждый слиток следует разделить  на две  части  таким образом,  чтобы из получившихся четырех кусков можно было изготовить два слитка массой 200 г и 500 г с равным процентным содержанием золота. На какие части следует разделить каждый слиток?

Задача 6. В порту для загрузки танкеров имеется три трубопровода. По первому из них закачивается в час 300 т нефти, по второму — 400 т, по третьему — 500 т. Нужно загрузить два танкера. Если загрузку производить первыми двумя трубопроводами, подключив к одному из танкеров первый трубопровод, а к другому танкеру — второй трубопровод, то загрузка обоих танкеров при наиболее быстром из двух возможных способов подключения займет 12 ч. При этом какой-то из танкеров, может быть, окажется заполненным раньше, и тогда подключенный к нему трубопровод отключается и в дальнейшей загрузке не используется. Если бы вместимость меньшего по объему танкера была вдвое больше, чем на самом деле, и загрузка производилась бы вторым и третьим трубопроводами, то при быстрейшем способе подключения загрузка заняла бы 14 ч. Определить, сколько тонн нефти вмещает каждый из танкеров.

Задача 7. 80 кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во
втором сосуде чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в первом сосуде. Если во второй сосуд добавить 1 кг соли, то количество соли в нем будет в 2 раза больше, чем в первом сосуде. Найдите массу раствора, находящегося в первом сосуде.

Задача 8. Профессор Иванов и доцент Поливанов живут недалеко
друг от друга. Они любят по вечерам прогуливаться от своего
дома до дома коллеги, туда и обратно несколько раз. Однажды они  вышли  из  своих домов  одновременно.   В  первый  раз  они поравнялись на расстоянии 55 м от дома профессора. Второй раз это произошло на расстоянии 85 м от дома доцента. На расстоянии 25 м от дома доцента находится газетный киоск, а неподалеку от дома профессора — киоск, торгующий газированной водой. Известно,  что,  выйдя  из своих домов, профессор  и доцент одновременно  прошли  мимо  ближайших  киосков.  Чему равно  расстояние между киосками?

Задача 9. Ученики трех классов проводили КВН. Известно, что когда на сцену вышли команды классов «А» и «Б», то доля мальчиков среди участников оказалась равной 2/5.  Когда же на сцене были команды классов «Б» и «В», то доля мальчиков оказалась равной 3/7. В каких пределах заключена доля мальчиков в трех командах вместе?

ЛИТЕРАТУРА

1. Потапов М.К.Конкурсные задачи по математике: Справ. пособие.-М.: Наука, 1992.

         2. Ткачук В.В. Математика-абитуриенту. ТОМ 1.-М.: ТЕИС, 1995.

         3. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк.- М.- Просвещение, 1989.