Графики линейных функций, содержащих выражения под знаком модуля
план-конспект урока по алгебре (7 класс) по теме

Конспект факультативного занятия по теме:

«Графики линейных функций, содержащих выражения под знаком модуля»

МАТЕМАТИКА 7.

Из опыта работы учителя математики гимназии №2 г. Зарайска, Московской области Трушиной Елены Николаевны.

Тема занятия: «Графики линейных функций, содержащих выражения под знаком модуля»

Учебно-воспитательные цели урока:

1. Обобщение учебного материала по темам «Модуль» и «Построение графиков линейных функций, содержащих модуль».
2. Рассмотреть построение графиков функций, содержащих сумму модулей.
3. Развитие познавательного интереса к урокам математики через игровые элементы.
4. Обретение  практических навыков выполнения заданий с модулем.
5. Расширение знаний по теме «Абсолютная величина».

Оборудование урока: мел, доска, плакат «Блиц-викторина», таблицы с изображением графиков, магнитные знаки, таблица с заданием аналитического  выражения функции и областью определения.

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Сообщение учителя: «О функциях в жизни человека».
3. Соревнования двух команд:

1)блиц-викторина;

2)угадай формулу;

3)конкурс капитанов;

4)умеешь ли строить графики разными способами?;

5)какое это «произведение искусства»?   (проверка домашнего задания).

4.  Построение графика функций, аналитическая запись которой содержит сумму модулей.

5.   Итог урока.

6.   Домашнее задание.

1.  Организационный момент.

2. Сообщение.

В окружающем нас мире многие величины связаны определённой функциональной зависимостью. Приведу некоторые примеры:

Пример 1: На рисунке 1 и 2 Вы видите два типа кривых, начерченных сейсмографом, прибором, записывающим колебания земной коры.

     На верхнем рисунке отчётливо видны сигналы сейсмической активности – землетрясения.

     На нижнем рисунке характерно проявляются зоны спокойного состояния земной коры и зоны сотрясений.

Сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнаёт, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу толчков.

рис 1.

рис 2.

Пример 2: На рисунке 3  представлена  кардиограмма человеческого сердца.

Рис 3.

    Врач, который проводит исследования больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности,  а, изучив её, правильно поставить диагноз заболевания.

    Эти люди  изучают некоторые функции по графикам. Таких примеров в нашей жизни много.

     А как можно задать функцию? ( перечисляют  способы задания функции )

    Например, функции заданы формулами:

y = |x| + 5                          и                            y = - |x| + 5

     Разницу в поведении этих функции можно обнаружить и по формулам, но, если посмотреть на их графики, то эта разница  сразу же бросается в глаза:

Рис 4.

       Всегда, когда нужно выявить общий характер поведения  функции, обнаружить её особенности, график, в силу своей наглядности является незаменимым. Сегодня мы будем продолжать учиться  строить графики линейных функций, содержащих знак модуля. А пока проверим полученные знания по заданной теме.

3. Соревнования команд.

1) Блиц-викторина.

 Вопросы  первой команде:

а) Любое число можно изобразить точкой на числовой  прямой. Что называется  модулем числа «а»?

б)  |x| = 17.  Чему равно значение «x»?

в)  Задайте линейную функцию  с числом k<0, b>0.

г)  Что является графиком прямой пропорциональности?

д)  |x| = 7, a |-x| =?

е)  y = |x - 3|.  Чему равен подмодульный  нуль?

ж) Назовите числовые промежутки, которые получаются при раскрытии модуля функции

y = |x - 3|?

з)   Какова область определения  линейной функции?

Вопросы  второй команде:

а) Дайте определение модуля числа.

б)  | x | = -8.  Что вы можете сказать  о решениях этого уравнения?

в)  Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой проходит через вторую и четвёртую четверти.

г) Что является графиком линейной функции?

д) Сколько подмодульных нулей вы сможете найти для функции

   y = |2x - 5| + |x - 3| + |x + 10| ?

е)  y = |6 - x|, назовите промежутки, которые получаются при раскрытии модуля?

ж) Если  область  определения функции состоит  не из всех чисел,  то что будет являться графиком  линейной функции?

з)   Какова область определения  линейной функции?

    2) Угадай  формулу. ( На доске таблицы с графиками функций)

Рис. 5

Вопрос: Какая формула относится к какому  графику?

1-ая команда                                                                              2-ая команда

y = |x| + 1                                                                                      y = |3x|

y = -|x|                                                                                           y = |x/3|

y = |2x|                                                                                          y = |3x| + 1

y = |x| - 1                                                                                       y = - |3x|

y = |x|                                                                                            y = |3x| - 2

Для каждой из функций  укажите номер графика  и назовите алгоритм построения  любого из данных графиков.

    3) Конкурс капитанов:

            1-ая команда                                                        2-ая команда

Вопрос: Каков алгоритм построения графика???

            y = |- |x| + 7|                                                              y = |2 - |2x||

           Ответ:  1) y = |x|                                                    Ответ: 1) y = |2x|

                          2) y = - |x|                                                                 2) y = - |2x|

                         3) y =  - |x| + 7                                                          3) y =  - |2x| + 2

                        4) y = |- |x| + 7|                                                         4) y = |2 - |2x||

    4) Умеешь ли ты строить графики разными способами?

Дана функция  y = | x – 3 |. Построить график функции.

            1-ая команда                                                             2-ая команда

( построение графика в                                                 (построение графика

        промежутках)                                                      путём зеркального отобра-

                                                                                                       жения)

      Построение:                                                           Построение:

1. x = 3     ( подмодульный нуль  )                     1) Строим график y = x - 3
2. x < 3, y = - ( x – 3 ) = - x + 3                              2) Отображаем относительно

      x ≥ 3, y = x – 3                                                         оси OX ту часть графика, кото-

                                                                                  рая лежит в области отрица-

                                                                                 тельных  значений  y.

Рис. 6

5.  Какое это «произведение искусства»?   (Домашнее задание)

        На доске нарисована таблица:

Построив графики следующих функций в прямоугольной системе координат, вы получите  некое «произведение искусства»  

      Ответ:

Рис. 7

1. Подведение итогов соревнований

4.  Построение графика линейной функции, аналитическая запись которой  содержит модуль ( более сложные случаи ).

     Алгоритм построения:

1. Нахождение корней выражений, стоящих под знаком модуля ( подмодульных нулей );
2. Нахождение числовых промежутков в результате нанесения подмодульных нулей на числовую ось;
3. Построение графика в каждом промежутке.

Например:

1. y = |x - 5| + |5 - x|

Построение:

 1) Подмодульные нули: х = 5.

2)  

                             5                          x  

3)  х < 5,                                                                 x  ≥ 5,

     y = - (x - 5) + (5 - x) =                                      y = (x - 5) – (5 - x) =

     = - x + 5 + 5 – x = - 2x + 10                             = x – 5 – 5 + x = 2x – 10

     y = - 2x + 10                                                     y = 2x - 10                        

Рис. 8

       б) y = |x – 3| + |1 - x| - 4                          (совместное решение)

 Построение:

1. Подмодульные нули x = 3; x = 1,

                             1                    3                 x

3. a) x < 1;

y =  - (x - 3) + (1 – x) – 4 = - x + 3 + 1 – x – 4 = - 2x.

y = - 2x   

     б) 1 ≤ x ≤ 3;

y = - (x - 3) - (1 – x) – 4 = - x + 3 – 1 +  x – 4 = - 2.

y = - 2

         в) x ≥ 3;

       y = (x – 3) – (1 - x) – 4 = x – 3 – 1 + x – 4 = 2x – 8.

       y = 2x – 8

Рис. 9

в) (Самостоятельно) y = |x| + |x - 1|;

             Построение:

1. Подмодульные нули: х = 0; х = 1;

     2)  

                           0                   1               х

2. а) x < 0;

     y = - x – (x - 1) = - x – x + 1 = - 2x  + 1.

     y = - 2x + 1

        б)  0 ≤ x < 1;

   y = x – (x - 1) = x – x + 1 =  1.

   y = 1

       в)  x ≥ 1;

   y = x +  x – 1 =  2x – 1.

   y = 2x – 1

Рис. 10

5. Подведение итогов.

VI.   Д/З:    д/м (В. В. Голобородько), стр. 16, с – 6* , №2 (а, е, в), построить график       функции      y = 7 - |x - 1| + |x + 5|.