«Решение квадратных уравнений»
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

Тема урока: «Решение квадратных уравнений»

Урок рассчитан на 2 академических часа и не является заключительным в рассмотрении различных способов решения квадратных уравнений.

• Цели:
• обучающие:
•  обобщение и систематизация знаний по теме.
• ликвидация пробелов в знаниях учащихся.
• установление внутри предметных связей изученной темы с другими темами курса алгебры.

развивающие 

• расширение кругозора учащихся
• пополнение словарного запаса
• развитие мышления, внимания, умения учиться

воспитание общей культуры

Оборудование: проектор, экран; у каждого ученика: конспект

1.Организационный момент.

Учитель. Тема занятия «Решение квадратных уравнений». На этом занятии повторим и закрепим знание различных основных  способов решения квадратных уравнений. Рассмотрим еще один способ решения квадратных уравнений. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения. Эта тема является ступенькой в изучении более сложного материала математики средней школы, включая 11-й класс. В  конце будет проведена самостоятельная работа. За неверно выполненное задание «плохая» оценка ставиться не будет и каждый ученик должен работать самостоятельно, выясняя неясные вопросы на уроке.

( 8-й класс – решение задач на составление квадратных уравнений;
разложение квадратного трехчлена на множители; квадратичная функция и ее график; неравенства второй степени с одной переменной;
10-й класс – тригонометрические уравнения и неравенства; применение производной к исследованию функции;
11-й класс – интеграл, площадь криволинейной трапеции; иррациональные уравнения; показательные уравнения и неравенства; логарифмические уравнения и неравенства)

2.Устная работа

Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными.

(Уравнение вида , где х - переменная, a,b,c – числа , называется квадратным.)

Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?

(а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член)

Квадратные уравнения

неполные квадратные уравнения                 полные квадратные уравнения                

ах 2=0;  ах 2+вх=0;  ах 2+с=0                         ах 2+вх+с=0,   а отлично от 0

                                                                    приведенные квадратные уравнения    

                                                                         х2+рх+q=0,    а=1                                                                                                    

• Что такое полное квадратное уравнение?
• Какие из записанных ниже уравнений являются полными квадратными уравнениями?

1. х2+ 2х -9=0,
2. 2х2 +16х=0,
3. 7 х2 =0,
4. х2 -Зх+1=0,
5. Зх2 -2х +19=0,
6. 7х2 -14х=0.

(Ответ: 1,4,5)

Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? Приведите примеры. под какими номерами неполные кв. уравнения? Назовите коэффициенты. Вспомним ,как они решаются.

 Неполные квадратные уравнения      (слайд)

    ах 2=0;  ах 2+вх=0;  ах 2+с=0          (устная работа)              

• Назовите числа, которые являются корнями уравнения:

1. x2 + 3х = 0;     0; -3
2. x2 - 3х = 0;      0;  3
3. 8х 2=0;            0
4. х2+16=0;         нет корней      объяснить
5. х2-25=0;          5;  -5                способы решения
6. х3-4х=0            0; 2;  -2            показать на доске

-3 -2 -4 0 4 2 3 5 -5

Или     -         А теперь, друг, не зевай, а скорее называй уравнения, в которых не увидишь ты корней. 

1.     (х - 1)(х +11) = 0;                  1,  -11

2.     (х – 2)² + 4 = 0;                      

3.     (2х – 1)(4 + х) = 0;                 ½,   -4

4.     (х – 0.1)х = 0;                         0,  0.1  

5.    х² + 5 = 0; 

6.    9х² - 1 = 0;                             1/3,   -1/3    способы решения

7.    х² - 3х = 0;                            0,  3              способы решения

8.    х ²+ 2 = 0; 

9.    16х² + 4 = 0; 

10.    16х² - 4 = 0.                       ½,  -1/2                                         ответы: 2,5, 8, 9

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения, записанные в стандартном виде. Прежде всего, обратимся к понятию дискриминанта. Для чего и зачем он нужен? Вспомните слово “дискриминация”, что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к разным людям. Оба слова (и дискриминант и дискриминация) происходят от одного латинского слова, означающего “различающий”. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней. (анализ слайда). Важное дополнение: в таких случаях (D<0) обычно уточняют – нет действительных корней. Дело в том, что в математике кроме действительных чисел, рассматриваются так называемые мнимые числа; так вот мнимые корни у такого уравнения есть. О мнимых числах и разрешимости таких квадратных уравнений мы поговорим в старших классах.

ах 2+вх+с=0,   а отлично от 0

D= в2-4ас;

  D>0 (2 действительных корня);

  D<0(нет действительных корней);   мнимые есть

  D=0(1 корень; 2 совпадающих корня)

Задание:  определите вид уравнения  (1-9-приведенные), любое ли уравнение можно привести к такому виду? Что для этого надо сделать? Определить имеет ли корни уравнение, не решая уравнение определить знаки его корней, если  D>=0   (устная работа с классом).  

1. х2-х+1=0          D<0
2. х2-6х+8=0      4;6        ???
3. х2+5х-14=0       -7; 2
4. х2+5х+6=0       -2; -3
5. х2-х-2=0           -1; 2
6. х2+х-6=0          -3;  2
7. х2+4х+4=0        (х+2)2=0       2
8. х2+4х+15=0     D<0   
9. х2+х+3=0         D<0
10.  9-12х+4х2=0   3/2     ?

Решить 2-7, 10 уравнения (самостоятельная работа учащихся) Ответы проверить.  Каким способом решали уравнения? Какие способы можно было еще применить? Решить 2, 10 уравнения методом выделения полного квадрата. Решения записать в тетрадь.

  Итак, при решении уравнений все использовали теорему  Виета. А знаете ли вы что-нибудь о нем и о квадратных уравнениях?    

Обратимся к историческому путеводителю.

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко торому тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта.

Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

Теорема, выражающая связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 году. Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако его символика была далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел, поэтому при решении уравнений  рассматривал только положительные корни. 

Метод введения новой переменной

Решить уравнение:    х4-4х2+3=0              х2=к,  к>0

к2-4к+3=0             к=3,        к=1

х2=3                              х2=1

х=3, х=-3                      х=1,  х=-1         ответ:-1, 1, 3, -3

уравнение вида ах4+вх2+с=0 называется биквадратным. Интересно, сколько корней может иметь биквадратное уравнение? Решить уравнения( учащиеся у доски):

1. 2х4-3х2+5=0         не имеет корней    Д= -31
2. у4-5у2-36=0          3;  -3
3. а4-а2=0                  0;  1;  -1
4. в4=0                       0

Из рассмотренных примеров видим, что биквадратное уравнение может иметь 0,1,2,3,4 действительных корня.

Подведение итогов.

Итак, подведем итог.

Решение квадратных уравнений, возможно, осуществлять разными методами. Для квадратных уравнений применимы не только традиционные и специальные методы решения, но и общие методы решения уравнений.

Сегодня мы обобщили опыт решения квадратных уравнений и посмотрим, как научились выбирать наиболее рациональный метод решения.

Самостоятельная работа

Домашнее задание:

Решите уравнение х2+6х-16=0 разными способами;

Решите уравнение (х2-х)2-14(х2-х)+24=0 методом введения новой переменной;

 Х2+ 8x + 2 = 0 по формуле, выделением квадрата.