Программа элективного курса для 9 класса "Мир комплексных чисел"
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

Рассмотрена на МО                                                                      Утверждена на МС

учителей естественно-  

математического

цикла    01.09.2009г                                                                        05.09.2009 г

Руководитель МО                                                                          Руководитель  МС

 Ю.А. Шмелева                                                                                 В.И. Макеева

ПРОГРАММА

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

«МИР КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ »

9 класс

                                                                     Автор программы :Макеева В.И.      

                                                учитель математики

                                                                                   Волхонщинского филиала

                                                                                 МОУ Пичаевской СОШ

                                                                                                 2009 год                                                                                        

Пояснительная записка

Настоящая программа предназначена для организации предпрофильной подготовки в 9 классе общеобразовательной школы.

Цель занятий данного курса – расширить знания школьников о числах, ввести понятие комплексных чисел,  показать различные их применения, познакомить с применением этой теории при решении олимпиадных и конкурсных задач. Этот материал является интересным, доступным, воспитывает математическую культуру школьников и вполне уместен для развития устойчивого интереса к математике, мыслительных и творческих способностей.

Теория о комплексных числах является одной из самых содержательных теорий современной алгебры. Ее методы интересны, не трудоемки для изложения и приводят к глубоким результатам, имеющим многочисленные приложения.

Изучение курса предполагается построить в виде лекций, практических занятий, семинаров, уроков-дискуссий и уроков-сообщений. На всех типах занятий предполагается активный диалог с учащимися.

Продолжительность предлагаемого курса – 8 часов.

Форма итогового контроля – контрольная работа

Школьники, изучившие данный материал, смогут применять его при решении олимпиадных, конкурсных и прикладных задач.

Учебно-тематический план

Содержание программы (8часов)

1. Определение комплексного числа. Решение уравнений вида  х= -а2 .(2ч)

2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел . Введение понятия модуля комплексного числа, аргумента z, угла приведения. (2ч)

3. Вывод и применение формулы Муавра.( 3ч)

     4.  Контрольная работа (1ч)

Методические рекомендации.

В теме 1 ребята знакомятся с определением комплексных чисел, учатся решать уравнения вида х = -а2 , знакомятся с понятием - действительная и мнимая  часть числа.

В теме 2 знакомятся с тригонометрической формой  записи комплексных чисел , комплексной плоскостью; учатся находить аргумент z , изображать на комплексной плоскости . Знакомятся с формулой вычисления угла приведения .

В теме 3 ребята знакомятся с выводом формулы Муавра, ее применением.

Дидактический материал.

1.Переведите данные комплексные числа из алгебраической формы записи в тригонометрическую.

       1)  1 + i =     · (cos 450 + i·sin 450)

      2) -    + i = 2 · (cos 1500 + i·sin 1500)

       3)  1 -   ·i = 2 · (cos 3000 + i·sin 3000)

2.Переведите данные комплексные числа из тригонометрической формы записи в алгебраическую.

4· (cos 1500 + i·sin 1500) = 4· (-  /2 + i· (1/2)) == -2·    + 2i

3 .Найдите произведение следующих комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

Даны числа

а)z1 = 3· (cos 240 + i·sin 240) и z2 = 2· (cos 100 + i·sin 100),

z1· z2 = 3·(cos 240 + i·sin 240) · 2·ј(cos 100 + i·sin 100) = 6· (cos 340 + i·sin 340).

б) z1 = 4· (cos 300+ i·sin 300) и  z2 = 3· (cos 600 + i ·sin 600).

                 A) 12ј(cos 300 + isin 300)

                 B) 12ј(cos 900 + isin 900)

                 C) 12ј(cos 600 + isin 600)

                 D) Среди ответов A, B, C нет верного.

ОТВЕТ:  

Z1јz2 = 4·3· (cos (300 + 600) + i ·јsin (300 + 600)) =

= 12· (cos 900 + i·sin 900)

  КЛЮЧ: B

в)  z1 = 3· (cos 5/6 + i·sin 5/6) и z2 = 5· (cos /2 + i·sin /2)

                A)  8(cos 7/6 + i sin 7/6)

                B) 12(cos  /6 + i sin  /6)

                C) 15 (cos 4/3 + i sin 4/3)

                D) Среди ответов A, B, C нет верного.

  ОТВЕТ:  

z1z2 = 3·5· (cos (7/6 +/2) + i sin (7/6 +/2))  = 15(cos 4/3 + i sin 4/3)

  КЛЮЧ:C

4.Вычислите корень из отрицательного числа.

  =  = -1·= i·3= 3i.

-= - = - · 2= -i·2·

5.  Преобразуйте данное выражение:

  (2 + 3i) + (4 - 6i) = (2 + 4) + (3 - 6)i = 6 - 3i

  (4 - 7i) - (3 + 5i) = (4 - 3) + (-7 - 5)i = 1 - 12i

  (6 + i)(2 - 7i) = 12 - 42i + 2i - 7iЌ = 19 - 40i

       1         1     (3 + 7i)         3 + 7i   3 + 7i

               =                        =            =

   (3 - 7i)   (3 - 7i) (3 + 7i)   9 + 49     58

    Чтобы сложить 2 + 3i  и  4 - 6i,вы должны сложить отдельно действительные части и мнимые.

 (2 + 3i) + (4 - 6i) = (2 + 4) + (3 - 6)i = 6 - 3i

    Чтобы вычесть 3 + 5i  из  4 - 7i, надо вычесть из мнимой части мнимую, а из действительной действительную.

(4 - 7i) - (3 + 5i) = (4 - 3) + (-7 - 5)i = 1 - 12i

    Комплексные числа перемножаются почленно. Не забывайте, что  iЌ = -1.

(6 + i)(2 - 7) = 12 - 42i + 2i - 7iЌ = 19 - 40i

                                 1

    При делении                    ,  домножьте  числитель и

                                 3 - 7i

знаменатель дроби на  (3 + 7i), и воспользуйтесь формулой разности квадратов.

6.Преобразуйте данное выражение:

             а)       (-7 - 6i) + (7 + 6i)

    A) 14-12i    B) 0         C) 14       D) нет верных вариантов

ОТВЕТ:                          

           (-7 - 6i) + (7 + 6i) = 0  

КЛЮЧ: B

           б)        (-8 - 2i) + (7 + 3i)  

    A) -1 + i    B) 15 - i    C) -1 + 5i  D) нет верных вариантов

ОТВЕТ:                          

     (-8 - 2i) + (7 + 3i) = (-8 + 7) + (-2 + 3)i = -1 + i

КЛЮЧ: A

      в)    (-3 - 4i) - (7 - 2i)    

    A) -7 - 9i   B) -7 + 10i  C) -10 - 2i D) нет верных вариантов

ОТВЕТ:                          

  (-3 - 4i) - (7 - 2i) = (-3 - 7) + (-4 + 2)i = -10 - 2i

КЛЮЧ: C

                 г )  (8 + 3i) - (4 - 5i)

    A) 11 - i    B) 4 + 8i    C) 12 + 8i  D) нет верных вариантов

ОТВЕТ:                          

         (8 + 3i) - (4 - 5i) = 8 - 4 + 3i + 5i = 4 + 8i

КЛЮЧ: B

                        д)  6i · 8i

    A) 48i        B) 48i2      C) -48     D) нет верных вариантов

ОТВЕТ:                          

             6i · 8i = 48i2 = 48(-1) = -48            

КЛЮЧ: C

                     е )   (-4i)(-3i)

    A) -12i       B) -12       C) 12i     D) нет верных вариантов

ОТВЕТ:                          

         (-4i)(-3i) = 12i2 = 12(-1) = -12    

КЛЮЧ: B

                ж)     (4 - 3i)ј(6 + 5i)

    A) 39 + 2i    B) 12 + 15i  C) 6 - 23i D) нет верных вариантов

ОТВЕТ:

          (4 - 3i) · (6 + 5i) = 24 + 20i - 18i - 15i2 = 24 + 20i - 18i + 15 = 39 + 2i

КЛЮЧ: A

                 з)    (2 - 3i)ј(-1 - 4i)

    A) -12 - 6i   B) 3 + 8i  C) -14 - 5i  D) нет верных вариантов

ОТВЕТ:                          

            (2 - 3i) · (-1 - 4i) = -2 - 8i + 3i + 12i2 = -2 - 8i + 3i - 12 = -14 - 5i

КЛЮЧ: C

                  и)   (2 + 3i)ј(2 - 3i)

    A) 2 - 3i     B) 13        C) 1 + 2i  D) нет верных вариантов

ОТВЕТ

         (2 + 3i)ј(2 - 3i) = 4 - 6i + 6i - 9i2 =  4 - 6i + 6i + 9 = 13

КЛЮЧ: B

                 к)   (-2 + i)ј(-2 - i)

   A) 5          B) 2 - i     C) 4 - i   D) нет верных вариантов

ОТВЕТ:

         (-2 + i)ј(-2 - i) = 4 + 2i - 2i – i2 =4 + 2i - 2i + 1 = 5                        

КЛЮЧ: A

                                3

                     л)      2 + i

       1 + 2i        3(2 - i)

    A)            B)                             C) 3 + 2i  D) нет верных вариантов

         4                  5

ОТВЕТ:                          

      3         2 - i       3(2 - i)                 3(2 - i)

             ·            =                          =

    2 + i      2 - i    4 - 2i + 2i – i2              5

КЛЮЧ: B

                          2 + 3i

                     м)    

                          1 + i

                                               5 + i

    A) 1 +  i     B) 3 + 2i    C)                 D) нет верных вариантов

                                                   2

ОТВЕТ:                          

     2 + 3i     1 - i              2 - 2i + 3i - 3i2        5 + i

                ·            =                                      =

     1 + i      1 -i                  1 - i + i – i2               2

КЛЮЧ C.

Литература .

1. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. - М.: Просвещение, 1989.

2. СД-диск « Тригонометрия не для отличников»