Презентация к уроку: "Исследование функций"
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

«НАЧИНАТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЖНО ПО-РАЗНОМУ... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой . ЕСТЬ ИСТИНЫ , как страны, НАИБОЛЕЕ УДОБНЫЙ ПУТЬ К КОТОРЫМ СТАНОВИТСЯ ИЗВЕСТНЫМ ЛИШЬ ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ ИСПРОБУЕМ ВСЕ ПУТИ. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... НА ПУТИ К ИСТИНЕ МЫ ПОЧТИ ВСЕГДА ОБРЕЧЕНЫ СОВЕРШАТЬ ОШИБКИ ». ЭПИГРАФ К УРОКУ: Дени Дидро

Слайд 3

Что называется числовой функцией? Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х. 2. Что называется графиком функции? Графиком функции f называется множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у= f (х), а х «пробегает» всю область определения функции f . Вопросы :

Слайд 4

3. Какие из линий, изображённых на рисунке являются графиками функций?

Слайд 5

Вопросы: Графиком функции у = х 2 является … Вертикальную координатную прямую на координатной плоскости называют осью … 3. Графиком функции у = 1/х является … 4. Зависимость, при которой каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у называется … 5. Множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f (х), а х «пробегает» всю область определения функции f . 6. Графиком функции у = кх + в является … 7. Горизонтальную координатную прямую на координатной плоскости называют осью … 8. Ось х и ось у называют осями … г р а а а а а а п п ф ф р б о л и к р р б л о г о о к и и с с с п е я м я д и н б ц к р д и н т у ц я т 1 2 3 4 6 5 7 8 Кроссворд

Слайд 6

Ответы к тесту: Вариант 1 Б Б А Б В Вариант 2 А Б А В Б Оценки: нет ошибок «5» 1 ошибка «4» 2 ошибки «3» 3 и более «2» Вариант 3 Б Б А Б В

Слайд 7

Схема исследования функций: 1. Найти область определения функции. 2. Определить чётность или нечётность функции, периодичность. 3. Найти координаты точек пересечения графика с осями координат. 1. Найти промежутки знакопостоянства функции. 5. Определить промежутки возрастания или убывания функции. 6. Найти точки экстремума функции, вид экстремума (максимум или минимум) и значения функции в этих точках. 7. Найти область значений функции. 8. Построить график функции.

Слайд 8

Задание 1. Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком.

Слайд 9

1. Область определения функции D (у) = [ -8; 5 ] . 2. Функция ни чётная, ни нечетная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью ОХ: (1; 0), (5; 0). с осью ОУ: (0; 2). 1. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, при х принадлежащем промежутку [ -8; 1). f (х) < 0, при х принадлежащем промежутку (1; 5 ] . 5. Функция возрастает на промежутке [ -5; -1 ]U[ 3; 5 ] . Функция убывает на промежутке [ -8; -5 ]U[ -1; 3 ] . 6. Точки экстремума: х max =-1 , у max = 3, х min = -5, у min = 1 , х min = 3, у min = -2. 7. Область значений Е(у) = [ -2 ; 5 ] .

Слайд 10

Задание 2. Постройте график функции f , если известны её свойства. Стр. 55, № 91(а, б, в)

Слайд 11

Защита проектов по теме: «Построение функций по общей схеме исследования»

Слайд 12

Задание группы 1. Построить график функции f (х) = 2х – 6, используя схему исследования. Гипотеза. Графиком данной функции является прямая. х у Проверим гипотезу, проведя исследование функции по общей схеме исследования.

Слайд 13

Исследование функции f (х) = 2х – 6. Область определения функции D (у) =(-∞; +∞). 2. f (- х) = 2(-х) – 6 = – 2х – 6 = -(2х + 6) – функция ни чётная, ни нечетная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью: а) с осью ОХ, у = 0. б) с осью ОУ, х = 0. 2х – 6 = 0, 2 · 0 – 6 = у, 2х = 6, 0 – 6 = у, х = 3 у = - 6. (3; 0). (0; -6). 4. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, 2х - 6 > 0, 2х > 6, х > 3. (3; +∞). f (х) < 0, 2х – 6 < 0, 2х < 6 , х < 3. (-∞; 3). 5. Функция возрастает на промежутке (-∞; +∞), т. к. к =2, к > 0 . 6. Точек экстремума нет. 7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

Слайд 14

Построим график функции f (х) = 2х – 6 . 3 - 6 х у Вывод. Гипотеза подтвердилась. Графиком данной функции является прямая.

Слайд 15

Задание группы 2. Построить график функции f (х) = х 3 – 1, используя схему исследования.

Слайд 16

Выдвигаем гипотезу: Графиком функции у = х 3 – 1 является кубическая парабола. Построим схематический график. х у

Слайд 17

Исследуем функцию у = х 3 – 1 1. Область определения функции D (у) =(-∞; +∞). 2. f (- х) = (-х) 3 – 1 = – х 3 – 1 = -(х 3 + 1) – функция ни чётная, ни нечетная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью: а) с осью ОХ, у = 0. б) с осью ОУ, х = 0. х 3 – 1 = 0, у = 0 3 – 1, х 3 = 1, у = - 1. х = 1. (0; -1). (1; 0). 4. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, х 3 - 1 > 0, х 3 > 1, х > 1. (1; +∞). f (х) < 0, х 3 – 1 < 0, х 3 < 1, х < 1. (-∞; 1).

Слайд 18

5. х 2 = 1, х 1 = 0. f (х 2 ) = f (1) = 1 3 – 1 = 0. f (х 1 ) = f (0) = 0 3 – 1 = -1. х 2 > х 1 , f (х 2 ) > f (х 1 ) – функция возрастает. 6. Точек экстремума нет, т. к. функция возрастает на всей области определения. 7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

Слайд 19

Используя схему исследования функции у = х 3 – 1 строим её график. х у 1 -1 2 -1 -2

Слайд 20

Сделаем вывод. Графиком функции у = х 3 – 1 является кубическая парабола, опущенная на 1 единицу вниз.

Слайд 21

Задание группы 3. Построить график функции f (х) = х 2 – 4х, используя схему исследования.

Слайд 22

Графиком функции у = х 2 – 4х является парабола. Гипотеза

Слайд 23

Предположили, что график проходит так: х у

Слайд 24

Исследуем функцию у = х 2 – 4х 1. Область определения функции D (у) =(-∞; +∞). 2. f (- х) = (-х) 2 – 4(-х) = х 2 + 4х = -(-х 2 – 4х) – функция ни чётная, ни нечетная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью: а) с осью ОХ, у = 0. б) с осью ОУ, х = 0. х 2 – 4х = 0, у = 0 2 - 4 · 0 = 0 , х(х – 4) = 0, у = 0. х = 0 или х- 4 = 0 (0; 0) х = 4. (0; 0). (4; 0). Найдём вершину параболы: х = 4 : 2 = 2; у = 2 2 - 4 · 2 = 4 – 8 = - 4. (2; -4) – вершина параболы.

Слайд 25

4. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, х 2 – 4х > 0, х(х -4) > 0, Х 2 – 4х = 0, х(х -4) = 0, х = 0 или х- 4 = 0. х = 4. f (х) > 0, ( - ∞; 0) U (4; +∞). f (х) < 0, (0; 4). 0 4 − + + х

Слайд 26

5. Промежутки возрастания и убывания функции: х 2 = 1, х 1 = 0. f (х 2 ) = f (1) = 1 2 – 4 · 1 = -3. f (х 1 ) = f (0) = 0 2 – 4 · 0 = 0. х 2 > х 1 , f (х 2 ) < f (х 1 ) – функция убывает на промежутке (- ∞;2). х 1 = 3, х 2 = 4. f (х 1 ) = f (3) = 3 2 – 4 · 3 = -3. f (х 2 ) = f (4) = 4 2 – 4 · 4 = 0. х 2 > х 1 , f (х 2 ) > f (х 1 ) – функция возрастает на промежутке (2; +∞). 6. Точка минимума (2; -4). 7. Область значений Е(у) = (-4; +∞).

Слайд 27

Построим график функции у = х 2 – 4х 2 0 0 -4 4 х у

Слайд 28

Вывод Графиком функции у = х 2 – 4х является парабола, ветви параболы направлены вверх.

Слайд 29

Задание группы 4. Построить график функции f (х) = √ х – 3, используя схему исследования.

Слайд 30

Гипотеза Предположим, что график функции f (х) = √х – 3 будет иметь вид: х у

Слайд 31

Исследуем функцию f (х) = √х – 3 по схеме исследования. 1. Область определения функции D (у) = [ 3 ; +∞). 2. f (- х) = √ (-х) - 3 = √- х - 3 – функция ни чётная, ни нечетная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью: а) с осью ОХ, у = 0. б) с осью ОУ, х = 0. √ х - 3 = 0, у = √ 0 – 3 = √ – 3. х - 3 = 0, точек пересечения нет. х = 3. (3; 0). 4. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, √ х - 3 > 0, х – 3 > 0, х > 3. (3; +∞).

Слайд 32

Промежутки возрастания и убывания функции: х 2 = 4, х 1 = 3. f (х 2 ) = f (4) = √4 – 3 = √1 = 1 , 1 > 0. f (х 1 ) = f (3) = √ 3 – 3 = 0. х 2 > х 1 , f (х 2 ) > f (х 1 ) – функция возрастает. 6. Точек экстремума нет, т к функция возрастает. 7. Область значений Е(у) = (0; +∞).

Слайд 33

Используя схему исследования функции f (х)= √ х – 3 построим её график. х у 3

Слайд 34

Вывод: Гипотеза подтвердилась. Мы построили график функции f (х)= √х – 3.

Слайд 35

Задание группы 5. Построить график функции f (х) = | х | + 1, используя схему исследования .

Слайд 36

Гипотеза Предположим, что график функции f (х) = | х | + 1 будет иметь вид: х у

Слайд 37

Исследуем функцию f (х) = | х | + 1 1. Область определения функции D (у) =(- ∞ ; +∞). 2. f (- х) = | -х | + 1 = | х | + 1 = f ( х) – функция чётная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью: а) с осью ОХ, у = 0. б) с осью ОУ, х = 0. | х | + 1 = 0, у = | 0 | + 1 = 1. | х | = -1, (0; 1). пересечений нет. 4. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, | х | + 1 > 0, при х принадлежащем промежутку (- ∞ ; +∞).

Слайд 38

5. Промежутки возрастания и убывания функции: х 2 = -1, х 1 = -2. f (х 2 ) = f (-1) = | -1 | + 1 = 2. f (х 1 ) = f (-2) = | -2 | + 1 = 3. х 2 > х 1 , f (х 2 ) < f (х 1 ) – функция убывает на промежутке (- ∞;0). х 1 = 1, х 2 = 2. f (х 1 ) = f (1) = | 1 | + 1 = 2. f (х 2 ) = f (2) = | 2 | + 1 = 3. х 2 > х 1 , f (х 2 ) > f (х 1 ) – функция возрастает на промежутке (0; +∞). 6. Точка минимума (0; 1). 7. Область значений Е(у) = (1; +∞).

Слайд 39

Построим график функции f (х) = | х | + 1 х у 1

Слайд 40

Вывод: Гипотеза подтвердилась. Мы построили график функции f (х)= | х | + 1.

Слайд 41

Работа по таблице Среди данных графиков найти тот, который соответствует следующему описанию: яблоко растёт, затем его срывают и сушат. На весь этот процесс уходит х дней. Найдите в таблице график, описывающий зависимость массы яблока у от х.

Слайд 42

Задание по карточкам сборника ЕГЭ Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [- 5; 1]. Укажите область ее значений. 1. [-5; 0]; 2. [-5; 0); 3. (-5; 0); 1. [-5; 1). Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [-2; 1]. Укажите область ее значений. 1. [0; 3]; 2. [0; 2) U (2; 3]; 3. (0; 2); 1. (0; 3). Функция y = f(x) задана графиком на [-1; 0) U (0; 3]. Укажите область ее значений. 1. [1; 3]; 2. [1; +); 3. [1; 2) U (2; +); 1. [0; +). Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [-5; 3). Укажите область ее значений. 1. [1; -2]; 2. [1; -2) U (-2; 5]; 3. (-2; 1]; 1. [-5; 1].

Слайд 43

Рефлексия Я доволен своей работой на уроке – поднять красную карточку. Я хорошо работал, но умею ещё лучше – поднять зелёную карточку. Работа не получилась, я не доволен собой – поднять синюю карточку.

Слайд 44

Домашнее задание На оценку «3» исследовать функцию f (х) = х + 5 На оценку «4» исследовать функцию f (х) = х 2 – 5х + 6. На оценку «5» исследовать функцию f (х) = √(х–2) - 2.