Формирование системы знаний по математике
статья по алгебре по теме

Формирование системы знаний по геометрии.

Пропедевтика изучения курса геометрии в 1-4 классах основана  на интуитивной основе с привлечением элементов дедуктивных рассуждений. Теоретический материал излагается на наглядно- интуитивном уровне, важнейшие методы и законы формулируются в виде правил.

Учащиеся 1-4-х классов должны уметь:

-распознавать и изображать ( на клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки) простейшие геометрические фигуры (точка, отрезок, ломаная, окружность, круг, многоугольник);

-измерять длину отрезка, длину  ломаной;

- строить отрезок данной длины;

-вычислять периметр и площадь прямоугольника.

Учащиеся 5-6-х классов должны знать:

-Геометрические фигуры: отрезок, прямая, луч, угол, треугольник, прямоугольник, окружность, круг. Перпендикуляр к  прямой. Прямой угол. Параллельные прямые. Куб, прямоугольный параллелепипед, шар.

Примеры величин: длина, площадь, объем, градусная мера угла.

Единицы измерения длин, площадей, объемов и углов.

Масштаб. Измерение отрезков и углов. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. Формулы длины окружности и площади круга.

Инструменты: линейка, угольник, транспортир, циркуль ..Построение отрезков и углов заданной величины. Построение перпендикуляра к прямой и  параллельных  прямых с помощью угольника и линейки.

Таким образом, к началу изучения систематического школьного  курса геометрии учащиеся , усвоившие программный материал на наглядно- интуитивном уровне, знают целый ряд геометрических фигур и умеют их распознавать и изображать. В частности, умеют: строить отрезки и углы заданной величины, перпендикуляр к прямой, параллельные прямые; измерять: отрезки и углы;  вычислять: длину окружности, площадь и периметр прямоугольника, площадь круга, объем прямоугольного  параллелепипеда.

Курс геометрии 7-9-х классов предусматривает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений учащихся, развитие их логического мышления и подготовку к изучению стереометрии, а также смежных дисциплин (физика, черчение и др.).

Усиливается теоретическая значимость изучаемого материала: расширяются внутренние логические связи курс; повышается роль дедукции, степень абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приемами  аналитико - синтетической  деятельности при доказательстве теорем и решении задач, развивается их логическое мышление.

Систематическое изучение курса позволит начать работу по формированию представлений учащихся о строении математической  теории. Прикладная направленность курса обеспечивается постоянным обращение к наглядности, в частности к рисункам и чертежам на всех этапах обучения и развитием на этой основе геометрической интуиции учащихся. Систематическое обращение к примерам из практики развивает у них умения вычленять геометрические формы  и отношения в предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания.

Практическая направленность курса обеспечивается систематическим применением геометрического аппарата для решения задач на вычисление значений геометрических величин, доказательство и построение.

При изучении планиметрии учащиеся получают систематические сведения об основных фигурах на плоскости и их свойствах; знакомятся с геометрическими величинами, характеризующими плоские фигуры, и учатся выполнять соответствующие вычисления; знакомятся с применением аналитического аппарата (элементы тригонометрии и алгебры, векторы и координаты) к решению геометрических задач.

В результате изучения курса планиметрии все учащиеся должны овладеть следующими умениями  

(обязательный минимум) :

-изображать геометрические фигуры , указанные в условиях  теорем и задач; и выделять известные фигуры на чертеже и моделях;

-решать типичные задачи на вычисление, доказательство и построение, опираясь на теоретические сведения, полученные в курсе;

-проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач;

-вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), ПРИМЕНЯЯ ИЗУЧЕННЫЕ СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ;

-выполнять основные построения циркулем и линейкой; решать несложные комбинированные задачи, сводящиеся к построению ;

-применять аппарат алгебры и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;

-использовать векторы и координаты для решения стандартных задач (вычисление длин и углов, сложение векторов и умножение вектора на число).

Цель курса геометрии 10-11-х классов- систематическое изучение свойств геометрических тел в пространстве, развитие пространственных представлений и дальнейшее развитие логического мышления учащихся, усвоение ими способов вычисления практически важных геометрических величин.

Курсу присущ систематизирующий,  обобщающий характер изложения, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в неполной средней школе При доказательстве теорем и решении задач активно используются изученные в курсе планиметрии свойства геометрических фигур, применяются геометрические преобразования, векторы и координаты. Довольно высокий уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость изложения сочетается со значительной степенью наглядности.

Прикладная направленность обучения обеспечивается применением наглядности на всех этапах учебного процесса, постоянным обращением к опыту учащихся. Важными  в практическом плане являются умения изображать известные геометрические тела, вычислять их объемы и площади поверхностей.

При изучении стереометрии учащиеся приобретают систематические сведения об основных видах пространственных тел на плоскости, овладевают умениями вычислять значения геометрических величин.

В результате изучения курса стереометрии все учащиеся должны овладеть следующими умениями (обязательный минимум):

-изображать пространственные геометрические тела, указанные в условиях теорем и задач,  и выделять известные тела на чертежах и моделях;

-решать типичные задачи на вычисление и доказательство, опираясь на полученные теоретические сведения;

-проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач, используя теоретические сведения, полученные при изучении планиметрии и стереометрии;

-вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и объемов), применяя изученные в курсах планиметрии и стереометрии формулы и теоремы;

-применять аппарат алгебры, начал анализа и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;

-использовать координаты и векторы для решения простейших стандартных задач.

Приведу наглядную схему (рис.8, стр   ), раскрывающую программные требования к подготовке учащихся по геометрии на каждой ступени обучения.

Схема иллюстрирует структурные особенности каждой ступени обучения геометрии в отдельности и всего курса в целом, подчеркивает преемственность в его построении и помогает усматривать перспективы обучения.

Систематическое обращение к ней помогает учителю соблюдать одно из важнейших условий успешной его работы: четко предусматривать результаты, ожидаемые на каждой ступени обучения.

Кроме того, как отмечается в программе, учителю математики необходимо, отвлекаясь от места конкретной темы и курса, оценить ее значение по отношению к соответствующей содержательной линии, правильно определить и расставить акценты в обучении, организовать итоговое повторение материала. Это означает, что для успешной работы учителя математики следует углубленно проанализировать тематику того или иного учебного курса, выделив его основные содержательные линии.

В частности, в курсе геометрии можно выделить четыре основные содержательные линии:

1). геометрические фигуры и свойства;

2) геометрические величины:

3) координаты и векторы;

4) элементы тригонометрии.

Работая по учебному пособию «Геометрия, 7-9 классы  Анатасяна А.Г , где материал упорядочен в соответствии с внутренней логикой предмета и изложен со строгим  соблюдением аксиоматического  принципа  всегда можно проследить эти линии, Результат сопоставления и связи каждой программной темы  школьного  курса геометрии с той или иной содержательной линией занесен  в таблицу 1 (см. «Приложение», стр   ).

А сейчас хотелось бы подробнее рассмотреть  вопрос  о формировании и усвоении учащимися понятийных блоков знаний и умений.

Прежде всего следует отметить, что понятийный аппарат каждой содержательной линии курса геометрии довольно широк.

Так, например, содержательная  линия планиметрии  «Геометрические фигуры и их свойства»  включает следующие понятия:  «точка», «прямая», «отрезок», «луч», «угол», «треугольник», «окружность», «параллелограмм», и др.  Блок знаний каждого конкретного понятия формируется в течение целого ряда уроков.

Подведем некоторые итоги рассмотрения курса геометрии.

Пропедевтический курс геометрии в 1-6-х классах дал учащимся умения узнавать и изображать 9 фигур, строить и измерять отрезки и углы, вычислять площадь т периметр прямоугольника и круга, длину окружности, объем прямоугольного параллелепипеда.

Первый урок по геометрии в 7-ом классе продолжил эту систему знаний и умений открытием геометрии как науки, ее аксиоматической основы и дедуктивного построения .Далее работу по обобщению и систематизации проводим, составляя:

 тематический вкладыш «Система аксиом»;

понятийные вкладыши: «Точка», «Прямая», «Отрезок», «Луч»,»Треугольник», «Угол», «Окружность».

Содержательные вкладыши: «Геометрические фигуры и их свойства»; «Геометрические величины»;

Тематические: «Методы геометрии», «Геометрические построения».

Вот и весь перечень блоков знаний 7-го класса.

В 8-ом классе продолжаем содержательный блок «Геометрические фигуры и их свойства», «Геометрические величины» и составляем блоки «Элементы тригонометрии», «Координаты и векторы», продолжаем тематический блок «Методы геометрии»и составляем блоки «Четырехугольника», «Преобразование фигур», «Декартовы координаты на плоскости», продолжаем все понятийные  блоки 7-гокласса.

В 9-ом классе продолжаем все содержательные блок. Завершая блок «Элементы тригонометрии» и в аспекте плоскости блока «Геометрические фигуры и их свойства», «Координаты и векторы», составляем тематический блок «Многоугольника» и продолжаем блок «Четырехугольники», а также все понятийные блоки 8-го класса.

Итак, планиметрия завершена за 6 лет пропедевтики 3 года целенаправленного изучения. Имеем:

3 понятийных блока: «Угол», «Треугольник», «Окружность».

6 тематических блоков: «Аксиомы», «Геометрические построения», «Четырехугольники», «Преобразования фигур», «Многоугольники», «Методы геометрии».

4 содержательных блока: «Геометрические фигуры и их свойства», «Геометрические величины», «Элементы тригонометрии», «Координаты и векторы».

Еще 2 года целенаправленного изучения стереометрии – и школьный курс геометрии завершен.

В 10-ом классе завершаем обобщение и систематизацию темы  «Аксиомы геометрии», на более глубоком уровне рассматриваем вопрос об аксиоматической основе геометрии, о геометрии как науке. Составляем тематический вкладыш знаний и умений «Параллельность и перпендикулярность».

Продолжаем важнейшую содержательную линию курса геометрии «Геометрические фигуры и их свойства», устанавливая взаимосвязи основных фигур в пространстве.

Продолжаем обобщение и систематизацию содержательной линии «Геометрические величины» и завершаем содержательную линию «Координаты и векторы».

В11-ом классе проводим систематизацию и обобщение темы «Геометрические тела». Завершаем содержательные линии «Геометрические фигуры и их свойства», «Геометрические величины», а также тематический блок «Преобразование  фигур»

Итак, к началу обобщающего повторения курса геометрии имеем вкладыши(блоки знаний и умений)

содержательные---

:геометрические фигуры и их свойства;

геометрические величины;

координаты и векторы;

элементы тригонометрии;

тематические---

аксиомы геометрии;

методы геометрии;

геометрические построения;

преобразования фигур;

многоугольники (четырехугольники);

параллельность и перпендикулярность;

геометрические тела.;

понятийные---

угол;

треугольник;

круг;

окружность.

__ Первую содержательную линию программа определяет следующим образом:

Геометрические фигуры и их свойства

7-9-й классы.

Начальные понятия планиметрии. Геометрические фигуры. Понятие о равенстве фигур. Понятие об аксиомах и теоремах. Понятие об обратных теоремах

Смежные и вертикальные углы и их свойства. Пересекающиеся и параллельные прямые. Признаки параллельности прямых.  Перпендикулярные прямые.  Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых.

Треугольник. Признаки равенства треугольников. Свойства равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника. Теорема Пифагора..

Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма.  Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Трапеция. Правильные многоугольники.

Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства.

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку: окружность, описанная около треугольника. Свойства биссектрисы угла; окружность, вписанная в треугольник.

Понятие о подобии фигур. Признаки подобия треугольников. Движения: осевая и центральная симметрии, поворот, параллельный перенос. Примеры фигур, обладающих симметрией.

Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки

10-11-й классы.

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.

Взаимное расположение прямой и плоскости: пересекающиеся и параллельные прямые и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости их параллельности.

Взаимное расположение двух плоскостей: пересекающиеся и параллельные плоскости. Признак параллельности двух плоскостей. Перпендикулярность плоскостей. Теоремы о параллельности и перпендикулярности  плоскостей. Двугранный угол.

Параллельное проектирование и его свойства. Изображение фигур на плоскости.

Многогранники: призма и пирамида. Параллелепипед. Прямая и правильная призмы; правильная пирамида. Сечения многогранников. Понятие о правильных многогранниках.

Понятие о телах и поверхностях вращения. Цилиндр. Конус. Шар. Сфера Осевые сечения цилиндра и конуса. Сечение шара плоскостью. Касательная плоскость к сфере.

Понятие о движении. Симметрия относительно точки и плоскости. Примеры тел и поверхностей, обладающих симметрией .Параллельный перенос. Понятие о равенстве фигур в пространстве.

Следовательно, вкладыш первой содержательной линии может выглядеть так, как показано на рис 10 (стр    _)

Вторую содержательную линию программа определяет следующим образом:

Геометрические величины

.

5-6-ой классы.

.

Примеры величин: длина, площадь, объем, градусная мера угла. Единицы измерения длин, площадей, объемов, углов. Масштаб. Измерение отрезков и углов. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. Формулы длины окружности и площади круга.

7-9-й классы.  .

Длина отрезка и его свойства. Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой. Величина угла и ее свойства. Измерение вписанных углов. Длина окружности. Длина дуги. Число Пифагора. Понятие о площади: основные свойства площади. Площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции. Отношение площадей подобных фигур            .Площадь круга и его частей.

10-11-й классы.

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Линейный угол двугранного угла. Понятие об объеме, основные свойства объема. Объемы многогранников: прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды. Объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара. Площади боковых поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра, конуса. Площадь сферы.

Вкладыш этой содержательной линии представлен на рис 11 (стр.     ).

Третью содержательную линию программа определяет так:

Координаты и векторы.

7-9-й классы.

Прямоугольная система координат на плоскости. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнение прямой и окружности. Вектор. Длина и направление вектора. Угол между векторами. Коллинеарные векторы. Сложение векторов и его свойства. Умножение вектора на число и его свойства Разложение вектора по осям координат. Координаты вектора. Скалярное произведение вектора и его свойства. Проекция вектора на ось.

10-11-й классы.

 .

Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы в пространстве. Сложение векторов и его свойства. Умножение вектора на число и его свойства. Координаты вектора. Угол между векторами Скалярное произведение векторов.

Соответствующие вкладыши (отличающиеся по целевому назначению) представлены на рис. 12-18 стр.  

Четвертая содержательная линия в программе определяется так:

Элементы тригонометрии.

7-9-й классы.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников.

Соответствующие вкладыши представлены на рис 19 стр  

Два понятийных блока  «Угол» (7 и 11-й классы), и «Окружность», а также 5 тематических блоков «Аксиомы геометрии», «Геометрические построения», «Многоугольники». «Геометрические тела», «Параллельность и перпендикулярность в геометрии» представлены в «Приложении»  стр.  

Итак, подчеркиваю еще раз, что вкладыши играют информационную роль, обучающую и формирующую мышление. Составляя вкладыши, мы пользуемся прежде всего программой по математике и учебником.

Обучающую роль вкладыша можно рассматривать на следующем примере. Урок геометрии в 10 классе. Содержание – основные фигуры пространства, аксиомы стереометрии К уроку у учителя приготовлен слайд – аксиомы планиметрии., а у каждого ученика- аналогичный тематический вкладыш. На уроке формируем систему аксиом курса геометрии и завершаем работу по формированию тематического блока знаний (см. стр    )._.Следующий урок – некоторые следствия из аксиом стереометрии Можно рекомендовать следующую методику в обучении доказательству теорем. Изучаем теорему «Через прямую и не лежащую на ней точку можно повести плоскость, и при том только одну».Детализируем условие и заключение в записи, что дано и что надо доказать .Выучили условие -.начинаем поиск доказательства. Вопрос первый: Что надо сделать? Ответ: провести плоскость. Вопрос второй: А когда мы можем провести плоскость? И.совет: давайте посмотрим  вкладыш, переберем аксиомы – А1- нет, А2- нет, и т.д. С3- да!

Итак, нужны две различные прямые, имеющие общую точку. Одна прямая у нас уже есть, нужна вторая прямая. А что надо, чтобы провести прямую? Снова работа со вкладышем - и ответ дает аксиома А2: две точки. Одна точка вне данной прямой есть, а вторую можно отметить на ней по  аксиоме А1. Итак, провели вторую прямую, имеющую с данной одну общую точку. Тогда по аксиоме С3, проводим искомую плоскость. Подобная работа каждого ученика с вкладышем облегчает поиски доказательства и постепенно способствует запоминанию и накоплению основных знаний.

Так как решение любой задачи после анализа усвоения требует дополнительных знаний об объектах усвоения, то информационная и обучающая роль вкладыша здесь бесспорна особенно для учащихся, которые еще не достаточно свободно владеют всем объемом знаний, не осознают всех необходимых содержательных связей. .  

Формирование системы знаний по алгебре.

Программа по алгебре для  7-9-х классов имеет четыре содержательных линии, к которым в  10- 11-х классах добавляются еще две. Итак, имеем 6 содержательных линий:

1) действительные числа;

                                                        2) тождественные преобразования;

 3)уравнения и неравенства;

4) элементарные функции;

                     5) элементы математического анализа;

                         6) приложения математического анализа.

Анализируя тематическое планирование курса в аспекте изучения содержательных линий, наблюдаем такую  картину: : новые знания каждой содержательной линии изучаются со значительным и перерывами (см. «Приложение» таблица3. стр   )

Постараюсь отметить глубокие взаимосвязи перечисленных содержательных линий. В самом деле, объектами изучения первой содержательной линии являются числа и действия с ними. Объектами второй _ выражения и действия с ними.

Выражения составляются с помощью чисел и букв (то есть качество объектов, с которыми оперируем, несколько изменилось), но действия с ними выполняются по тем же правилам, что и с числами. Таким образом, при глубоком и осознанном усвоении первой содержательной линии вторая особых затруднений не вызовет. Овладение третьей содержательной линией – это та же работа с выражениями, но с учетом характерных свойств новых объектов – уравнений и неравенств .И наконец, четвертая содержательная линия концентрирует все знания предыдущих содержательных линий.

Сказанное хорошо иллюстрирует схема, представленная на рис. 20 стр     .(В кружках  указаны номера тем программы согласно таблице3 «Приложения»; ступени первой вертикали представляют понятия  2-ой содержательной линии, ступени второй вертикали – понятия  3-ей содержательной линии, ступени третьей вертикали – понятия 4-ой содержательной линии. В частности, ступени «лестницы» знаний и умений образно можно представить так, как показано на рис 21 стр   .

Итак, построение соответствующих блоков знаний в пределах каждой содержательной линии и целенаправленная работа с ними столь же важны, как и в геометрии.

Рассмотрим  применяемую мной методику обобщения содержательных линий школьной математики на примере элементарных функции.

В курсе алгебры 7-9-х классов учащиеся должны усвоить понятие функции, изучить простейшие элементарные функции и их свойства, усвоить приемы исследования функции и построения их графиков элементарными методами на сравнительно небольшом функциональном материале, который по годам распределен так:

7-й класс--------------понятие функции;

-прямая функциональная зависимость;

-линейная функция;

-квадратичная и кубическая функции;

8-ой класс-----------дальнейшее углубление общих свойств функций (понятие возрастания и убывания, промежутки  знакопостоянства,  нули функции);

Функции у = х,  у = кх; у = /х/;

9-й класс----------квадратичная функция у = ах + вх +с;

Степенная функция; радикальная; тригонометрические функции и их свойства (четность и нечетность).

В курс алгебры и начал анализа 10-11-х классов систематизируются и пополняются сведения об основных элементарных функциях и их свойствах (как на элементарном уровне, так и с привлечением аппарата анализа), причем материал, завершающий одну из основных содержательных линий школьного курса, по годам распределяется так:

10-й класс----------тригонометрические функции числового аргумента;

периодические функции;

11-й класс--------понятие об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе;

показательная функция;

логарифмическая функция.

Изучив в 7-ом классе весь предусмотренный материал о понятии функции, прямой функциональной зависимости и линейной функции, вместе с учащимися обобщаем и систематизируем знания, навыки и умения, отбираем и выделяем главное, образуем систему знаний и умений.

К моменту изучения квадратичной и кубической функций необходимая система знаний повторена. Дальнейшая работа дополняет систему знаний учащихся в пределах данного понятия. Вскрываются и устанавливаются новые внутренние существенные связи, отбирается и выделяется главное, организуется в систему, но уже на более высоком уровне.

В 8-ом классе ко времени введения возрастания  (убывания) функции и изучения квадратичной функции учащиеся вместе с учителем уже повторили систему своих знаний и умений в пределах данного понятия, установили возможность ее расширения. Дальнейшая работа опять дополняет уже вторую систему знаний и умений, опять вскрываются и устанавливаются существенные внутренние связи, отбирается . выделяется главное, организуется в систему, но уже на более высоком уровне, учитывающем то, что должны знать и уметь учащиеся за два года  изучения темы  «Элементарные функции».

В 9-ом классе перед изучением квадратичной функции вместе с учащимися повторяем систему знаний содержательной линии «Элементарные функции», сформированную за предыдущие  два года обучения. Восстанавливаем приобретенные навыки и умения. Эта работа напоминает в некоторой степени работу строителя: построили фундамент и начинаем возводить красивое , стройное и светлое здание, этаж за этажом. Устанавливаем возможность расширения изучаемого понятия и приступаем к работе по усвоению новых знаний и умений.

Квадратичная функция изучена, организована соответствующая система знаний Через несколько часов эта система снова будет повторена учащимися под руководством учителя и снова найдет свое продолжение при изучении степенной и радикальной функций.

Работу по усвоению знаний и умений содержательной линии «Элементарные функции» за курс 7-9-х классов завершаем вместе с учащимися при итоговом повторении в 9-ом классе. В 10-11-х классах продолжаем эту работу в том же плане и направлении, но каждый раз на более высоком уровне.

Итак, обобщая и систематизируя знания, умения и навыки учащихся в пределах данной содержательной линии на каждом этапе обучения вместе с ними отбираем и выделяем главное, организуем в систему;

-перед каждым этапом повторяем соответствующую систему знаний, восстанавливаем необходимые навыки;

-после каждого этапа дополняем систему, вскрываем и устанавливаем внутренние существенные связи, то есть организуем новую систему, причем всякий раз на более высоком уровне.

За пять лет учащиеся изучают более двадцати примеров функций семи различных видов. План исследования функции, оставаясь в сущности неизменным, постепенно уточняется: в 7-ом классе мы знакомимся с понятием функции, способами ее задания, графиком, областью определения и областью значений; в 8-ом классе вводятся промежутки возрастания и убывания функции, ее знакопостоянства; определяются нули функции; в 9-ом классе – четность и нечетность и т.д.

Наглядно описанную систему работы можно представить в виде схемы 5 и 6  стр   .  

Рассмотрим теперь пример понятийного обобщения и систематизации построения блока «Степень. Возведение в степень»..

В курсе алгебры 7-9-ых классов  учащиеся должны прочно усвоить понятие степени и приобрести умение  возводить выражения в степень, выполнять преобразования выражений, содержащих степени (содержательная  линия «Тождественные преобразования»), а именно:

5-6-ой классы –квадрат и куб числа (пропедевтика изучения);

7-ой класс—степень с натуральным показателем и ее свойства (цель – выработать умение применять свойства степени в преобразованиях выражений, содержащих степени с числовыми и буквенными основаниями);

8-ой класс--- степень с целым показателем и ее свойства ( цель – знать свойства и уметь применять их для преобразования выражений);

9-ый класс---степень с рациональным показателем и ее свойства (цель – выработать умение применять свойства в преобразованиях выражений).

Учащиеся также должны прочно  усвоит основные  алгоритмы (умножение и деление степеней, возведение степени в степень и др.). Изучив определение и свойства степени с натуральным показателем, обобщаем вместе с учащимися соответствующие знания и умения, организуем их в систему, которую можно представить схемой 7 стр.  

Доказательство свойств степени проводится на конкретных примерах с числовыми показателями. Основные алгоритмы находят содержательное применение при изучении дробных рациональных выражений и их преобразований, а при изучении многочленов отрабатываются до автоматизма.

Учащиеся 7-го класса, имея определенную систему знаний и умений, связанных с понятием степени с натуральным и нулевым  показателем, получают проблемный вопрос: Возможно ли продолжение работы с понятием степени для целых и рациональных чисел; необходимо ли такое продолжение?

В 8-ом классе напоминаем учащимся этот вопрос и для поиска ответа предлагаем повторить имеющуюся систему знаний о степени и восстановить умения и навыки. И только после этого система знаний при изучении определения степени с целым показателем и ее свойств получает свое логическое расширение и обобщение.

Образно эту систему можно представить схемой 8 стр.   .

Доказательство свойств также проводим на конкретных примерах с числовыми показателями. Соответствующие алгоритмы отрабатываем до автоматизма в тождественных преобразованиях. Одно – два свойства предлагаем учащимся доказать в общем виде, обращая их внимание на то, что в 9-ом классе такими умениями необходимо будет каждому.

Итак, система знаний и умений в пределах данного понятия за два года обучения организована, указана возможность и необходимость ее расширения.

Ко времени изучения степени с рациональным показателем в 9-ом классе учащиеся вместе с учителем повторят имеющуюся систему знаний, восстановят умения и навыки и продолжат изучение, но уже на более высоком уровне. Соответствующая  система  знаний представлена в виде схемы9 стр.    .

Эта работа завершается при итоговом повторении в 9-ом классе  алгебры 7-9-х классов, находя дальнейшее применение при изучении алгебры и начал анализа в 10-11 классах.

Итак,

--обобщаются и систематизируются знания, навыки и умения в пределах данного понятия, на каждом этапе обучения отбирается и выделяется главное, организуется в систему;

--перед каждым новым этапом обучения повторяется система знаний, восстанавливаются навыки и умения;

--после каждого этапа обучения дополняется система, вскрываются и устанавливаются внутренние существенные связи, то есть организуется новая система, причем непременно на более высоком уровне.

 .