Формирование целостных знаний по математики с помощью технологии укрупнения дидактических единиц.
статья по алгебре (11 класс) по теме

Формирование целостных знаний по математики с помощью

технологии укрупнения дидактических единиц.

Беденко Светлана Викторовна

В начале своей педагогической деятельности  я столкнулась с тем, что учащиеся, изучив раздельно и вроде бы успешно взаимообратные операции, не умели находить различия и сходства задач, относящихся к каждому из них, т.е. не овладевали надежными приемами выбора действия? И задумалась, почему это происходит?

Наверно потому что длительное время решали сходные задачи на основе одного правила и не встречались с необходимостью выбора одного из двух возможных вариантов рассуждения. Иное дело при одновременном изучении этих знаний с самого начала ученик рассматривает их различие и сходство, овладевает надежными приёмами их дифференцирования. Да и согласно современным научным данным, всякая информация, воспринятая человеком, циркулирует в так называемой оперативной памяти в течение 15-20 мин, после чего “уходит” на хранение в долговременную память. Эта фаза оперативной памяти наиболее оптимальна для всевозможных перекодировок информации, для преобразования знаний.

     Вся математика состоит из контрастных – парных знаний: прямые и обратные операции – сложение-вычитание, умножение - деление, показательная - логарифмическая функции, дифференцирование-интегрирование и другие. Знания в учебниках разводятся по времени, представлены разрозненно и хаотично. Иногда их разделяют десятки страниц учебника, а бывает, они разбросаны по учебникам разных классов. Связь между понятиями и суждениями остается для ученика весьма смутной, неясной и это не позволяет ребенку увидеть целостную картину мира, понять его противоречивость.  Поэтому  преобразование полученной таким образом информации в категориальную систему представляют для ученика большую трудность, не все ученики с нею справляются, запоминают полученную информацию и выдают ее по требованию учителя в том же виде, в каком ее получил. Подлинных знаний у них так и не образуется. К тому же стремительно растет поток информации, а количество часов уменьшается. Новый день диктует новый ритм. Надо задумываться о последствиях перегрузки.

Решением этой проблемы является создание системы уроков с использованием  укрупнённой дидактической единицы.  

Укрупнённая дидактическая единица – это не просто объединения 2-3 параграфов, это объединения учебного материала в виде структурированной информации, готовой для логического осмысления.

Рассмотрим четыре основных способа  укрупнения дидактических единиц предложенных нам  П.М. Эрдниевым:

1. совместное и одновременное изучение взаимосвязанных вопросов программы;
2. преобразование решенной задачи в обратную или аналогичную, что позволяет вычерпывать все новое содержание с каждым видоизменением исходного упражнения;
3. метод деформированных упражнений,  в которых искомыми являются не один, как обычно, а несколько элементов задания; благодаря этому приему в мышлении образуется рациональная система знаний;

4.   усиление удельного веса творческих заданий по самостоятельному составлению учащимися задач, примеров, демонстраций.

Подробнее остановимся на совместном и одновременном изучении взаимосвязанных вопросов программы.

Какие вопросы программы сходные по характеру мыслительных процессов целесообразно изучать вместе?

1) Изучать одновременно взаимно обратные действия и операции: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, заключение в скобки и раскрытие скобок, логарифмирование и потенцирование и т.п..

2) Сравнивать противоположные понятия, рассматривая их одновременно: прямая и обратная теоремы; прямая и противоположная теоремы; прямая и обратная функции; периодические и непериодические функции; возрастающие и убывающие функции; неопределенные и «определенные» уравнения; непротиворечивые и противоречивые уравнения, неравенства; прямые и обратные задачи вообще;

3) Сопоставлять родственные и аналогичные понятия: уравнения и неравенства, арифметические и геометрические прогрессии, одноименные законы и свойства действий первой и второй ступени; определения и свойства синуса и косинуса, свойства прямой и обратной пропорциональности и т.д..

4) Сопоставлять этапы работы над упражнением, способы решения, например: графическое и аналитическое решения системы уравнений; аналитический и синтетический способы доказательства теорем (решения задач); геометрическое и аналитическое (через координаты) определения вектора; доказательство «рассуждением» и с помощью граф-схемы и т.п.

При этом используются фундаментальные закономерности мышления, оптимизирующие познавательный процесс:

 — закон единства и борьбы противоположностей; — перемежающееся противопоставление контрастных раздражителей (И.П.Павлов).

— принцип обратных связей, системности и цикличности процессов (П.К.Анохин), обратимости операций (Ж.Пиаже);

 — переход к сверхсимволам, т.е. оперирование более длинными последовательностями символов (кибернетический аспект).      

Используя  на уроке одновременно все кодовые системы психики человека: слова, числа, предметы, рисунки (чертежи), символы (знаки), опыт, разные подходы к содержанию мы включаем у учащихся различные каналы восприятия (аудиальный, визуальный, моторный) и тогда словесное мышление сочетается с символическим.

Опираясь на  физиологические закономерности человека, на глубинные  структуры мозга, у учащихся развивается  умение «переходить» от образного представления  конкретных объектов, величин и их мер к визуальной обобщенной абстрактной схеме, отражающей данные и четкое осознание взаимосвязей между объектами и величинами и иерархии между ними.

В связи с этим структуру учебной деятельности я строю следующим образом:

1 этап - постановка «проблем»;
2 этап - предметная деятельность по выявлению свойств;
3 этап - анализ наиболее общих свойств, абстрагирование от конкретных критериев объекта;

4 этап - ознакомление с частными проявлениями свойств.

Рассмотрим выше изложенное при изучении темы «Взаимосвязь логарифмической  и показательной функций».

1 этап - Начнём с постановки «проблемы»:

Выполните задания:

1. Наименьшее целое решение неравенства

равно:

А) –1         B) 5                        C) 0,1                        D) 1                        E) 3

2. Если xo  – наибольший корень уравнения , то значение выражения  равно:

А) –1         B) 5                C) 0,1                        D) 1                        E) 3

А для того чтобы их решить, исследуем взаимосвязь логарифмической  и показательной функций.

2 этап -предметная деятельность по выявлению свойств изучаемых объектов, которые являются основанием для развития темы,

Запиши следующие равенства, не применяя знак логарифма:

3=lg28, 2=log39, 2=log416.

3этап - анализ наиболее общих свойств и различий, абстрагирование от конкретных критериев объекта.

Показательная и логарифмическая функция являются взаимно обратными.

Графики взаимно обратных функций f(x) = logax и  g(x) = ax

симметричны относительно прямой h(x) = x

При  a>1                                                       0

Логарифмы позволяют решать задачи, сводящиеся к простейшим показательным уравнениям; это позволяет упрощать вычисления, и наоборот с помощью показательного уравнения легко вычислить любой логарифм.

4 этап - ознакомление с частными проявлениями свойств

Упражнение-триада

  Вернёмся к нашим заданиям.

1. Наименьшее целое решение неравенства

равно:

А) –1         B) 5                        C) 0,1                        D) 1                        E) 3

Решение:  Используя свойство логарифмов , преобразуем второе слагаемое . Тогда неравенство примет вид: и х>4.

                              Ответ: 5

2. Если xo  – наибольший корень уравнения , то значение выражения  равно:

А) –1         B) 5                C) 0,1                        D) 1                        E) 3

Решение: Использовать формулу , получить , откуда х = 100.

То значение выражения  равно 3.

Подведём итоги.

Важно, что именно на одном уроке должно происходить укрупнение знаний, чтобы вычленение признаков тут же сопровождалось их сличением.

Ключевой элемент УДЕ — это упражнение-триада, элементы которой рассматриваются на одном занятии: исходная задача; ее обращение; обобщение.

Преобразование выполненного задания, осуществляется немедленно на этом уроке, через несколько секунд или минут после исходного, чтобы познавать объект в его развитии, противопоставить исходную форму знания видоизмененной.

Есть определенные правила построения материала:

Парные суждения печатаются на одной странице параллельно, сходные высказывания совмещаются в двухэтажные конструкции, в примерах, уравнениях и неравенствах часто встречаются пустые клетки, теоремы доказываются не привычным словесным способом, а с помощью граф-схем.

Эти  технологические детали очень важны.        

В результате сравнительного анализа работы по классической системе обучения  математике и технологии укрупнения дидактических единиц, сделаем выводы:

1. Благодаря активизации подсознательных механизмов переработки информации, посредством сближению во времени и пространстве взаимодействующих компонентов целостного представления происходит самовозрастание знаний учащихся, устойчивых к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти.
2. Через преобразование,  изменение,  обобщение, сравнение ранее пройденного идет активное повторение. А это -  залог прочности знаний.
3. Это – экономия времени, увеличение  объема подачи дополнительного материала.
4. При применении УДЕ заметно повышается качество знаний, при том что учебное время по сравнению с существующими нормами сокращается в среднем на 20%.
5. УДЕ развивает логическое мышление ребят, учит их приемам свертывания и развертывания информации, помогает безошибочно вычленять главное.
6. Создаются действенные и эффективные условия для развития познавательных способностей детей, их интеллекта и творческого начала,  расширение математического кругозора.

Литература:

1. Методика упражнений по математике Эрдниев П.М. изд. 2  «Просвещение» 1970

2. Укрупненные дидактические единицы на уроках математики: Кн. для учителя / Эрдниев П. М. «Просвещение» 1995
3. Математика: Учебник для 7 класса средней школы. Серия: Материалы для ознакомления. Эрдниев О.П., Эрдниев П.М.  2001