Решение уравнений методом оценки
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок повторения по алгебре и началам анализа 11 классе

Тема: «Решение  уравнений  методом оценки   (подготовка к ЕГЭ)»            

Цели урока:  1) научить узнавать уравнения, которые можно решать методом оценки;

                        2) научить  заменять сложные конструкции более простыми моделями;

                        3)  научить решать уравнения методом оценки.

Ход урока

 Учитель:  Завершая изучение школьного курса алгебры и математического анализа, мы повторили и обобщили методы решения различных уравнений. Сегодня остановимся на одном из них – методе оценок или методе мажорант. Вам придется с ним столкнуться на экзамене в заданиях серии С.

    Если уравнение f(x) = g(x)  можно решить методом оценки, т.е. если можно оценить значения функций  f(x)  и g(x), то какими свойствами должны обладать данные функции?

-  Они должны быть ограниченными.

-  Приведите примеры ограниченных функций.

- Начертите схематично графики функций.

- А если функция сложная и она зависит от ограниченной функции?

Например:    Элементарная   функция    y = logaх  является неограниченной, а сложная функция  y = – ограничена, т.к. ее аргумент, элементарная квадратичная функция , ограничен. Таким образом, можно сказать, что если неограниченная функция зависит от ограниченной, то она тоже становится ограниченной.

    Вывод: Если дана сложная функция, которая при сведении к элементарной, является неограниченной, а ее аргумент задан ограниченной функцией, то полученная функция будет ограниченной.

   Итак, метод оценки или метод мажорант  используется в уравнениях вида  f(x) = g(x) , где f(x) и   g(x) – ограниченные функции, и на ОДЗ данного уравнения наибольшее значение  (А) одной из них равно наименьшему значению (А)  другой.   Тогда исходное уравнение равносильно системе уравнений:  

   Выберите из предложенных уравнений те, которые можно попробовать решить методом оценки.

- 1, 4 и 6 уравнения.

-  Объясните, почему 2-е уравнение нельзя решить методом оценки?

-  Функция    у = х + 1  неограниченна.

-  Почему 5-е уравнение нельзя решить методом оценки?

- Функция    у = log1/3x   неограниченна.

-  А вот уравнения  (3) и (7) можно попробовать решить этим способом, т.к. их можно свести к виду   f(x) = g(x) , где f(x) и   g(x) – ограниченные функции. Попробуйте!

- В самом деле:

3)       

7)  cos x + sin  = 1 ;         cos x = - sin   + 1.  

- Кстати, неравенство  (8), тоже можно решить данным методом. Кто желает поработать у доски?

- Решите самостоятельно уравнение (4). Проверим:

4)  cos(2x) = x2 – 2x + 2 ,  модель:     f(x) = g(x) , где f(x)= cos(2x)   и   g(x) = x2 – 2x + 2.

f(x)= cos(2x)  - определена и непрерывна на R,    Е( f ) = ;

  g(x) = x2 – 2x + 2- определена и непрерывна  на  R,  ;

наибольшее значение f(x )= 1 и наименьшее значение  g(x) = 1, значит исходное уравнение равносильно системе уравнений:   корнем второго уравнения является значение   х=1, подставим данное число в первое уравнение:    cos(2π∙1) = 1, cos(2π) = 1 – верно, значит х = 1 является решением системы, а следовательно и исходного уравнения.

   Ответ:  1.

-  Кто попробует решить уравнения (3)  и  (6)?

Примерный вариант решения:

3)        составим упрощенную модель уравнения:     . Очевидно, что   и    при всех допустимых значениях переменной х, т.е. наибольшее значение левой части равно нулю  и  равно наименьшему значению правой части, значит, уравнение равносильно системе уравнений:

  х = 1   является решением  второго уравнения. Проверкой убеждаемся, что х =1 –корень и второго уравнения.

   Ответ:  1

 (6)  

Модель:     рассмотрим функции     и  f = 3 + log14/2 (g).

E(y) = [0;3],  E(f)[3; +) , т.к.   E(log14/2 ( g ) )[0; +)  (в данном случае можно не находить правую границу множества значений функции f(g)  ).  Наибольшее значение левой части равно трем и равно наименьшему значению правой части, следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:  

Решим второе уравнение: log1/2(x2 –x + 1) = 0,  x2 – x + 1 = 1,  x2 – x = 0, x( x – 1) = 0,

Подставим найденные значения в первое уравнение:

х = 0,  не является корнем исходного уравнения;

х = 1,   - верно, значит, х = 1 – корень исходного уравнения.

   Ответ: 1

   Выводы урока: Итак, уравнения следует решать методом оценки, если:

• В уравнении присутствуют функции разной природы (тригонометрические и показательные, показательные и логарифмические и т.п.);
• Эти функции ограничены;
• На ОДЗ наибольшее значение одной из них равно наименьшему значению другой.

Примерная схема решения уравнений методом оценки:

• Свести уравнение к виду     f(x) = g(x);
• Найти множества значений данных функций на ОДЗ уравнения;
• Если наибольшее значение одной из них равно А и равно наименьшему значению другой, то составить систему уравнений  
• Решить наиболее простое из них и подставить полученные корни во второе уравнение, те значения переменной  х  , которые являются корнями двух уравнений одновременно и будут решениями исходного уравнения.

   Домашнее задание:

Решить уравнения: 1)

                                     2)

                                     3)

                                     4)