Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве
материал по алгебре (10 класс) по теме

Итоговая работа

«Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике»

Выполнила: Кузьмина Надежда Дмитриевна  (269-524-019)

Примерное планирование учебного времени

 «Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве»

 (20ч, из них 16ч+4ч-проверочные работы)

План-конспект урока

«Координатный и векторный методы нахождения расстояния от точки до плоскости»

Цель урока: отработка навыков решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости с использованием координатного и векторного методов, формирование навыков составления уравнения плоскости, проходящей через три точки,закрепление навыков выбора системы координат, разложения вектора по векторам.

1. Организационный момент – 1 минута.
2. Фронтальный опрос - 2 минуты.

На прошлом уроке мы рассматривали вычислительный метод решения задач на нахождение расстояния от отчки до плоскости. Давайте вспомним, как можно найти расстояние от точки до плоскости, используя этот метод?

- использование определения расстояния от точки до плоскости (на чем опирается?);

- использование метода параллельных прямых (на чем опирается?);

- использование метода объемов (на чем опирается?);

- использование метода подобия (на чем опирается?).

При нахождении расстояний в пространстве вычислительным методом возникают трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, соповождающими эти построения. Избавить нас от такого рода трудностей могут координатный и векторный методы.

1. Работа в парах со взаимопровекой – 3 минуты.

1. Групповая работа – 20-25 минут.

Учащиеся разбиваются на две группы. Первая группа работает над координатным методом, а вторая над векторным. Задача каждой группы -  изучить свой метод решения и приготовиться к выступлению - объяснению сущности своего метода другой группе. Ребята работают с тремя учебными модулями: теоретический модуль, подготовительный модуль и  практический модуль. Роль учителя заключается в консультировании учащихся по ходу их самостоятельной работы, помощи в подготовке выступления.

1 группа «Координатный метод нахождения расстояния от точки до плоскости»

Теоретический модуль (3-5 минут)

Координатный метод

1. Вычисление расстояния от точки до плоскости.

Пусть дана точка М(x0, y0, z0) и плоскость α, заданная уравнением  в прямоугольной декартовой системе координат.

Расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле

1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Иногда удобно использовать уравнение плоскости в отрезках  ,

если известны координаты точек (a;0;0), (0;b;0), (0;0; c) пересечения данной плоскости с координатными осями Ox,Oy , Oz соответственно.

Пример 1. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть

Для точки N:

То есть

Для точки К:

То есть

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: a, b, c  и d. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю. К примеру, пусть , тогда решая систему, получаем: . А уравнение плоскости примет следующий вид: , умножим на -3, чтобы коэффициенты стали целыми:

Пример 2.  В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами Высота параллелепипеда  . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Решение: Введем систему координат, как показано на рисунке, и найдем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A1DB.

По очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение , получаем систему уравнений:

Выберем тогда .

Уравнение плоскости A1DB будет иметь вид: .

Используя формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости, вычисляем искомое расстояние:

: 2

Подготовительный модуль (4-6 минут) с последующей взаимопроверкой

Решите следующие задачи:

Указание. Чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, достаточно выбрать точку на одной из плоскостей.

Практический модуль (8-10 минут) - работы проверяются учителем.

Решите следующие задачи координатным методом:

Подготовка выступления от группы (3-5 минут)

2 группа «Векторный метод нахождения расстояния от точки до плоскости»

Теоретический модуль (3-5 минут)

Векторный метод

Пусть дана плоскость α, содержащая два неколлинеарных вектора  , точка А принадлежит плоскости α, точка М вне плоскости α, .

Чтобы найти расстояние от точки M до плоскости α, то есть длину перпенди-

куляра MP (  ), представим вектор  в виде

Неизвестные коэффициенты x, y находятся из условия перпендикулярности

вектора  векторам  :

Искомое расстояние (длина вектора ) выражается следующим образом:

Пример. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки А1 до плоскости BDC1.

Решение. Введем базисные векторы. Пусть , тогда , . Выразим векторы ,  , через базисные векторы , ,:

 ,  ,  

Пусть МА1  BDC1, где M  BDC1.

Вектор , поэтому

Далее имеем

Так как

то имеем

Отсюда получаем

Подготовительный модуль (4-6 минут) с последующей взаимопроверкой

Решите следующие задачи:

Практический модуль (8-10 минут) - работы проверяются учителем.

Решите следующие задачи векторным методом:

Подготовка выступления от группы (3-5 минут)

1. Выступления участников групп 10-12 минут .

Результат выступления оценивается другой группой на основе голосования (по пятибальной шкале), оценка выставляется отдельно, независимо от общего рейтинга.

1. Домашнее задание - 1 минута.

Задачи, предложенные группам в практическом модуле необходимо решить другим методом (участники группы «Координатный метод» решают векторным, участники группы «Векторный метод» - координатным).

1. Подведение итогов – 1 минута.

Лист контроля

7-8 баллов – отлично (5),

5-6 баллов – хорошо (4),

3-4 балла – удовлетворительно (3),

менее 3 баллов – неудовлетворительно (2).

Проверочная работа № 1

«Нахождение расстояний в пространстве»

 (1 вариант)

Критерии оценивания заданий №2-5:

Методика оценивания:

8-9 баллов – отлично (5),

5-7 баллов – хорошо (4),

3-4 балла – удовлетворительно (3),

менее 3 баллов – неудовлетворительно (2).

Краткий анализ знаний учащихся.

По результатам изучения темы "Применение различных методов нахождения расстояний и углов в пространстве учащиеся должны:

–        знать основные определения, аксиомы и теоремы стереометрии, свойства фигур в пространстве и формулы нахождения площадей и объемов, правила работы с векторами (сложение, вычитание, скалярное произведение, разложение по векторам), формулы, использующие координаты точек и векторов, алгоритмы  нахождения расстояний и углов различными методами.

–        уметь строить чертежи, сводить объемную задачу к пространственной, выполнять дополнительные построения, правильно выбирать систему координат и определять координаты точек и векторов, выбирать базисные векторы, составлять уравнение плоскости, определять векторы нормалей и направляющие векторы.