таблицы - шпоргалки по алгебре и геометрии 8 класс
методическая разработка (алгебра, 8 класс) по теме

Формулы сокращенного умножения

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

a2-b2=(a-b)(a+b)

a3+b3=(a+b)( a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)( a2+ab+b2)

Свойства степени

am•an=am+n

am:an=am-n

(am)n=amn

(ab)n= an•bn

n =

Если a≠0, то a0=1                  и   a-n= , где n- любое натуральное число

Алгоритм выделения полного квадрата

Сперва рассматриваем приведённое квадратное уравнение, одновременно выделяя алгоритм решения квадратных уравнений данным приёмом.

х2 – 6х – 7 = 0.

1-й  ш а г. Записываем второй коэффициент в виде произведения двойки и некоторого числа: b = 2п.

х2 – 6х – 7 = х2 – 2 · 3х – 7.

2-й  ш а г. Число п представляет собой второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: п = 3. Для того чтобы получить искомый квадрат двучлена (х – n)2 = х2 – 2 · х · п + n2, необходимо прибавить п2 и одновременно вычесть его:

х2 – 2 · 3х – 7 = х2 – 2 · 3х + 9 – 9 – 7.

3-й  ш а г. Выделяем квадрат двучлена:

х2 – 6х – 7 = х2 – 2 · 3х + 9 – 16 = (х – 3)2 – 16.

4-й  ш а г. Решаем полученное уравнение, равносильное исходному:

(х – 3)2 – 16 = 0;

(х – 3)2 = 16;

х – 3 = 4       или        х – 3 = –4;

х = 7             или        х = –1.

О т в е т: –1; 7.

Алгоритм выделения полного квадрата

Сперва рассматриваем приведённое квадратное уравнение, одновременно выделяя алгоритм решения квадратных уравнений данным приёмом.

х2 – 6х – 7 = 0.

1-й  ш а г. Записываем второй коэффициент в виде произведения двойки и некоторого числа: b = 2п.

х2 – 6х – 7 = х2 – 2 · 3х – 7.

2-й  ш а г. Число п представляет собой второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: п = 3. Для того чтобы получить искомый квадрат двучлена (х – n)2 = х2 – 2 · х · п + n2, необходимо прибавить п2 и одновременно вычесть его:

х2 – 2 · 3х – 7 = х2 – 2 · 3х + 9 – 9 – 7.

3-й  ш а г. Выделяем квадрат двучлена:

х2 – 6х – 7 = х2 – 2 · 3х + 9 – 16 = (х – 3)2 – 16.

4-й  ш а г. Решаем полученное уравнение, равносильное исходному:

(х – 3)2 – 16 = 0;

(х – 3)2 = 16;

х – 3 = 4       или        х – 3 = –4;

х = 7             или        х = –1.

О т в е т: –1; 7.

корень квадратный                    из числа

Квадрат

чисел

12=1

22=4

32=9

42=16

52=25

62=36

72=49

82=64

92=81

102=100

112=121

122=144

132=169

142=196

152=225

162=256

172=289

182=324

192=361

202=400

корень квадратный                    из числа

Квадрат

чисел

12=1

22=4

32=9

42=16

52=25

62=36

72=49

82=64

92=81

102=100

112=121

122=144

132=169

142=196

152=225

162=256

172=289

182=324

192=361

202=400

КОРНИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

D = b2 - 4ac

КОРНИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

D = b2 - 4ac

КОРНИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

D = b2 - 4ac

Если D>0

Есть 2 корня

Если D=0

Есть 1 корень

X=  -  

Если D<0

Нет корней

Если D<0

Нет корней

Если D=0

Есть 1 корень

X=  -  

Если D>0

Есть 2 корня

Если D<0

Нет корней

Если D=0

Есть 1 корень

X=  -  

Если D>0

Есть 2 корня

Квадратные уравнения

  - стандартный вид, a,b,c – коэффициенты

Неполные квадратные уравнения

1. b=0                                                                                                      2) c=0

Квадратные уравнения

  - стандартный вид, a,b,c – коэффициенты

Неполные квадратные уравнения

1. b=0                                                                                                      2) c=0

   и  

Корней нет

   и  

Корней нет

Параллелограмм

Определение:

                    А                                 В

Это четырехугольник, у которого                              

         противоположные стороны попарно параллельны

    D                                 С

Свойства:

1. У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны                                                            A                                            B

       D                                       C

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

                                                                                         A                                         C

                                                                    B                                           D

Признаки:

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
2. Если  в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Параллелограмм

Определение:

                    А                                 В

Это четырехугольник, у которого                              

         противоположные стороны попарно параллельны

    D                                 С

Свойства:

1. У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны                                                            A                                            B

       D                                       C

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

                                                                                         A                                         C

                                                                    B                                           D

Признаки:

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
2. Если  в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников

        Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников

Прямоугольник

Опр.: прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые ( 900)

Свойства:

(Свойства параллелограмма)

Признаки прямоугольника

Прямоугольник

Опр.: прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые ( 900)

Свойства:

(Свойства параллелограмма)

Признаки прямоугольника

ABCD - прямоугольник

AB CD,   BCAD,

AB=CD, BC=AD,

AO=OC, BO=OD

ABCD - прямоугольник

А) 0 (все углы прямые)

В) AC=BD (диагонали равны)

ABCD -  параллелограмм

 0

ABCD -  параллелограмм

AC=BD (диагонали равны)

ABCD - прямоугольник

ABCD - прямоугольник

AB CD,   BCAD,

AB=CD, BC=AD,

AO=OC, BO=OD

ABCD - прямоугольник

А) 0 (все углы прямые)

В) AC=BD (диагонали равны)

ABCD - прямоугольник

ABCD - прямоугольник

ABCD -  параллелограмм

AC=BD (диагонали равны)

ABCD - прямоугольник

ABCD -  параллелограмм

 0

Свойства прямоугольника

Любой прямоугольник является параллелограммом, значит, обладает всеми его свойствами:

Кроме того, у прямоугольника имеются свои свойства:

Признаки прямоугольника

________________________________________________________________________________________________

Свойства ромба

Признаки ромба

Свойства квадрата

Признаки квадрата

Для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является квадратом, можно:

1. доказать, что четырехугольник является прямоугольником с равными сторонами;

2.  доказать, что четырехугольник является ромбом с прямыми углами