Конспект урока по теме "Экспериментальные данные и вероятности событий"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

СЦЕНАРИЙ УРОКА
Экспериментальные данные и вероятности событий

Цель  урока: ознакомление учащихся со статистическим определением вероятности; формирование навыков нахождения вероятности статистическим способом.

Задачи:

- обучающие: закрепить умение находить вероятность по классическому определению,

научить проводить статистический эксперимент с помощью виртуальной лаборатории, оформлять результаты эксперимента в устной и письменной форме, находить вероятность по статистическому определению;

         - развивающие: развивать   исследовательскую культуру (умение использовать научные методы познания, находить пути решения проблемных вопросов), развивать умение сравнивать, делать выводы.

- воспитательные: научить планированию учебного сотрудничества со сверстниками, формировать научное мировоззрение.

Тип урока: комбинированный урок.

Формы работы учащихся: индивидуальная и фронтальная работа, работа в парах.

Длительность: 1 учебный час (40 мин).

Необходимое техническое оборудование: компьютерный класс, проектор, экран, CD-ROM. Учебное электронное издание. «Математика 5-11. Практикум. Новые возможности для усвоения курса математики». Дрофа, 2005.

Даже знание в собственном смысле слова сообщить невозможно.

Можно их человеку предложить, подсказать, но овладеть ими он

должен путем собственной деятельности… Можно наполнить

чем-нибудь тело, например, ядом, но ум наполнить ничем нельзя.

 Он должен самостоятельно все охватить, усвоить, переработать.

А. Дистервег

1 этап (1 мин). Организационный момент.

Цель: проверить готовность учащихся к уроку, настроить на доброжелательное общение.

2 этап (7 мин). Проверка знаний ранее изученного.

Цель: проверить уровень усвоения основных понятий прошлых уроков (событие, невозможное событие, достоверное, случайное, классическое определение вероятности), закрепить умение находить вероятность по классическому определению.

Формируемые УУД: для одних учащихся: анализ, умение сравнивать, умение контролировать свое время; для других: контроль, оценка (осознание качества и уровня усвоения). 

Учащиеся работают в парах за компьютерами. Один из учащихся выполняет задания. Другой на данном этапе урока выступает в роли помощника учителя. Фиксирует результаты, попытки, ставит предварительную оценку. Сдает оценочный лист учителю. За урок получат отметки только те учащиеся, которые выполняют тест.

Содержание работы

1. Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие – достоверные, какие – случайные.

А ={футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью};

В={вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее};

C={в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце};

D={завтра будет контрольная по математике};

Е={30 февраля будет дождь};

F={вас изберут президентом США};

G={вас изберут президентом России}.

1. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синих ручки. Из коробки наугад вынимают два предмета. Какие из следующих событий невозможные, какие случайные, какие – достоверные.

А ={вынуты две красные ручки};

В={вынуты две зеленые ручки};

C={вынуты две синие ручки};

D={вынуты ручки двух разных цветов};

Е={вынуты две ручки};

F={вынуты два карандаша}.

1. Для каждого из следующих событий найдите число всех равновозможных исходов, число благоприятных исходов и вероятность. В урне 15 белых, 25 черных шаров. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?
2. Из слова «СОБЫТИЕ» случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
3. Определите вероятности следующих событий.

А ={при бросании монеты выпал «орел»};

В={при бросании кубика выпала тройка};

C={при бросании кубика выпало четное число};

D={из колоды карт вытянули туза};

Е={из колоды карт вытянули шестерку}.

Оценочный лист

3 этап (4 мин.) Актуализация и мотивация темы. Построение проблемного вопроса.

Цель: организовать и целенаправить познавательную деятельность учащихся, подготовить к усвоению нового материала, формировать целенаправленный характер учебной деятельности.

Формируемые УУД: умение слушать, умение выделять существенные признаки, целеполагание (принятие и самостоятельная постановка новых учебных задач).

Учитель: Что нужно для вычисления классической вероятности?

Учащиеся: Нужно знать все возможные исходы события и благоприятные исходы.

Учитель: К каким событиям применимо классическое определение вероятности?

Учащиеся: Классическое определение вероятности применимо только к событиям с равновозможными исходами, что ограничивает область его применения.

Учитель:  Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Опыт (ошибка Даламбера). Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Решение Даламбера: Опыт имеет три равновозможных исхода:

1. обе монеты упадут на «орла»;
2. обе монеты упадут на «решку»;
3. одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятными будут два исхода. 

Правильное решение: 

Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1) обе монеты упадут на «орла»;

2) обе монеты упадут на «решку»;

3) первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»;

4) первая монета упадет на «решку», вторая на «орла».

Из них благоприятными будут два исхода. 

Даламбер допустил одну из самых распространенных ошибок: он объединил два элементарных исхода в один, тем самым, сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам.

Формула классической вероятности дает очень простой способ вычисления вероятностей. Однако простота этой формулы обманчива. При ее использовании возникают два очень непростых вопроса:

1. Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможными, и можно ли это сделать вообще?
2. Как найти числа т и n и убедиться в том, что они найдены верно?

Как же еще можно определять вероятность?

Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается тем более вероятным, чем чаще оно происходит. Вероятность попасть под дождь в Лондоне гораздо выше, чем в пустыне Сахара.

Какой вывод можно сделать из этого?

Учащиеся: Вероятность должна быть каким-то образом связана с частотой.

Учащиеся с помощью учителя формулируют проблемный вопрос урока: «Как вероятность связана с частотой?»

4 этап (9 мин.) Изучение нового материала. Основные понятия.

Цель: дать учащимся конкретные определения новых понятий (абсолютная вероятность, относительная вероятность, эксперимент),  на основе приобретенных знаний выработать умения находить абсолютные и относительную вероятность, помогать и направлять учащихся при обсуждении плана конкретных действий для ответа на проблемный вопрос урока.

Формируемые УУД: умение слушать, умение давать определение понятиям, знаково-символьная деятельность, структурирование знаний,  выбор эффективных способов решения задачи в зависимости от конкретных условий, построение логической цепи рассуждений,  планирование (определение последовательности действий), поиск и выделение необходимой информации.

Учитель: Введем три новых определения:

Эксперимент (или опыт) - наблюдение за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерение значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений). Эксперимент называют статистическим, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз.

Абсолютной частотой случайного события А в серии из N случайных опытов называется число NА , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие А.

Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов:

где А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию, N раз проведено испытание и при этом событие А наступило в NА случаях.

Учащиеся слушают, записывают в тетрадь основные понятия.

Учитель демонстрирует на экране задания.

 Пример 1. Упражнение разделf «Вероятность и статистика» п.2.1 «Частота абсолютная и относительная» № 1 [3].

Пример 2. а) Французский естествоиспытатель Бюффон  (XVIII в.) бросил монету 4040 раз,  и при этом герб выпал в 2048 случаях.

б) Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз.

Найдите  абсолютную и относительную частоты в данных примерах.

а)

б)

Учащиеся работают письменно. Один ученик работает у доски.

Учитель: Что вы скажите о значении относительной частоты в примере 2?

Учащиеся: она приближенно равна вероятности 0,5.

Учитель: В каком случае относительная частота ближе к числу 0,5?

Учащиеся: в случае б).

Учитель: Какую гипотезу о связи частоты и вероятности вы можете высказать?

Учащиеся: Чем больше проведено испытаний, тем ближе относительная частота случайного события к вероятности.

Учитель: Можем ли мы это подтвердить? Что нам следует для этого сделать? Будет ли это справедливо только для опытов с монетами?

Учащиеся предлагают выполнить серию экспериментов: первый с монетой, второй с другими элементами с помощью виртуальной лаборатории и проверить гипотезу на практике.

5 этап (10 мин). Изучение нового материала. Практическая часть.

Цель: активизировать мыслительную деятельность учащихся, организовать работу учащихся в парах в виртуальной лаборатории «Вероятностные модели» по плану.

Формируемые УУД: умение работать  с моделями, умение преобразовывать информацию, самоконтроль, коррекция действий, умение контролировать свое время, ориентация на партнера.

Первый эксперимент выполняет половина учащихся (5 групп), второй эксперимент другая половина (5 групп, так как в компьютерном классе 10 компьютеров).

Содержание работы по первому эксперименту, предложенное учащимися:

1. Провести ряд испытаний с монетой
2. Записать результат событий в таблицу.
3. Рассчитать абсолютные и относительные частоты, их разности и занести в таблицу.
4. Сравнить относительные частоты с вероятностью событий. Сделать вывод.

Содержание работы по второму эксперименту, предложенное учащимися:

1. Провести ряд испытаний, например, по подбрасыванию кубика.

Событие А = {на кубике выпало четное число очков},

событие В = {на кубике выпало нечетное число очков}.

1. Записать результат событий в таблицу.
2. Рассчитать абсолютные и относительные частоты, их разности и занести в таблицу.
3. Сравнить относительные частоты с вероятностью событий. Сделать вывод.

Учащиеся работают в парах за компьютерами (учащиеся данного класса уже умеют работать в виртуальной лаборатории с 6 класса). Распределяют обязанности внутри пары. Один из учащихся проводит эксперименты, другой оформляет результаты в тетради.

6 этап (6 мин). Изучение нового материала. Обсуждение результатов эксперимента.

Цель: включить учащихся в обсуждение результатов, добиться в ходе обсуждения повышения уровня осмысления изученного материала, глубины его понимания, помочь составить  грамотный ответ на проблемный вопрос урока.

Формируемые УУД: умение слушать и слышать друг друга, умение осознанно строить речевое высказывание в устной форме, умение делать выводы и умозаключения, осмысление цели чтения, умение бегло просматривать тексты, выделять главное.

Учащиеся обсуждают полученные результаты.

Пример. Результаты выполнения работы по первому эксперименту

Событие А – «выпал орел»; cобытие В – «выпала решка»

Результаты выполнения работы по второму эксперименту

Учащиеся делают вывод о подтверждении гипотезы.  Находят в учебнике определения понятий «статистическое определение вероятности», «статистическая устойчивость».

8 этап (2 мин.) Рефлексия.

Цель: организовать работу учащихся по обсуждению трудностей и успехов  на уроке, по самоанализу

 подвести итоги урока.

Формируемые УУД: анализ деятельности, осмысление полученных знаний.

9 этап (1 мин). Информация о домашнем задании.

Цель: сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения, мотивировать необходимость и обязательность выполнения.

Формируемые УУД: выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, выбор действий по домашнему заданию.

Задание для усовершенствования навыка нахождения вероятности по статистическому определению - упражнения из учебника № 21.2, 21.3[1]

Задание для понимания тесной связи математики с другими сферами деятельности человека – чтение параграфа 21[2].

Индивидуальные задания, учитывающие интересы и склонности учащихся -  найти дополнительную информацию о том, как статистические методы используют в литературе и истории для определения авторства некоторых произведений.

Литература:

1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. М: Мнемозина, 2010 г
2. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра 9 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений.  М: Мнемозина, 2010 г
3. CD-ROM. Учебное электронное издание. «Математика 5-11. Практикум. Новые возможности для усвоения курса математики». Дрофа, 2005.
4. Ю.А. Конаржевский. Анализ урока. М.: «Педагогический поиск», 2000
5. А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, И.А. Володарская и др. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя. М.: Просвещение, 2011.

Примечание: для учителей, не имеющих учебное электронное издание «Математика 5-11. Практикум. Новые возможности для усвоения курса математики», можно использовать инновационный учебный материал «Вероятность и статистика в школьном курсе математики» с сайта http://school-collection.edu.ru . А так же для проверочной работы на этапе проверки знаний можно использовать задания (проблемы)

http://files.s-collection.edu.ru/dlrstore/9e81edd6-470c-4f6a-b6eb-85a23d7a2363/%5BM56_6-29%5D_%5BQS_08-CR-01%5D.html

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/131fcd12-46ad-4f00-89ad-8fa9eed3e838/%5BM56_6-29%5D_%5BQS_08-CR-02%5D.html

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/f68e6d1f-62c6-478a-be68-c6d77c46d0b2/%5BM56_6-29%5D_%5BQS_08-CR-03%5D.html

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/8f0dd08e-ec18-4187-aafd-7b821fe8552e/%5BM56_6-29%5D_%5BQS_08-RP-01%5D.html

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/9ddc561b-d86e-424c-9ed8-d775e6d92e59/%5BM56_6-29%5D_%5BQS_08-RP-02%5D.html

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/a8ef56b6-16b0-45e9-affe-a871554b0266/%5BM56_6-29%5D_%5BQS_08-RP-03%5D.html

Некоторый исторический материал можно найти здесь http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/8d8a0eae-5980-4edd-366b-51bd08844651/00145620285597241.htm