Конспект урока "Формулы сложения и умножения вероятностей" (2 курс СПО)
план-конспект урока по алгебре на тему

Тема урока: Формулы сложения и умножения вероятностей.

Тип урока: урок усвоения знаний на основе имеющихся.

Цели урока:

образовательные:

• содействовать закреплению теоретических знаний, полученных на прошлом уроке;
• способствовать применению знаний в решении новых практических задач;

развивающие:

• способствовать развитию логического мышления;
• способствовать выбору рационального способа решения задач;

воспитывающие:

• создание благоприятной для каждого учащегося эмоциональной атмосферы учебной деятельности.

План урока

1. Обоснование значения изучаемой темы и цели урока.
2. Актуализация знаний. Проверка домашнего задания.
3. Организация деятельности по изучению нового материала.
4. Закрепление и обобщение изученного.
5. Домашнее задание.

1. Тема урока «Формулы сложения и умножения вероятностей». Сегодня мы повторим теоретический материал, изученный на прошлом уроке, научимся решать новые более сложные и интересные задачи теории вероятностей. Очень часто в жизни возникают ситуации, когда события появляются группами, причем появление одного может повлиять на возможность появления другого, сегодня мы научимся решать такие задачи. Например, оценить вероятность дождя в пасмурный или солнечный день.
2. Устный опрос.

1. Какое событие называют случайным?
2. Что изучает наука теория вероятностей?
3. Какое событие называют достоверным?
4. Какое событие называют невозможным?
5. Какие события являются зависимыми?
6. Чему равна вероятность выпадения тройки при бросании игрального кубика?
7. В урне 5 черных и 4 белых шара, чему равна вероятность вынуть зеленый шар?
8. Подбрасывают монету. Чему равна вероятность падения монеты?

Трое учащихся выходят к доске записать решение домашних задач.

3. Часто при решении задач возникает необходимость подсчитать количество комбинаций. При этом пользуются основными понятиями науки Комбинаторика – область математики, в которой изучают вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из данных элементов.

Перестановками из n элементов называются такие соединения, из которых каждое содержит все n элементов  и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Обозначение: Pn.

Pn = 1*2*3*...*(n – 1)*n = n!

Пример 2.1. Садовник выделил на своем участке 7 грядок для выращивания 7 разных овощей. Сколькими способами может расположить грядки садовник?

Решение.

Здесь речь идет о порядке расположения грядок.

N = P7 = 7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5040 (способов).

Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядом их расположения.

Обозначение: .

, где 0≤m≤n.

Очевидно, что

Размещения используют, если порядок расположения важен.

Пример 2.2. Сколько разных стартовых четверок можно выбрать из числа 10 волейболистов?

Решение.

(способов).

Размещения с повторениями – размещения из n элементов по m, в которых могут оказаться одинаковые.

Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Обозначение:  

 где 0≤m≤n.

Очевидно, что

Сочетания используют, если порядок расположения элементов не важен.

Пример 2.3. Правление акционерного общества выбирает из 10 кандидатов трех человек на одинаковые должности. Сколько всевозможных групп по три человека можно составить из 10 кандидатов?

Решение.

Теорема умножения вероятностей 1. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) =  Р(А) ∙ Р(В).

Пример 1. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть А – появление белого шара из первой урны, а В – появление белого шара  из второй урны. События А и В независимы.

Теорема умножения вероятностей 2.  Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

Р(АВ) = Р(А) ∙ РА(В) = Р(В) ∙ РВ(А).

Пример 2. В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Решение. Пусть А – событии, что первая взятая деталь стандартная, В – вторая взятая деталь стандартная.

События А  и В зависимы.

Теорема сложения вероятностей 1. Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Теорема сложения вероятностей 2. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ),

Р(А+В+С)= Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС).

4. Решение задач.

№1 Пусть вероятность получить выпускнику одну работу = 0,4, вероятность получить другую работу = 0,5, вероятность получить предложения на оба места работы = 0,3. Определить вероятность получения для него по крайней мере одного из мест работы.

№2. В колоде 52 карты. Определить вероятность извлечения либо карты масти треф, либо карты масти бубна.

№3 Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 52 карты. Определить вероятность извлечения из колоды либо туза, либо трефы.

№4. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течении часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равно 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна 0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один из автоматов не потребует внимания рабочего.

№5. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

№6. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.

№7.  Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит на все три вопроса.

5. Домашнее задание.

№1. О двух акциях А и В известно, что они выпущены и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется в цене завтра, равна 0,2, вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене равна 0,12. Предположим, что вы знаете, что А поднимется завтра в цене, чему равна вероятность того, что и В поднимется в цене?

№2.  Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо А, либо В, либо тому и другому одновременно.