Понятие производной. Механический смысл производной.
план-конспект урока (алгебра, 11 класс) по теме

План-конспект урока. Учитель Лучко Вера Васильевна.

Предмет: Алгебра и начала анализа.

Тема урока: Понятие производной. Механический смысл производной.

Цель:

- образовательная: ввести понятие производной, используя для этого понятие мгновенной скорости в физике, уметь находить производную простейших функций с помощью определения

-воспитательная: формирование навыков контроля и взаимоконтроля, воспитание кругозора, интереса к восприятию нового материала.

-развивающая: развитие внимания, логики, умения сопоставлять факты и делать соответствующие выводы, умения рассуждать и аргументировать свои действия.

Тип урока: бинарный.

Ход урока:

Эпиграф: Был этот мир глубокой тьмой окутан

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

А. Поуп

1. Актуализация знаний

1. Повторить: формулы вычисления пути, скорости, времени.
2. Мотивация:

Задача.

На стации метро расстояние от тормозной отметки до остановки первого вагона равно 80 метров. С какой скоростью поезд должен подойти к тормозной отметке, если дальше он двигается равнозамедленно с ускорением 1,6 м/с2?

Для решения задачи нужно найти скорость движения поезда в момент прохождения тормозной отметки, т.е. мгновенную скорость в этот момент времени.

Представим себе, что мы отправляемся в автомобильную поездку. Садясь в машину, посмотрим на счетчик километража. Теперь в любой момент времени мы можем определить путь, пройденный машиной. Скорость движения мы узнаем по спидометру. Таким образом с нашим движением, как и с движением любой материальной точки, связаны две величины – путь S т скорость v, которые являются функциями времени t.

Ясно, что S и v связаны между собой.

В конце XVIII века великий английский ученый Исаак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками аналогична связи между путем и скоростью.

Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, является производная и интеграл. Как вы убедитесь в дальнейшем, скорость - это производная пути, а путь – это интеграл от скорости.

Построенная Ньютоном модель механического движения остается самым важным источником математического анализа, изучающего производную и ее свойства. Вот посему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так: производная это скорость. А что такое скорость? Оказывается, объяснить это не так просто. Рассмотрим диалог между водителем-женщиной и полицейским, взятый из знаменитых «Фейнмановских лекций по физике»:

- Мадам, Вы нарушили правила уличного движения!

- Почему?

- Вы ехали со скорость 90 км/ч

- Простите, это невозможно. Как я могла проехать 90 км/ч, если я еду всего лишь 7 минут?

- Я имею в виду, мадам, что если бы Вы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 км.

- Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стенку в конце улицы.

- Ваш спидометр показывал 90 км/ч

- Мой спидометр ничего не показывал, он сломан и давно не работает.

Как видите, полицейский не смог объяснить, что такое скорость 90 км/ч. А вы смогли бы?

II. Изучение новых понятий

Что такое скорость равномерного движения и как ее можно измерить?

Разберемся, что же такое скорость произвольного движения.

Пусть точка движется по прямой. Мы считаем, что нам задан закон, по которому можно вычислить путь S, как функцию времени t. Например, если точка движется под действием силы тяжести с нулевой скоростью, то S=gt2/2.

Возможны и другие законы движения. Так, ракета, стартовавшая с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью, позволяющей полностью преодолеть земное притяжение (второй космической скоростью) удаляется от Земли по закону S=A(t+C)2/3, где A и C – некоторые константы. Рассмотрим отрезок времени [t1,t2]. Определим среднюю скорость точки на этом отрезке как отношение пройденного пути к продолжительности движения vср=(S(t2)-S(t1))/( t2- t1)

Для определения скорости в момент времени t (ее в механике называют мгновенной скоростью) поступим так: возьмем отрезок [t,t1], вычислим среднюю скорость на этом отрезке, а затем начнем его уменьшать, приближая t1 к t. Мы заметим, что значение средней скорости при приближении t1 к t будет приближаться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени t.

В качестве примера рассмотрим свободное падение тела. Считаем известным, что зависимость пути от времени задается функцией S=gt2/2. Зафиксируем произвольный момент времени [t,t1] и вычислим среднюю скорость на отрезке.

vср=(S(t2)-S(t1))/( t2- t1)=(g/2)( t1+t)

Если теперь будем стягивать отрезок [t,t1] к точке t, то сумма t1+t будет приближаться к 2t, а выражение (g/2)(t1+t) будет приближаться к gt. Последнее число является значение мгновенной скорости в точке t. Мы получим хорошо известную формулу скорости v=gt.

Процедура, подобная переходу от средней скорости на отрезке [t,t1]  к мгновенной скорости в точке t при стягивании отрезка, носит название предельного перехода.

Обычно говорят, что при стремлении t1 к t выражение (g/2)(t1+t) стремится к gt.

И записывают это так: lim (g/2)(t1+t) = gt.

Используя слово «предел» можно сказать, что мгновенная скорость в точке t – это предел средней скорости при стягивании отрезка/, на котором она измеряется в точке t.

Математический анализ созданный, Ньютоном и Лейбницем, долго развивался на основе интуитивного понятия производной как « скорости изменения функции»

Вернемся теперь к задаче, которая предлагалась в начале урока, то есть вычислим мгновенную скорость.Тормозной путь вычисляется по формуле:S=at2 /2, где а- ускорение, t- время торможения. В данном случае S= 80, а а= 1,6, поэтому 80= 0,8t2, откуда t= 10с. По формуле V= at находим мгновенную скорость. V= 1,6x10=16 то есть v=16 м/сек.

От мгновенной скорости зависит решение многих практических задач.

Например, от скорости вхождения в воду спортсмена, прыгающего с вышки, зависит глубина его погружения.

Мгновенная скорость зависит от средней скорости.

При неравномерном движении материальная точка за равные по длительности промежутки времени может совершать перемещения, разные не только по величине, но и по направлению. Средняя скорость движения материальной точки за промежуток времени от t до t+∆t определяется по формуле Vcp.=(s(t+∆t)-s(t))/ ∆t.

Отношение (s(t+∆t)-s(t))/ ∆t называется разностным отношением и его предел при ∆t стремящимся к 0, называют производной функции s(t).

Определение: пусть функция f(x) определена на некотором промежутке x – точка этого промежутка и ∆t ≠ 0. Тогда предел разностного отношения (s(t+∆t)-s(t))/∆t называется производной функции f(x) в точке x (читается: «эф штрих от икс»).

Функция называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

III. Формирование умений и навыков

1. Пример: f(x)=x2 

Составим разностное отношение (f(x+∆x)-f(x))/ ∆x = ((x+∆x) 2 – x2)/∆x = 2x + ∆x

Так как ∆x → 0, то предел этого отношения равен 2x.

2. № 776 (1) (учебник)

№ 777 (1)

№ 780 (1)

IV. Домашнее задание

1. Выучить теорию, знать определение производной функции
2. № 776(2), №777(2), №780(2,4)

V. Итог урока

- Объясните, что такое скорость 90 км/ч (задача в начале урока)

- Что такое мгновенная скорость?

- Что такое средняя скорость?

- Что такое производная?