Разработка урока и презентация "Производная. Геометрический и механический смысл производной"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

                   Разработка урока

                                                    учителя математики

                                                    ОШ І – ІІІ ступеней № 24 г. Тореза

                                                    Чуйковой Татьяны Николаевны

Класс: 11

Тема "Производная. Геометрический и механический смысл производной”

Цели:

• Обобщить и систематизировать материал по данным темам, провести подготовку к контрольной работе, к сдаче ВНО.

•Показать связь понятия производная с геометрией и физикой, показать необходимость знания материала темы при решении прикладных задач.

•Познакомить с применением производной в различных профессиях.

• Развивать логическое мышление учащихся, самостоятельность, умение анализировать, навыки самоконтроля.

• Воспитывать на уроке упорство в достижении конечных результатов, аккуратность, умение применять знания на практике, честность.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: презентация “производная”, карточки для проведения теста,  оформление для доски, оценочные листы, съемный диск поэтапного показа урока, индивидуальный раздаточный материал для учащихся, презентации подготовленные учащимися.

Ход   урока

І. Организационный момент

В начале урока каждому учащемуся выдается оценочный лист, где он отмечает, как выполнил каждое задание из предложенных. Карточки для проведения теста, заготовки для участия в этапах урока. Объявляется тема урока, девиз, учащиеся определяют цели урока по теме. Учитель дополняет. (слайд 2)

ІІ. Мотивация

Вопрос: Зачем  мы сегодня обобщаем и систематизируем материал по теме «Производная» ?

Ответ: Для написания контрольной работы, для успешной сдачи ГИА, для углубления и расширения знаний по данной теме.

ІІІ. Актуализация знаний.

1. Цветок понятий  (ассоциативный куст)

/ Работа в группах /

Задание: Учащиеся  на заготовленных листах записывают понятия,  которые были изучены на протяжении темы.

Проверка и выставление баллов (слайд 3) /самооценка/       

2. Лукошко формул

                                  /работа в парах/

Задание:  На заготовленных листах учащиеся записывают изученные формулы, правила дифференцирования.

(x) ̓ = 1                                                 (u*v) ̓ = u ̓ *v +u*v ̓

…

(cos x) ̓ = - sin x                                           …

Проверка и выставление баллов (слайды 4, 5) /взаимооценка/

ІV. Решение задач

1. Тест (с выбором ответа)

Вариант 1 предлагается учащимся, усваивающим материал на оценку «4 – 6» и получают за выполнение 1 балл, В – 2  на «7 – 9»и 2 балла, В-3 на «10 – 11» и  3 балла. Верные ответы проверяются с помощью слайда № 6:

Тест

Найти производную функции

 В-1                                                      В-2                                                        В-3

         1)* Индивидуальное задание для сильных /личное первенство/ .
Продифференцировать все функции (ответы не обязательно упрощать).

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Ответы проверяются взаимопроверкой :

                1) ;

                 2) ;

               3) ;

              4) .

2. Геометрический смысл производной

Учащиеся повторяют определение в парах и вслух. Учитель демонстрирует фрагмент презентации о геометрическом смысле производной, проговаривают, что применяется  практически при нахождении касательной к графику функции, решении задач на определение угла наклона касательной к графику функции, относительно положительного направления оси ОХ.

(слайды 7, 8 )

Уравнение касательной к графику функции в общем виде записывается  на доске (слайд 9).

Повторение алгоритма написания уравнения касательной к графику данной функции в точке с абсциссой  . Двое учащихся у доски решают.

Задание 1. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x – 4 в точке с абсциссой  = -2 (один учащийся решает у доски, остальные в тетрадях).

Решение:

1. Находим производную функции: у΄ = 2x
2. Находим значение производной функции в точке= -2:  y’(-2) = - 4
3. Находим значение функции в точке   = -2: у(-2) = 0
4. Подставим в уравнение касательной найденные значения и получим ответ: у = -4х – 8

Задание 2. Найти, под каким углом ось ОХ пересекает параболу  у=х² + х (один учащийся решает у доски, остальные в тетрадях).

Решение:

1. Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ (у = 0)  : х² + х =0;

 х= 0, х= -1. Точки пересечения параболы с осью ОХ имеют координаты

 А(-1;0) и В(0;0);

2. Найдем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках А и В:

     а) производная функции равна у΄ = 2x + 1,

     б) y΄ (-1) = -1=k₁,  y΄ (0) = 1 = k₂,

3. Углы, образованные касательными в точках пересечения параболы с осью       ОХ:  tg α₁=-1, α₁ = 135°;   tg α₂= 1, α₂ = 45°.

Ответ:  α₁=  = 135°,  α₂=  45°.

Задание 3. (дифференцированная самостоятельная работа учащихся)

(слайд 10):

а) Дана функция у(x) = x² – 2х. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой = 2.

б) Дана функция у(x) = Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой = - 4.

в) Дана функция у(x) = sin 2x . Напишите уравнения касательных к графику этой функции в точках с абсциссами = 0 и  = π / 2 .

Первый пример оценивается “1 б”, второй– “2 б”, третий– “3б”. Решение в тетрадях с последующей взаимопроверкой.

Ответы проверяются (слайд  11) и выставляются баллы /взаимооценка /:

а) у = 2х – 4,

б) у = - 1,5х - 9 ,

в) у = 2х и у = -2х + π .

3) Механический смысл производной

Учащиеся повторяют определение в парах и вслух. Учитель демонстрирует фрагмент презентации о механическом смысле производной, проговаривают, что применяется  практически при решении задач на прямолинейное движение и равноускоренное(слайд 12).

Задание 1.Сегодня мы с вами решим 2 задачи (слайд 13)

Задача 1 Лифт после включения движется по закону s(t) = t² + 2t + 12. Найти скорость лифта в конце 5 секунды.(12 м/с)

Задача  2.Лыжник , спускаясь с горы, движется по закону  s(t) = 0,5t² - t. Найти скорость и ускорение лыжника  в момент времени   t= 3 с, если расстояние измеряется  в метрах. Какое  это движение? (v(3) = 2 м/с;

а = 1 м/с; равноускоренное движение)

Задание 2. Класс  делится на 4 группы и каждая получает задание по своей профессии(слайд 14) :

«Конструкторы»

1. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 10 см масса куска стержня АС длиной l определяется по формуле m (l) = 4l2 + 3l. Найдите линейную плотность стержня в середине отрезка.                                   Решение

ṗ (l) = m΄ (l) = 8l + 3 ; ṗ (5) = 8∙5 + 3 = 43 (г/см)Линейная плотность в точке С есть производная по l от переменной массы  m (l).

Ответ: 43 (г/см)

«Электрики»

2. Количество электричества, прошедшего через проводник начиная с момента t = 0, q (t) = 2t2  + 3t + 1. Найдите силу тока в конце пятой секунды.

Решение

I (t) = q΄ (t) = 4t + 3 (A) ;

I (5) = 4∙5 + 3 = 23 (A).

Ответ: 23 А.

«Работники теплосети»

3. Количество тепла Q, необходимого для нагревания 1 кг воды от 0 °С до t °С, определяется по формуле Q (t) = t + 0,00002t2 + 0,0000003t3. Вычислите теплоемкость воды для t = 100 °С.

Решение

C (t) = Q ΄(t) = 1 + 0,00004t + 0,0000009t2 ;

Q΄ (100) = 1 + 0,004 + 0,009 = 1,013 (Дж).

Теплоемкость тела есть производная от количества тепла по температуре.

Ответ: 1,013 (Дж).

«Диспетчеры»

4. Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 3 + 2t + t2  (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 3 с.

Решение

v (t) = s΄ (t) = 2 + 2t

a (t) = v΄ (t) = 2 (м/с2)

v (3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с).

Ответ: 8 м/с; 2 м/с2.

Проверяют по карточкам с ответами, выставление баллов  /взаимооценка/

Y. Задание на дом : 1) задание для каждой группы без того, которое было решено на уроке; 2) задание на перспективу : создание проекта «Применение производной»

YІ. Итог урока.Выставление оценок. (слайды 15, 16)

 По плану:

1. Какие темы мы повторили на уроке?
2. Какие типовые задачи решили?
3. С какими науками связано понятие производной?
4. Что узнали нового на уроке?
5. Что понравилось на уроке?
6. Что не понравилось?

YІІ. Рефлексия (слайд 17)

Обсуждая успехи своего ученика, учитель сказал: “Он очень мало знает, но у него положительная производная”. Что это означает?

 Это значит, что скорость приращения знаний у ученика положительная и его знания возрастают.

Приложение

Листок самоконтроля

Фамилия, имя________________________________

Проект  «Применение производной».

  Нам предстоит  подготовить проект о применении производной, для этого необходимо провести небольшое исследование с рабочим названием «Где применяется производная».

В ходе проектно-исследовательской работы вы должны найти профессии, в которых знание производной необходимо.

Группа 1  «Применение производной в математике»

Из истории возникновения дифференциального исчисления. Задача Дидоны. Ученые- математики основоположники дифференциального исчисления.

Группа 2  «Применение производной в физике и  астрономии»

Скорость, ускорение. Сила тока. Теплоемкость. Работа. Магнитный поток. Закон изменения количества вещества. Закон изменения давления. Скорость движения планет. Всплески солнечной активности. Математическое моделирование. Решение задач.

Группа 3  «Производная в биологии, химии и медицине»

Процессы органического роста. Изменение численности популяции. Скорость протекания химической реакции. Анализ динамики болезни и закономерности протекания защитной реакции организма. Быстрота растворения лекарственных веществ в организме. Решение задач.

 Группа 4 «Применение производной в экономике»

Задачи оптимизации. Нахождение оптимальной  прибыли, оптимального налогообложения предприятия, оптимальной производительности труда. Решение задач.

В результате работы над проектом необходимо подготовить:

• Мультимедийную презентацию

      «Практическое применение производной»

• Буклет

      Производная – «Знания для жизни»

• Банк заданий   Задачи оптимизации (в физике, химии, биологии, медицине, технологии, геометрии, строительстве, гидравлике).