Разработка урока и презентация "Производная. Геометрический и механический смысл производной"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему
Цели:
• Обобщить и систематизировать материал по данным темам, провести подготовку к контрольной работе, к сдаче ВНО.
•Показать связь понятия производная с геометрией и физикой, показать необходимость знания материала темы при решении прикладных задач.
•Познакомить с применением производной в различных профессиях.
• Развивать логическое мышление учащихся, самостоятельность, умение анализировать, навыки самоконтроля.
• Воспитывать на уроке упорство в достижении конечных результатов, аккуратность, умение применять знания на практике, честность.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 53.27 КБ |
![]() | 214.68 КБ |
Предварительный просмотр:
Разработка урока
учителя математики
ОШ І – ІІІ ступеней № 24 г. Тореза
Чуйковой Татьяны Николаевны
Класс: 11
Тема "Производная. Геометрический и механический смысл производной”
Цели:
• Обобщить и систематизировать материал по данным темам, провести подготовку к контрольной работе, к сдаче ВНО.
•Показать связь понятия производная с геометрией и физикой, показать необходимость знания материала темы при решении прикладных задач.
•Познакомить с применением производной в различных профессиях.
• Развивать логическое мышление учащихся, самостоятельность, умение анализировать, навыки самоконтроля.
• Воспитывать на уроке упорство в достижении конечных результатов, аккуратность, умение применять знания на практике, честность.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: презентация “производная”, карточки для проведения теста, оформление для доски, оценочные листы, съемный диск поэтапного показа урока, индивидуальный раздаточный материал для учащихся, презентации подготовленные учащимися.
Ход урока
І. Организационный момент
В начале урока каждому учащемуся выдается оценочный лист, где он отмечает, как выполнил каждое задание из предложенных. Карточки для проведения теста, заготовки для участия в этапах урока. Объявляется тема урока, девиз, учащиеся определяют цели урока по теме. Учитель дополняет. (слайд 2)
ІІ. Мотивация
Вопрос: Зачем мы сегодня обобщаем и систематизируем материал по теме «Производная» ?
Ответ: Для написания контрольной работы, для успешной сдачи ГИА, для углубления и расширения знаний по данной теме.
ІІІ. Актуализация знаний.
- Цветок понятий (ассоциативный куст)
/ Работа в группах /
Задание: Учащиеся на заготовленных листах записывают понятия, которые были изучены на протяжении темы.
Проверка и выставление баллов (слайд 3) /самооценка/
- Лукошко формул
/работа в парах/
Задание: На заготовленных листах учащиеся записывают изученные формулы, правила дифференцирования.
(x) ̓ = 1 (u*v) ̓ = u ̓ *v +u*v ̓
…
(cos x) ̓ = - sin x …
Проверка и выставление баллов (слайды 4, 5) /взаимооценка/
ІV. Решение задач
- Тест (с выбором ответа)
Вариант 1 предлагается учащимся, усваивающим материал на оценку «4 – 6» и получают за выполнение 1 балл, В – 2 на «7 – 9»и 2 балла, В-3 на «10 – 11» и 3 балла. Верные ответы проверяются с помощью слайда № 6:
Тест
Найти производную функции
В-1 | В-2 | В-3 | |
1 | у = х17 | у = | у = |
А x33 Б x16 В 17x16 Г | |||
2 | у = | у = 2х5 – | у = 5х4 + |
А 10x5 - | |||
3 | у = | у = | y= |
А | |||
4 | у = 2 – sinх | у = х3 ∙ sinх | у = ln cosx |
А - tgx Б cosx В 3x2 sinх + х3 cosx Г - cosx |
В-1 В-2 В-3
А | Б | В | Г | |
1 | Х | |||
2 | Х | |||
3 | Х | |||
4 | Х | |||
А | Б | В | Г | |
1 | Х | |||
2 | Х | |||
3 | Х | |||
4 | Х | |||
А | Б | В | Г | |
1 | Х | |||
2 | Х | |||
3 | Х | |||
4 | Х |
1)* Индивидуальное задание для сильных /личное первенство/ .
Продифференцировать все функции (ответы не обязательно упрощать).
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Ответы проверяются взаимопроверкой :
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
- Геометрический смысл производной
Учащиеся повторяют определение в парах и вслух. Учитель демонстрирует фрагмент презентации о геометрическом смысле производной, проговаривают, что применяется практически при нахождении касательной к графику функции, решении задач на определение угла наклона касательной к графику функции, относительно положительного направления оси ОХ.
(слайды 7, 8 )
Уравнение касательной к графику функции в общем виде записывается на доске (слайд 9).
Повторение алгоритма написания уравнения касательной к графику данной функции в точке с абсциссой . Двое учащихся у доски решают.
Задание 1. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x – 4 в точке с абсциссой
= -2 (один учащийся решает у доски, остальные в тетрадях).
Решение:
- Находим производную функции: у΄ = 2x
- Находим значение производной функции в точке
= -2: y’(-2) = - 4
- Находим значение функции в точке
= -2: у(-2) = 0
- Подставим в уравнение касательной найденные значения и получим ответ: у = -4х – 8
Задание 2. Найти, под каким углом ось ОХ пересекает параболу у=х² + х (один учащийся решает у доски, остальные в тетрадях).
Решение:
- Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ (у = 0) : х² + х =0;
х= 0, х= -1. Точки пересечения параболы с осью ОХ имеют координаты
А(-1;0) и В(0;0);
2. Найдем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках А и В:
а) производная функции равна у΄ = 2x + 1,
б) y΄ (-1) = -1=k₁, y΄ (0) = 1 = k₂,
3. Углы, образованные касательными в точках пересечения параболы с осью ОХ: tg α₁=-1, α₁ = 135°; tg α₂= 1, α₂ = 45°.
Ответ: α₁= = 135°, α₂= 45°.
Задание 3. (дифференцированная самостоятельная работа учащихся)
(слайд 10):
а) Дана функция у(x) = x² – 2х. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой = 2.
б) Дана функция у(x) = Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
= - 4.
в) Дана функция у(x) = sin 2x . Напишите уравнения касательных к графику этой функции в точках с абсциссами = 0 и
= π / 2 .
Первый пример оценивается “1 б”, второй– “2 б”, третий– “3б”. Решение в тетрадях с последующей взаимопроверкой.
Ответы проверяются (слайд 11) и выставляются баллы /взаимооценка /:
а) у = 2х – 4,
б) у = - 1,5х - 9 ,
в) у = 2х и у = -2х + π .
3) Механический смысл производной
Учащиеся повторяют определение в парах и вслух. Учитель демонстрирует фрагмент презентации о механическом смысле производной, проговаривают, что применяется практически при решении задач на прямолинейное движение и равноускоренное(слайд 12).
Задание 1.Сегодня мы с вами решим 2 задачи (слайд 13)
Задача 1 Лифт после включения движется по закону s(t) = t² + 2t + 12. Найти скорость лифта в конце 5 секунды.(12 м/с)
Задача 2.Лыжник , спускаясь с горы, движется по закону s(t) = 0,5t² - t. Найти скорость и ускорение лыжника в момент времени t= 3 с, если расстояние измеряется в метрах. Какое это движение? (v(3) = 2 м/с;
а = 1 м/с; равноускоренное движение)
Задание 2. Класс делится на 4 группы и каждая получает задание по своей профессии(слайд 14) :
«Конструкторы»
1. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 10 см масса куска стержня АС длиной l определяется по формуле m (l) = 4l2 + 3l. Найдите линейную плотность стержня в середине отрезка. Решение
ṗ (l) = m΄ (l) = 8l + 3 ; ṗ (5) = 8∙5 + 3 = 43 (г/см)Линейная плотность в точке С есть производная по l от переменной массы m (l).
Ответ: 43 (г/см)
«Электрики»
2. Количество электричества, прошедшего через проводник начиная с момента t = 0, q (t) = 2t2 + 3t + 1. Найдите силу тока в конце пятой секунды.
Решение
I (t) = q΄ (t) = 4t + 3 (A) ;
I (5) = 4∙5 + 3 = 23 (A).
Ответ: 23 А.
«Работники теплосети»
3. Количество тепла Q, необходимого для нагревания 1 кг воды от 0 °С до t °С, определяется по формуле Q (t) = t + 0,00002t2 + 0,0000003t3. Вычислите теплоемкость воды для t = 100 °С.
Решение
C (t) = Q ΄(t) = 1 + 0,00004t + 0,0000009t2 ;
Q΄ (100) = 1 + 0,004 + 0,009 = 1,013 (Дж).
Теплоемкость тела есть производная от количества тепла по температуре.
Ответ: 1,013 (Дж).
«Диспетчеры»
- Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 3 + 2t + t2 (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 3 с.
Решение
v (t) = s΄ (t) = 2 + 2t
a (t) = v΄ (t) = 2 (м/с2)
v (3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с).
Ответ: 8 м/с; 2 м/с2.
Проверяют по карточкам с ответами, выставление баллов /взаимооценка/
Y. Задание на дом : 1) задание для каждой группы без того, которое было решено на уроке; 2) задание на перспективу : создание проекта «Применение производной»
YІ. Итог урока.Выставление оценок. (слайды 15, 16)
По плану:
- Какие темы мы повторили на уроке?
- Какие типовые задачи решили?
- С какими науками связано понятие производной?
- Что узнали нового на уроке?
- Что понравилось на уроке?
- Что не понравилось?
YІІ. Рефлексия (слайд 17)
Обсуждая успехи своего ученика, учитель сказал: “Он очень мало знает, но у него положительная производная”. Что это означает?
Это значит, что скорость приращения знаний у ученика положительная и его знания возрастают.
Приложение
Листок самоконтроля
Фамилия, имя________________________________
№п/п | Вид работы на уроке | Количество возможных баллов | Количество полученных баллов |
1. | Цветок понятий | 1 | |
2. | Лукошко формул | 1 | |
3. | Тест | 1, 2, 3 | |
4. | Уравнение касательной | 2, 3, 4 | |
5. | Физический смысл производной | 3 | |
Итого | 12 |
Проект «Применение производной».
Нам предстоит подготовить проект о применении производной, для этого необходимо провести небольшое исследование с рабочим названием «Где применяется производная».
В ходе проектно-исследовательской работы вы должны найти профессии, в которых знание производной необходимо.
Группа 1 «Применение производной в математике»
Из истории возникновения дифференциального исчисления. Задача Дидоны. Ученые- математики основоположники дифференциального исчисления.
Группа 2 «Применение производной в физике и астрономии»
Скорость, ускорение. Сила тока. Теплоемкость. Работа. Магнитный поток. Закон изменения количества вещества. Закон изменения давления. Скорость движения планет. Всплески солнечной активности. Математическое моделирование. Решение задач.
Группа 3 «Производная в биологии, химии и медицине»
Процессы органического роста. Изменение численности популяции. Скорость протекания химической реакции. Анализ динамики болезни и закономерности протекания защитной реакции организма. Быстрота растворения лекарственных веществ в организме. Решение задач.
Группа 4 «Применение производной в экономике»
Задачи оптимизации. Нахождение оптимальной прибыли, оптимального налогообложения предприятия, оптимальной производительности труда. Решение задач.
В результате работы над проектом необходимо подготовить:
- Мультимедийную презентацию
«Практическое применение производной»
- Буклет
Производная – «Знания для жизни»
- Банк заданий Задачи оптимизации (в физике, химии, биологии, медицине, технологии, геометрии, строительстве, гидравлике).
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
2 • Обобщить и систематизировать материал по темам «Производная», «Геометрический и механический смысл производной», провести подготовку к контрольной работе, вести подготовку к ГИА. • Показать связь понятия производной с геометрией и физикой, необходимость знания материала темы при решении прикладных задач. • Познакомить с применением производной в различных профессиях. • Развивать логическое мышление, самостоятельность, умение анализировать, навыки самоконтроля . Цели урока :
3 ПРОИЗВОДНАЯ УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ И.НЬЮТОН, Г.ЛЕБНИЦ МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ПРИЗВОДНАЯ ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ ФУНКЦИЙ ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
4 ЛУКОШКО ФОРМУЛ (u*v) ̓ = u ̓ *v +u*v ̓ (x) ̓ = 1 (cos x) ̓ = - sin x
5 Производные основных элементарных функций, правила дифференцирования
6 Верные ответы: В – 1 В – 2 В – 3 ТЕСТ А Б В Г 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х А Б В Г 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х А Б В Г 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х
7 Геометрический смысл производной Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
8 х y 0 k – угловой коэффициент прямой( касательной ) Касательная Угловой коэффициент касательной можно найти как предел выражения:
9 КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ y = f ( x 0 ) + f ’ ( x 0 ) ( x - x 0 )
10 1. Дана функция у(x) = x ² – 2х. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой = 2 ( 2 балл ) 2. Дана функция у(x) = 6/(х + 2). Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой ( 3 балла ) 3. Дана функция у(x) = sin 2x . Напишите уравнения касательных к графику этой функции в точках с абсциссами = 0, = п/2 (4 балла) = - 4.
11 Верные ответы: 1. 2. 3. У= 2Х - 4 У= -1,5Х - 9 У= 2Х И У= -2Х + п
12 Механический смысл производной Мгновенная скорость ( v ) – это производная пути ( s ) по времени ( t ). Ускорение ( а ) – это производная скорости ( v) . a (t) = v ΄ (t) v (t) = s ΄ (t)
13 Задача 1. Лифт после включения движется по закону s ( t ) = t ² + 2 t + 12. Найти скорость лифта в конце 5 секунды. Задача 2. Лыжник, спускаясь с горы, движется по закону s ( t ) = 0,5 t ² - t . Найти скорость и ускорение лыжника в момент времени t = 3 с, если расстояние измеряется в метрах. Какое это движение ? зАДАЧИ
14 Выбираем профессию конструктор диспетчер работник теплосети ЭЛЕКТРИК
15 Листок самоконтроля п / п Вид работы Баллы 1. «Цветок понятий» 1 2. «Лукошко формул» 1 3. Тест «Значение производной» 1, 2, 3 4. Касательная к графику функции 2, 3, 4 5. Физический смысл производной 3 итого 12 Фамилия, имя________________________
16 ПЕРЕВОД БАЛЛОВ В ОЦЕНКУ 10-12 5 7-9 4 4 -6 3
17 Какие темы мы повторили на уроке? Какие типовые задачи решили? С какими науками связано понятие производной? Что узнали нового на уроке? Что понравилось на уроке? Над чем ещё нужно поработать ? Итог урока
18 Обсуждая успехи своего ученика, учитель сказал : « Он очень мало знает, но у него положительная производная.» Что это означает ? Это значит, что скорость приращения знаний у ученика положительная и его знания возрастают .
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Открытый урок на тему "Производная, ее геометрический и механический смысл"
Открытый урок на тему "Производная, ее геометрический и механический смысл" расчитан на 2 урока....
![](/sites/default/files/pictures/2012/07/06/picture-95509.png)
« Геометрический и физический смысл производной. Применение производной»
Урок обобщающего повторения по теме:« Геометрический и физический смысл производной. Применение производной». Урок сопровождается презентацией....
Понятие производной. Механический смысл производной.
Цель:- образовательная: ввести понятие производной, используя для этого понятие мгновенной скорости в физике, уметь находить производную простейших функций с помощью определения-воспитательная: формир...
![](/sites/default/files/pictures/2015/01/02/picture-513776-1420186547.jpg)
Проверочная работа по теме "Производная. Геометрический и физический смысл производной. Исследование функции по графику производной".
Данная проверочная работа может быть использована как для проверки знаний после окончания прохождения темы, так и в ходе итогового повторения при подготовке к ЕГЭ. Работа составлена ...
![](/sites/default/files/pictures/2015/12/17/picture-726914-1450367147.jpg)
Презентация по алгебре в 11 классе на тему: "Геометрический и физический смысл производной"
Систематизировать знания учащихся по данной теме и подготовить их к контрольной работе; показать учащимся необходимость знания материала изученной темы при решении прикладных задач; обратить внимание ...
![](/sites/default/files/pictures/2018/10/24/picture-1073840-1540397313.jpg)
Домашнее задание по теме " Геометрический и механический смысл производной"
Работа по заданиям- прототипам открытого банка заданий ЕГЭ....
![](/sites/default/files/pictures/2023/12/02/picture-1499183-1701539493.jpg)
Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основные формулы дифференцирования
Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основные формулы дифференцирования...