Решение задач по теории вероятностей.
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

1. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.

 Батарейка может быть забракована в 2-х случаях:

1) Батарейка неисправна. В этом случае вероятность её выбраковки

2) Батарейка исправна. В этом случае вероятность её ошибочной выбраковки

Поскольку события «батарейка исправна» и «батарейка неисправна» являются несовместными, то вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована

2. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 3.

Данный сектор составляет половину циферблата, поэтому вероятность равна 0,5.

3. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 24 июня погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 27 июня в Волшебной стране будет отличная погода.

1) Вероятность погоды на 25 июня:

Рхор = 0,9, Ротл = 0,1

2) Вероятность погоды на 26 июня:

Вероятность отличной погоды можно найти и проще:

3) Вероятность отличной погоды на 27 июня:

4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 23 пассажиров, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,49. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 22.

Вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 22, равна произведению вероятностей 2-х событий:

1) Число пассажиров будет больше или равно 14, т.е. 1 – 0,49 = 0,51

2) Число пассажиров будет меньше 23, т.е. 0,88

5. По отзывам покупателей Михаил Михайлович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А равна 0,85. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,87. Михаил Михайлович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

6. Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Таможенное дело», нужно набрать не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов– математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент И. получит не менее 75 баллов по математике, равна 0,9, по русскому языку – 0,6, по иностранному языку – 0,8 и по обществознанию – 0,6.

Найти вероятность того, что И. сможет поступить на одну из упомянутых специальностей.

Для поступления на одну из специальностей абитуриент должен сдать экзамен по математике и русскому языку и иностранному языку или обществознанию.

7. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся П. верно решит больше 7 задач, равна 0,58. Вероятность того, что П. верно решит больше 6 задач, равна 0,64. Найти вероятность того, что П. верно решит ровно 7 задач.

 8. При изготовлении подшипников диаметром 74 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм равна 0,986. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 73,99 мм или больше чем 74,01 мм.

9. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,09. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 97 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Частота события «гарантийный ремонт»  =  97/1000 = 0,097

0,097 - 0,09 = 0,007

10. В классе 21 учащийся, среди них два друга – Олег и Сергей. Класс случайным образом разбивают на три равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Сергей окажутся в одной группе.

11. В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 1070 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

12. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 9 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае ничьей – 3 очка, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Выход в следующий круг возможен при двух вариантов исходов двух игр:

1) Две победы.

2) Победа и ничья

Вероятность ничьей 1 - 0,3 - 0,3 = 0,4

Поскольку оба варианта несовместны, то

13. На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из России будет выступать после группы из Германии и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

Всего возможно 3 варианта:

1) Россия перед Китаем и Германией (Китай и Германия во всех вариантах – в любой последовательности).

2) Россия между Китаем и Германией.

3) Россия после Китая и Германии.

14. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то попадает в муху с вероятностью 0,1. На столе лежит 10 револьверов, из них только два пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Вероятность промаха из пристрелянного оружия 1 - 0,9 = 0,1

Вероятность промаха из не пристрелянного оружия 1 – 0,1 = 0,9

Вероятность выбора пристрелянного оружия 0,2, не пристрелянного – 0,8

15. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 55% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 45% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 50% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Обозначим:

х1 – количество яиц из 1 хозяйства.

х2 – количество яиц из 2 хозяйства.

Общее количество яиц y = х1 + х2

Тогда:

0,55х1 + 0,45х2 = 0,5у

0,45х1 + 0,55х2 = 0,5у

Вычитаем из первого уравнения второе:

0,1х1 – 0,1х2 = 0

Следовательно х1 = х2, т.е. оба хозяйства производят одинаковое количество яиц, поэтому искомая вероятность равна 0,5.

16. Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,9. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,83. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

17. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,23. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдём вероятность противоположного события – в течение года перегорят все три лампы.

Тогда вероятность противоположного события (не перегорит хотя бы одна лампа)  

18. Биатлонист 8 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последние 4 раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

C округлением до сотых проблемы…

19. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Вероятность того, что кофе закончилось во втором автомате

Вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

0.327

20. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия» равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найти вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Из условия следует, что наличие вопроса по одной из названных тем является несовместным событием с наличием вопроса по второй теме, поэтому

21. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35% этих стёкол, вторая – 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая – 2%. Найти вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.