Урок - разработка "Сумма n- первых членов арифметической прогрессии"
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Учитель математики Васильева Наталья Владимировна

Урок алгебры, 9 класс

Тема: Сумма n – первых членов арифметической прогрессии. Решение задач.

Цель урока: Формирование навыков решения компетентностных задач на примере использования формул суммы n- первых членов арифметической прогрессии подготовительного характера к итоговой аттестации.

Задачи урока:

1. Определить степень значимости таких задач в итоговой аттестации;
2. Формировать коммуникативные качества у обучающихся ( умение принимать чужую точку зрения, договариваться, находить пути решения, выбирать не только верный, но и рациональный  способ решения задачи)

Оборудование: слайд- презентация, фломастеры, листы А4, магниты.

Ход урока:

I этап. Организация учебной деятельности:

Постановка цели и задачи урока обучающимися.

Для постановки цели и задач обучающимся даётся текст с рядом задач. На основании анализа  текста ученики самостоятельно формулируют цели и задачи к данному уроку.

1. Дана арифметическая прогрессия: -6,2; -1,2; 3,8…Найдите сумму первых пяти её членов.
2. Арифметическая прогрессия(аn) задана условием: аn = 2n -7. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.
3. В арифметической прогрессии (аn) а1= 3, а сумма первых семи её членов равна 0. Найдите разность арифметической прогрессии.
4. Школьная бригада красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и тоже число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила60 метров забора. Определите, сколько дней  школьная бригада красила весь забор.
5. Часы с кукушкой настроены так, что кукушка кукует по 1 разу каждые полчаса и каждый час столько раз сколько времени показывают часы от 1 до 12 ч. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?

II этап.  

Задание для обучающихся в виде игры «Верно или неверно»

1.Числовая последовательность а1,а2, а3,…..аn… называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных  n  выполняется равенство

d =аn – аn+1, (d = d4 – d5)

2.                                                        an = a1 – nd

3.                                                        a1 = an  + (n -1)d

4.                                                              an = a1 + (n – 1)d

5.                                                             Sn =( (n – 1)d + 2a1/2)*n

6.                                                              Sn =( a1 + ann)/ 2

Физ-минутка.

III  этап

Работа на листках (задания по вариантам)

I вариант

1. Дана арифметическая прогрессия: -6,2; -1,2; 3,8;…Найдите сумму первых пяти её членов.

2.Арифметическая прогрессия (аn) задана условием: аn = 2n – 7. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

3. В арифметической прогрессии (аn) а1 = 3, а сумма первых семи её членов равно 0. Найдите разность арифметической прогрессии.

II  вариант

1. Дана арифметическая прогрессия: 13,9;5;…Найдите сумму первых шести её членов.

2. Арифметическая прогрессия (аn) задана условием: аn = 9 - 3n . Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

3. В арифметической прогрессии (аn) а1 = - 4, а сумма первых девяти её членов равно 72. Найдите разность арифметической прогрессии.

IV этап. Задачи для команды.

Команде будет предложено задачи трёх уровней. Задачи первого уровня оцениваются в 1балл, 2 уровня – 2балла, 3 уровня – 3 уровня. Максимальное количество, которое может заработать команда – 12 баллов.

1 уровень:

1. Успешный предприниматель  решил отгородить бассейн на даче фигурной стеной. Позвав строителей, начал объяснять: В нижний ряд укладывается 19 блоков, на него кладётся 17 блоков, затем 15 и так далее. Всего 8 рядов. «Арифметическая прогрессия какая-то получается», - произнес бригадир. Прав бригадир?. Придумайте вопрос к задаче?

2. Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки.  Сколько потребуется рабочему плиток, чтобы выложить 6 рядов?

3. В  конкурсе экологических проектов  предусмотрено 9 денежных премий. Сколько средств может заработать инициативная группа  школы, побеждая в каждом конкурсе, если первая премия 70 тысяч рублей. Каждая последующая на 5 тысяч меньше.

2 уровень:

1. Группа археологов обнаружила пещеру, вход в которую напоминал колодец. Для спуска нужно было определить длину верёвки. Было принято оригинальное решение. Монета, брошенная в колодец упала на дно через 5 секунд. Какую минимальную длину  должна иметь верёвка, чтобы можно было спуститься на дно колодца.

2. Школьная бригада красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и тоже число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада красила весь забор.

3. Свободно падающее тело в первую секунду пролетает 4 метра, а каждую следующую секунду на 9,8 метра больше. Найти глубину шахты, если тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения.

3 уровень:  

1.Часы с кукушкой настроены так, что кукушка кукует по 1 разу каждые полчаса и каждый час столько раз сколько времени показывают часы от 1 до 12 часов. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?

2. Задача о заключении трудового договора.

 Между работником и работодателем должен быть заключен трудовой договор. Предлагаются три варианта оплаты труда:

(1) работнику в первый день работы выплачивается 4 р.,  во второй – 5 р., в третий – 6 р. и т. д.;

(2) по второму варианту работник получает в первый день работы 2 р.,  во второй – 4 р., в третий – 6 р., в четвертый – 8 р. и т. д.;

(3) по третьему варианту работодатель выплачивает в первый день 2 к., а в каждый следующий день удваивает оплату за предыдущий день (т. е. во второй день – 4 к., в третий – 8 к., в четвертый – 16 к. и т. д.).

На какие условия выгодно согласиться работнику, а на какие – работодателю?

Каков вопрос задачи? Как это связано с действительностью? Возникли ли у Вас другие вопросы? Какие сведения, по Вашему мнению,  отсутствуют? Что еще нужно знать, чтобы в этом разобраться?

В процессе решения задачи о заключении трудового договора предлагаем Вам заполнить следующую таблицу (кроме ее последнего столбца, который будет заполнен позже). 

«Я решаю задачу»:

и ответить на вопрос:

Какие знания (математический аппарат, понятия, способы записи условия и способы решения задачи, приемы вычислений и т. п.) Вы использовали для решения задачи о заключении трудового договора

Обсудите с ребятами:

  возникшие в процессе решения проблемные вопросы и неожиданные ситуации.

Сделайте, по необходимости, дополнительные записи  в таблице «Я решаю задачу».

Задание 1. Может быть, в процессе решения задачи о заключении трудового договора у Вас возникли подобные таблица и вопросы:

«Таблица соответствий»

(соответствий между количеством проработанных дней и денежными суммами, причитающимися за выполненную работу по договору, по вариантам оплаты (1)(3))

 Как бы Вы ответили на данные вопросы?

 Какой из вариантов оплаты труда дает возможность, например в течение 5 дней (в течение рабочей недели), заработать больше денег, при этом, как быстро нарастают суммы денежных выплат по каждому варианту оплаты? _________________________

__________________________________________________________________________

 За какое минимальное количество проработанных дней рабочий получит более, например 40 рублей, по каждому варианту оплаты?________________________________

__________________________________________________________________________

 Не является ли подвохом то, что, во-первых, не указаны сроки заключения договора, во-вторых, заработная плата, выплачиваемая по третьему варианту оплаты, выражена не в рублях, а в копейках?______________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

 Может быть, удастся вспомнить какие-то исторические факты, математические легенды, приемы, свойства, связанные с наборами чисел (a) и их суммами (S), выражающими денежные вознаграждения по каждому из вариантов оплаты по договору, и найти правильное решение (может быть, на уровне интуиции)? ___________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

 Каков размер денежного вознаграждения а(n), причитающегося, например за 30-й (n=30) день работы, по каждому варианту оплаты?______________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

 Какие способы отыскания сумм большого количества слагаемых (сумм, состоящих более чем из 2-х слагаемых) Вам известны? Например?__________________________

__________________________________________________________________________

  __________________________________________________________________________

 Каким образом, не прибегая к заполнению длинных таблиц, не прибегая к непосредственному суммированию ежедневно выплачиваемых денежных сумм (a) по каждому из вариантов оплаты, вычислить общую денежную сумму (S), причитающуюся по договору работнику, например за 15 отработанных дней, и ответить на вопрос, какие условия договора выгоднее работнику, а какие – работодателю?

V этап. Рефлексия.

Рефлексию можно провести в такой форме.

Я-

МЫ-

ДЕЛО-

Домашнее задание.

Задачи из сборника. Нестандартные задачи.

         а) Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 37.