"Положительные и отрицательные числа"
методическая разработка по алгебре (6 класс) по теме

Учитель

Ученик

Доска  

Задание: Выполните действия, и укажите, каким числом будет результат.

12 +13; 105 + 11; 17∙3; 5∙18;42:3; 1:2; 104 – 15;14 – 14; 5 – 9; 1 - 7

Побуждающий от проблемы диалог:

1. Вы смогли выполнить задание?

2. Нет/частично.

3. Что не получилось?

4. 5 – 9; 1 - 7

5. Почему? Чем это задание не похоже на предыдущие?

6. Из меньшего числа вычитается большее.

7. Какой возникает вопрос?

8. Как выполнить действие, и каким числом будет результат?

Чтобы ответить на поставленные вопросы решим задачу: В ходе игры команда «Старт» забила 5 мячей в ворота соперника и тем самым набрала 5 очков. Но за многократные удаления в ходе игры арбитр присудил команде «Старт» 9 штрафных очков. Сколько очков имеет на своем счету команда «Старт» по итогам игры?

9. 4 штрафных очка.

4 штрафных очка

Побуждающий от проблемы диалог:

10. Штрафное очко – это хорошо или плохо?

11. Плохо.

12. Каким математическим символом (или знаком) можно обозначить понятия «хорошо» и «плохо»?

13. + или –

14. В математике тоже есть числа со знаком «+» и «–». Числа со знаком «+» называются положительными (и знак «+» перед числом обычно не пишут), а числа со знаком «–» называют отрицательными.

15. Каким же числом мы можем обозначить «4 штрафных очка»?

16. – 4

4 штрафных очка, – 4

17. Итак, с каким новым понятием мы познакомились? Какова тема нашего урока?

18. Отрицательные и положительные числа.

Положительные и отрицательные числа

Беседа об истории отрицательных чисел.

1. Приведите примеры из жизни, где вы встречали отрицательные числа.

2. При измерении температуры воздуха
   
3. При измерении высоты местности над уровнем моря.

– 4°

отрицательные числа

– 123 м

6. О каком числе мы забыли?

7. О числе 0.

8. Нуль – это положительное или отрицательное число?

9. Ни то ни другое.

0 – не является ни положительным, ни отрицательным числом.

А теперь давайте пофантазируем и попробуем написать сказку «Откуда взялись отрицательные числа и почему так много разных чисел?»

Для этого вспомним:

1. Какие числа мы встретили при выполнении задания 1?

10. С натуральными.

План сказки:

1. Натуральные числа.
   
2. Действия с натуральными числами.
   
3. Появление дробных и отрицательных чисел.
   
4. Число 0.

11. Какие два действия всегда можно выполнить с натуральными числами?

12. Сложение и умножение.

13. Почему натуральных чисел людям оказалось мало?

14. Не всегда можно выполнить вычитание и деление.

15. Какие еще числа пришлось придумать людям?

16. Отрицательные и дробные.

Домашнее задание: написать сказку, стихотворение.

Учитель

Ученик

Доска  

Проверка домашнего задания (отметить числа на координатной прямой)

Ученик записывает решение на доске.

Рисунок координатной прямой с отмеченными числами.

Задание: сравните числа

а) 1  и 2

    3 и 3

    0,25 и 0,5

    1150 и 1250

б) – 1 и – 3

    – 0,5 и 0

    – 1 и 2

    –  и 1

17. Вы смогли выполнить задание?

18. Нет. Не полностью.

19. Что не получается?

20. Сравнить числа в пункте б).

21. Чем это задание не похоже на предыдущее?

22. Здесь нужно сравнить положительные и отрицательные числа.

23. Какой возникает вопрос?

24. Как сравнивать положительные и отрицательные числа

25. Какова же тема нашего урока?

26. Сравнение положительных и отрицательных чисел.

Сравнение положительных и отрицательных чисел

Давайте вернемся с сравнению положительных чисел. Отметим пары чисел 1  и 2;  3 и 3 ;  0,25 и 0,5 на координатной прямой.        

У доски поочередно работают 3 ученика, выполняя задание учителя.

Каждая пара чисел отмечается на рисунке разным цветом.

1  < 2;   3 < 3;   0,25 < 0,5

1. Как располагаются числа каждой пары на координатной прямой?

2. Большее число всегда расположено правее.

Отметим на координатной прямой пары чисел  – 1 и – 3;    – 0,5 и 0;    – 1 и 2 и воспользуемся указанным правилом.

Один ученик работает у доски, выполняя задание.

3. – 1 правее – 3, значит, – 1 > – 3
   
4. – 0,5 левее 0, значит, – 0,5 > 0
   
5. – 1 левее 2, значит, – 1 < 2

Каждая пара чисел отмечается на рисунке разным цветом.

– 1 > – 3; – 0,5 > 0; – 1 < 2

А теперь сравните числа – 115 и – 397

1. Вы смогли выполнить задание?

2. Нет

3. В чем затруднение?

4. Эти числа нельзя отложить в тетради

5. Какой возникает вопрос?

6. Нет ли другого способа сравнения?

Задание:

1. Используя второй рисунок, выпишите все отрицательные числа в порядке возрастания.

 – 3;– 1; – 1; – 0,5

– 3; – 1; – 1; – 0,5

2. Найдите модули этих чисел.

Один ученик работает у доски, выполняя задание.

|– 3| = 3; |– 1 | = 1; |– 1| = 1; |– 0,5| = 0,5

3. Запишите модули этих чисел в порядке возрастания.

0,5; 1; 1; 3

1. Что интересного в расположении чисел и их модулей вы заметили?

2. Чем больше отрицательное число, тем меньше его модуль.

27. Так как же мы будем сравнивать числа – 115 и – 397?

28. Сначала сравним их модули. Больше то отрицательное число, у которого модуль меньше.

|– 115| = 115

|– 397| = 397

– 115 > – 397

115 < 397

Итак, мы получили правило сравнения отрицательных чисел. Запишите  его в тетрадь.

Больше то отрицательное число, у которого модуль меньше.

У нас остался еще один нерешенный вопрос:

31. какова  закономерность в расположении положительных и отрицательных чисел на координатной прямой?

32. Положительные числа расположены справа от нуля, а отрицательные – слева от нуля.

33. Теперь замените в этой формулировке несколько слов и получится новое правило.

34. Положительные числа больше нуля, а отрицательные – меньше нуля.

1 > 0; 2 > 0; 1   > 0

– 3 < 0; – 1 < 0 ; – 1 < 0

35. Продолжите мое предложение «Если положительные числа больше нуля, а отрицательные – меньше нуля, то …»

36. Положительное число всегда больше отрицательного.

2 >  – 3; 0,25 > – 1

Если обозначить числа буквами, то предложение «с – отрицательное число, а р – положительное число» можно записать с помощью математических символов.

с < 0, если с – отрицательное число.

р > 0, если р – положительное число.

Учитель

Ученик

Доска  

Устно: вычислить

1. 1 +

2. 0,75 +

3. 1,5 + 1

4. – 6 + (– 2)

37. Вы смогли выполнить задание?

38. Нет. Частично.

39. Что не получается? В чем сомневаетесь?

40. Последнее задание.

41. Чем оно не похоже на предыдущие?

42. Сначала складывали положительные числа, а здесь надо сложить отрицательные.

43. Какой возникает вопрос?

44. Как выполнять сложение отрицательных чисел?

45. Какова тема урока?

46. Сложение отрицательных чисел

Сложение отрицательных чисел

Решим задачи:

1. По итогам предыдущих матчей команда «Штурм» имела 6 штрафных очков. В ходе очередной игры команда получила еще 2 штрафных очка. Сколько штрафных очков имеет команда «Штурм» на своем счету?

47. 8 штрафных очков

2. Температура воздуха в полдень была 14° мороза, а к вечеру она понизилась еще на 4°. Какой стала температура воздуха вечером?

48. 18° мороза

49. Как можно записать решение этих задач, используя математические понятия и символы?

50. Штрафные очки можно записать, используя отрицательные числа.
    

Тогда – 6 + (– 2) = – 8

– 6 + (– 2)  

= – 8

55. Температура в полдень была – 14°, а к вечеру изменилась на – 4°.
    

Тогда – 14 + (– 4) = – 18

– 14 + (– 4)

= – 18

58. Кто попробует сформулировать правило сложения отрицательных чисел?

59. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
    

1. поставить общий знак (минус)
   
2. сложить модули чисел

– 6 + (– 2) =

– (6 +  2) =

– 8

– 14 + (– 4) =

– (14 + 4) =

– 18

Далее учащимся предлагается обучающая самостоятельная работа по теме урока.

Домашнее задание: написать сказку, стихотворение или составить загадку, схему.

Учитель

Ученик

Доска  

Задание: найти значение выражения a + b при данных значениях a и b.

Найти a + b, если:

1) a = - 0,1 и b = - 1,5

2) a = - 10 и b = -1,5

3) a = 2 и b = - 5

4) a = 5 и b = -9

62. Вы смогли выполнить задание?

63. Нет. Частично.

64. Что не получается? В чем не уверены?

65. Последние задания.

66. Чем это задание не похоже на предыдущие?

67. Сначала складывали отрицательные числа, а здесь надо сложить положительные и отрицательные.

68. Какова тема урока?

69. Сложение положительных и отрицательных чисел.

Сложение чисел с разными знаками

Как можно записать решение задачи:

1. Утром температура воздуха была + 2°С, а к вечеру она понизилась на 5°С. Какой стала температура воздуха?

70. 2 + (- 5) = - 3

2 + (- 5) =

= - 3

2. В ходе игры команда «Старт» забила в ворота команды соперников 5 мячей, и, тем самым, набрала 5 очков. Но за многократные удаления в ходе игры арбитр присудил команде «Старт» 9 штрафных очков. Сколько очков имеет на своем счету команда «Старт» по итогам игры?

71. 5 + (- 9) = - 4

5 + (- 9) =

= - 4

72. Что же надо сделать, чтобы сложить два числа с разными знаками?

73. Сначала поставить знак того слагаемого, у которого модуль больше.

2 + (- 5) =

- (5 – 2) =

- 3

74. Из большего модуля вычесть меньший.

5 + (- 9) =

- (9 – 5) =

- 4

На этапе закрепления полученных знаний учащимся предлагается обучающая самостоятельная работа.

Учитель

Ученик

Доска  

Сегодня я принесла на урок эти предметы (шахматная доска, глобус, билет в театр и т.д.) и хочу, чтобы вы ответили мне на вопрос: «А что же объединяет все эти предметы?»

А еще я хочу прочитать вам отрывок из  первой главы романа Ж. Верна «Дети капитана Гранта».

Слайд с изображением указанных предметов.

После чтения отрывков из первой главы учащимся предлагается ответить на вопросы:

75. Почему героям романа пришлось преодолеть столько километров пути в поисках пропавшей экспедиции?

76. Не известно точное местонахождение героев.

77. Как в географии описывается точно местонахождение объекта?

78. Указываются широта и долгота (географические координаты).

79. Как в географии определяются широта и долгота?

80. По параллели и меридиану.

81. Что же общего у предметов, которые были предъявлены вам в начале урока?

82. Они позволяют определить положение (место) человека в зрительном зале или фигуры на шахматной доске.

83. Давайте вернемся к математике и подумаем, а как нам описать положение точки на плоскости?

84. Нужно тоже ввести координаты.

85. Так какова тема урока?

86. Координаты на плоскости.

Координатная плоскость

87. Как вы думаете, каким образом мы можем ввести координаты на плоскости?

88. Как в географии.

89. Но географические координаты (широта и долгота) – это воображаемые окружности на поверхности земного шара. Что можно взять на плоскости вместо окружностей?

90. Прямые.

91. Сколько прямых и каково их взаимное расположение? –

92. Две пересекающиеся прямые.

Наверное, таким же образом рассуждал другой великий француз – Рене Декарт – когда предложил использовать две взаимно перпендикулярные прямые для введения координат на плоскости. С тех пор математики так и говорят: прямоугольная система координат или декартова система координат.

93. Портрет Декарта
    
94. Прямоугольная система координат

Таким образом, положение точки М на плоскости будет описываться двумя числами, соответствующими данной точке по осям Ох и Оу.

М (х;у)

число х – абсцисса точки М,

число у – ордината точки М

Далее на уроке рассматриваются типовые задачи (нахождение координат точки и построение точки по заданным координатам) и выполняется задание «Рисуем по координатам»

Домашнее задание:  

1. творческая работа «Зашифруй рисунок»,
   
2. примеры из повседневной жизни, где мы встречаемся с координатами на плоскости .

а)  - 17 + ( - 3)

г) – 2,5 + ( - 3,5)

б)  - + ( - )

д) - 1 + ( - 3)

в) – 200 + ( -30)

е) – 1,3 + ( - 0,07)

а) – 217 + ( - 83) ☼ - 300

  г) – 139 + ( - 287) ☼ -167

б) – 217 + ( - 83) ☼ - 299

  д) – 139 + ( - 17) ☼ -167

в) – 217 + ( - 83) ☼ - 301

  е) – 139 + ( - 28) ☼ -167

а

- 80

- 0,43

-

- 1,43

b

-20

0. 0,5

-

- 10,57

a + b

b + a

а)  - 4,25 + 679

г) – 792,8 + 793

б) 2,5 + (- 600)

е) 279 + (- 280,9)

а)  - 7 + 50

г) – 48 + 8

ж) 0,1 + (- 4,9)

б)  7 + (- 50)

д) 1 + (- 29)

з) 0,06 + (-0,6)

в) 48 + (-8)

е) – 3,8 + 6,1

и) 10 + (- 10)

а) – 3,8 + 1,7 ☼ - 2,1

  в) 3,8 + (–1,7) ☼ -2,1

б) – 3,8 + (- 1,7)  ☼ - 5,6

  г) – 3,8 + 1,7 ☼ 5,6

а

- 80

0,43

- 1,43

b

20

-0,5

-

- 10,57

a + b

b + a

а) – 3 – 4 = – 3 + (– 4)

  в) – 4 – 3 = – 4 + 3

б) 2 – 10 = 2 + (– 10)

  г) – 15 – (– 21) = – 15 + 21

а) – 3 – 4 = – 3 + (– 4)

  в) – 4 – 3 = – 4 + 3

б) 2 – 10 = 2 + (– 10)

  г) – 15 – (– 21) = – 15 + 21

а) 6  – 13

д) 13  – 6

б)  6  – (– 13)

е) 13  – (– 6)

в) – 6  – (– 13)

ж) – 13  – 6

г) – 6  – 13

з) – 13  – (– 6)

а

10

- 10

 10

- 10

b

27

- 27

- 27

27

a – b

а) 15  – (– 10) ☼ 15

б)  – 5  – (– 5) ☼ – 15

в) – 10  – (– 5) ☼ – 15

а) отрицательно;

б) положительно.

1)  5 ∙ 7

5) 4 ∙ 3

2) – 5 ∙ 7

6) 4 ∙ (– 3)

3) 5 ∙ (– 7)

7) – 4 ∙ 3

4) – 5 ∙ (– 7)

8) – 4 ∙ (– 3)

а)  – 3,3 ∙ (– 10)

г) – 5 ∙ 9

ж) – 30 ∙ (– 0,02)

б)  – 3,3 ∙ 0,1

д) 4 ∙ (– 0,9)

з) – 2,7 ∙ 3

в) 33 ∙ (– 1,1)

е) – 4,5 ∙ (– 9)

и) 8,1 ∙ (– 0,7)

а

– 1000

 – 1

 – 0,1

– 0,01

– 0,001

b

0,03

– 5

0

1

– 1

a ∙ b

а)  – 13 ∙ 3 ☼ 13 ∙ (– 3)

б) – 13 ∙ (– 3) ☼ 13 ∙ 3

в) – 13 ∙ (– 3) ☼ 13 ∙ (– 3)

а) 10а = 60

в)  – 3у = – 15

б) – 10с = – 60

г) – 0,1р = – 0,1

а) 60 : 10

в)  – 15 : (– 3)

б) – 60 : (– 10)

г) – 0,1 : (– 0,1)

а)  – 33 : (– 11)

г) – 45 : 9

ж) – 30 : (– 2)

б)  – 33 : 11

д) 45 : (– 9)

з) – 27 : 3

в) 33 : (– 11)

е) – 45 : (– 9)

и) 81 : (– 9)

а

– 1000

- 1

 – 0,1

– 0,01

– 0,001

– 1 : а

а) 3 : (– 300) = – 3 : 300

в)  – 3 : (– 300) > – 300 : 3

б) – 3 : (– 300) < – 300 : 3

г) – 0,1 : (– 300) = – 300 : 3