ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

ЭЛЕКТИВНЫЙ ПРЕДМЕТ

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

10 КЛАСС

Учитель математики  МБОУ СОШ № 34 г. Тихорецка Мирошниченко В.Н.

ТЕМА 3 «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2. Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Методическая разработка  первого занятия по данной теме.

Цель изучения данной темы:

        - расширить знания о видах уравнений;

        - познакомить с методами их решения;

        - учить решать трудные задачи.

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

1. Уравнение вида

        ах3  + вх2  + вх + а = 0, а ≠ 0,   (1)

называются симметрическими уравнениями третьей степени. Поскольку ах3  + вх2  + вх + а = а (х3 + 1) + вх (х+1) = а (х+ 1) (х2  - х+ 1) + вх (х+ 1) = (х+1) (ах2 + (в - а) х + а), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

        х + 1 = 0    и     ах2 + (в - а) х + а = 0, решить которую просто.

Пример 1. Решить уравнение

3х3 + 4х2 + 4х + 3 = 0.

Уравнение является симметрическим уравнением третьей степени. Разложим на множители левую часть уравнения

 3х3 + 4х2 + 4х + 3 = 3 (х3 + 1) + 4х (х + 1) = ( х + 1) (3х3 – 3х + 3 + 4х) = ( х+ 1) (3х3 + х + 3).

Уравнение равносильно совокупности уравнений

         х + 1 = 0    и    3х3 + х + 3 = 0,

        х= - 1                    D< 0 , уравнение решений не имеет.

Ответ: - 1.

2. Уравнения вида

        ах4 + вх3 + сх2 + вх + а = 0 , а≠ 0,

называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения , то , разделив обе части уравнения на   х2   , получим уравнение . равносильное исходному:

ах2 + а/х2 + вх + в/х + с = 0.

Перепишем уравнение в виде:

а [(х + 1/х)2  - 2 ] + в ( х + 1/х) + с = 0.

В этом уравнении сделаем замену х + 1/х = у. тогда получим квадратное уравнение

        ау2 + ву +с – 2а = 0.

        Если уравнение имеет два корня у1   и у2 , то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

        х2 - х у1  + 1 = 0   и  х2 - х у2  + 1 = 0.

        Если же уравнение имеет один корень у0 , то исходное уравнение равносильно уравнению х2 - у0х = 1 = 0.

Если уравнение не имеет корней, то и исходное уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение

        х4 – 5х3 + 8х2 – 5х- 1 =0.

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х= 0 не является его корнем, то , разделив уравнение на х2   ,получим равносильное ему уравнение

        х2 – 5х + 8 – 5/х + 1/ х2= 0.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

(х2 + 1/ х2)2 – 5 (х + 1/х) + 6 =0.

Пусть х + 1/х = у, получим уравнение

у2 - 5у +6 = 0,

имеющее два корня у1= 2, у2 = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

        х + 1/х =2   и   х + 1/х =3.

Решение первого уравнения этой совокупности есть х1 = 1, а решения второго есть х2 =(3+√5)/2, х3 =(3-√5)/2.

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: х1 = 1, х2 =(3+√5)/2, х3 =(3-√5)/2.

3. Домашнее задание: рассмотреть решение уравнений;

А) 7х3 -  5х2 - 5х + 7 = 0,

Б) 3х3 + 4х2 - 4х - 3 = 0,

С) 3х4 – 4х3 + 2х2 – 4х + 3=0,

Д) х4 +4х3 - 2х2 –+4х + 1=0.