Для работы на уроках
материал по алгебре (11 класс) по теме

Зачет по теме «Комплексные числа»

1. Определение комплексных чисел.

1. Как вводится множество комплексных чисел?
2. Определение комплексных чисел, действительная и мнимая части комплексных чисел.
3. Равные комплексные числа.
4. Задача (стр.102), 1 вариант № 241 – 246 (1), 2 вариант № 241 – 246 (3).

2. Сложение и умножение комплексных чисел.

1. Сумма комплексных чисел.
2. Произведение комплексных чисел.
3. Задача 1 (стр. 104).
4. Чисто мнимое число (общий вид и примеры).
5. Какое число одновременно действительное и чисто мнимое?
6. Обозначение комплексных чисел.
7. Свойства комплексных чисел.
8. Задача 2 (стр. 105), 1 вариант № 247 – 253 (1), 2 вариант № 247 – 253 (2).

3. Модуль комплексных чисел.

1. Понятие сопряженных комплексных чисел.
2. Определение модуля комплексного числа.
3. Задача 1 (стр. 106), 1 вариант №254, 255, 257 (1); 2 вариант №254, 255, 257 (3).

4. Вычитание и деление комплексных чисел.

1. Определение разности комплексных чисел.
2. Задача 1 (стр. 108).
3. Частное комплексных чисел (формула в двух видах).
4. Деление комплексных чисел путем умножения на число, сопряженное со знаменателем.
5. Задача 2, 3 (стр.109), 1 вариант № 258 – 264 (1), 2 вариант № 258 – 264 (3).

5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

1. Комплексная плоскость.
2. Геометрический смысл модуля комплексных чисел.
3. Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел.
4. Задача 1 (стр. 113), 1 вариант № 268 – 270 (1), 2 вариант № 268 – 270 (2).

6. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

1. Рассмотреть комплексное число на комплексной плоскости (рис. 76).
2. Тригонометрическая форма комплексных чисел, определение, модуль, аргумент комплексных чисел.
3. Алгебраическая запись комплексных чисел.
4. Вывод (2).
5. Обратное утверждение.
6. Пример (стр. 114).
7. Более простой способ нахождения аргумента (3).
8. Задача 1, 2 (стр. 115).
9. 1 вариант № 271 – 273 (1), 2 вариант № 271 – 273 (3).

7. Свойства модуля и аргумента комплексных чисел.

1. Нахождение произведения и частного с помощью тригонометрической формы комплексных чисел (в общем виде и на примерах).
2. Вывод.
3. Формула Муавра.
4. Задача (стр. 118), 1 вариант № 274 – 276 (1), 2 вариант № 274 – 276 (3).

8. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным.

1. Уравнение вида : а) ; б) ; в) . Вывод, задача 1 (стр.120).
2. Теорема Виета (9).
3. Разложение на множители.
4. Теорема Виета и разложение на множители для приведенного квадратного уравнения с комплексными корнями.
5. Задача 2, 3 (стр.121), 1 вариант № 279 – 283 (1), 285 – 286 (1), 2 вариант № 279 – 283 (3), 285 – 286 (3).

9. Примеры решения алгебраических уравнений. Задачи 1 – 3 (стр. 122).
10. «Проверь себя!» (стр. 125).

Зачет по теме «Элементы комбинаторики»

1. Комбинаторные задачи. Правило умножения.

1. Задача №1 (стр. 129).
2. Задача №2 (стр. 129).
3. Правило умножения.
4. Какой раздел математики называется комбинаторикой и что он изучает?
5. Задача №3 (стр.129), 1 вариант № 310, 311 (1), 2 вариант № 310, 311 (3).

2. Перестановки.

1. Определение (что называется перестановками).
2. Что такое факториал? Запишите формулу числа перестановок из n элементов
3. Задача №1, №2 (стр. 131), 1 вариант № 322, 325 и 326 (нечетные), 2 вариант № 323, 325 и 326 (четные).

3. Размещения.

1. Определение (что называется размещениями).
2. Вывести формулу для вычисления числа размещений из m элементов по n элементов.
3. Задача №2, 3, 4 (стр.134), 1 вариант № 330, 329 (нечетные) и 334 (1), 2 вариант № 332, 329 (четные) и 335 (2).

4. Сочетания и их свойства.

1. Определение (что называется сочетаниями).
2. Вывести формулу для вычисления числа сочетаний из m различных элементов по n элементов в каждом.
3. Задача №2 (стр. 136), 1 вариант № 338, 337 (нечетные) и 345 (1), 2 вариант № 339, 337 (четные) и 345 (2).

5. Биноминальная формула Ньютона.

1. Запишите последовательно формулы степени бинома.
2. Запишите схему, которая называется треугольником Паскаля, какое свойство сочетаний лежит в основе построения треугольника Паскаля.
3. Биноминальная формула Ньютона (бином Ньютона), биноминальные коэффициенты.
4. Задача №1 (стр. 140), 1 вариант №349 (нечетные) и 350 (1), 2 вариант № 349 (четные) и 350 (2).

6. «Проверь себя!» (стр. 141).

Зачет по теме «Основы теории вероятностей»

1. Вероятность события

1. Задача теории вероятностей.
2. Определение частоты, относительной частоты, вероятности рассматриваемого события, достоверного события, невозможного события, единственно возможного события и элементарного события.
3. Правило и формула вычисления вероятности события.
4. Задача №1, 2, 3 (стр.145), 1 вариант № 376, 377, 380 (1), 2 вариант № 376, 378, 380 (2).

2. Сложение вероятностей

1. Определение (что называется суммой событий).
2. Теорема о сумме вероятностей событий.
3. Задача (стр. 147), 1 вариант № 383 (1, 3), 384, 2 вариант № 383 (2, 4), 385.

3. Вероятность противоположного события

1. Определение (что называется событием, противоположным данному).
2. Теорема о сумме вероятностей противоположных событий.
3. Задача №1, 2 (стр.148), 1 вариант №386 (1, 3), 389, 2 вариант № 386 (2, 4), 390.

1. Условная вероятность

1. Определение (что называется произведением событий).
2. Условная вероятность события и формула вычисления условной вероятности.
3. Задача №1, 2, 3 (стр. 151), 1 вариант №391 (1, 3), 393, 2 вариант №337 (2, 4),  394.

2. Вероятность произведения независимых событий

1. Условие независимости событий.
2. Задача №1, 2 (стр. 154), 1 вариант №399 (1, 3), 400, 405, 2 вариант №399 (2, 4), 401, 406.

3. «Проверь себя!» (стр. 157).

Справочный материал к теме «Тригонометрические уравнения»

(приложение к урокам 122 – 130)

1. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Вводим новую переменную  и решаем полученное      уравнение относительно t. Затем переходим к решению простейших тригонометрических уравнений вида , ,

2. Однородные уравнения 1 и 2 степени.

.

Решаем   делением обеих частей уравнения на .

.

Выполняем замену для d, переносим все члены в левую часть уравнения, приводим подобные члены и решаем как однородное уравнение 1 степени.    

3. Неоднородные уравнения.   

Способы решения:

1. С помощью формул половинного угла (выполняем замену)

2. С помощью формул тангенса половинного угла (выполняем замену)

     .

3. С помощью вспомогательного угла:

а) делим каждый член уравнения на ;

б)  решаем как простейшее тригонометрическое уравнение вида .

4. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители с использованием различных тригонометрических формул.
5. Тригонометрические формулы:

1. 
2.  формулы двойного угла;
3.  формулы сложения;
4.  формулы понижения степени;
5. ;

     Формулы суммы и разности синусов и косинусов.

6)

     формулы преобразования произведения в

    сумму.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств

Решение неравенств вида  с помощью единичной окружности

1. Отметить число а на оси ординат (абсцисс) Оу (Ох) и провести через нее прямую, перпендикулярную этой оси.
2. Отметить на окружности дугу, состоящую из всех точек, ордината (абсцисса) которых удовлетворяет данному неравенству. Эти точки расположены по одну сторону от проведенной прямой.
3. Записать один числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную дугу, и, прибавив к его концам , получить общее решение.
4. Левый конец промежутка должен быть меньше правого и разность между левым и правым концом не превосходит .

Решение неравенств вида  с помощью графиков тригонометрических функций

1. Построить графики функций на одной координатной плоскости.
2. Находим абсциссы точек пересечения графиков на одном числовом промежутке (учитываем периодичность тригонометрических функций).
3. Находим все значения х на выбранном числовом промежутке, для которых соответствующие точки графика лежат выше (ниже) прямой у = а.
4. Записываем решение неравенства в виде двойного неравенства, прибавив к его концам  (для синуса и косинуса) и  (для тангенса и котангенса).

Формулы приведения

Если угол выражен или можно выразить через , то применяем формулы приведения.

1. Выразим заданный угол через один из перечисленных углов, причем второй угол в сумме или разности должен удовлетворять условию .
2. Определим четверть, в которой расположен заданный угол, и знак данной тригонометрической функции.
3. Если угол выражен через , то синус заменяется на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если угол выражен через , то замены не происходит.

Справочный материал к теме «Простейшие тригонометрические уравнения»

(приложение к уроку 116)

1. Уравнение вида .

2. Уравнение вида .

3. Уравнение вида .  

4. Уравнение вида .