Решение тригонометрических уравнений
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

  Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида .

  Уравнение  может иметь решение только при          (-1≤  а ≤ 1 ) . Решение этого уравнения находят по общей формуле

.

Пример.  1. Решить уравнение .

Решение. . По кругу находим . Следовательно, .

Частные случаи:

1.      ;

2.      ;

3.      .

  Уравнение  может иметь решение только при . Решение этого уравнения находят по общей формуле

.

Пример. 2.6.2. Решить уравнение .

Решение. . По кругу находим Следовательно, .

Частные случаи:

1.      ;

2.      ;

3.      .

  Уравнение  имеет решение при всех значениях a. Решение может быть найдено по формуле

Пример 2.6.3. Решить уравнение .

Решение. . По кругу находим . Следовательно, .

  Уравнение  имеет решение при всех значениях a. Решение может быть найдено по формуле

Пример 2.6.4. Решить уравнение .

Решение. . Следовательно, .

Тригонометрические уравнения. Основные методы решений

Методы решения тригонометрических уравнений.

 Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: 

 преобразование уравнения для получения его простейшего вида   

и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

 Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры

   ( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

 преобразуем и разложим на множители выражение в    левой части уравнения:

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

                                            sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

                                            sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

    Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

                                           a sin x + b cos x = c ,

    где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1.  Тогда можно обозначить их соответственно как cos  и sin  ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

    П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.

    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                 cos 8x = 0 ,

                                                 8x = / 2 + k ,

                                                 x = / 16 + k / 8 .

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

      П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

                             Таким образом, решение даёт только первый случай.