Разработка урока по логарифмам
план-конспект урока (алгебра, 11 класс) по теме

Разработка урока обобщающего повторения  по теме "Логарифмы"

Краснова Лидия Егоровна, учитель

«Посредством уравнений, теории

Я уйму всяких разрешил проблем».

Чосер (английский поэт, средние века)

Цели урока:

Развивающие:

1. Обобщение  и систематизация  знаний, умений и навыков; применение их в новых условиях; создание проблемной ситуации; учить самостоятельно добывать знания;
2. Актуализация опорных знаний совместного решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств, решение логарифмических уравнений и неравенств, содержащих модуль;
3. Контроль и самоконтроль знаний, умений и навыков с помощью тестов;
4. Развитие умений наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать;
5. закрепить основные методы решения логарифмических уравнений;
6. Развитие логического мышления и интуиции при решении задач и умение работать в проблемной ситуации;
7. Дать возможность учащимся проверить свой уровень подготовки к экзамену по данной теме.

Воспитательные:

8. Воспитывать интерес к предмету, коллективизм, дисциплинированность, чувство собственного достоинства.

Оборудование: доска, мультимедийный проектор, компьютер, карточки с дидактическим материалом.

Педагогические технологии: обучение в сотрудничестве и личностно-ориентированный подход в обучении.

ХОД УРОКА:

1. Проверка домашнего задания.

    Попросила посмотреть все формулы по теме логарифмы: свойства, графики, тождества. Тем временем доску разделила  на три части-по одной для каждого ряда. Затем все превратились в команды, выбрали капитанов и под их чутким руководством заполнили свою часть доски формулами (всеми, какие только вспомнили по логарифмам).

    Условие: выходить к доске по одному человеку, в относительной тишине. Один человек пишет одну формулу, затем должен выйти другой – каждый только по одному разу ( для профилактики эксплуатации отличников и тихой отсидки слабачков). Доску заполнили за 10 минут, произнося при написании формулу вслух, озвучивая все буквенные обозначения. После этого проверили, у кого сколько получилось, и дописали недостающие.

2. Организационный момент. Сообщение темы урока, целей, основных моментов.     Прислушаемся совету Чосера  «Посредством уравнений, теории я уйму всяких разрешил проблем»  и будем наши проблемы решать свойствами логарифмов, логарифмических функций. Закрепим знания о типах, методах и особенностях решения логарифмических уравнений и неравенств.
3. Историческая справка (сообщение ученика)

                                                 Изобретение логарифма,

                                                                                           Сократив работу астронома,

                                                                                           Продлило ему жизнь . . .

                                                                                                                                  Лаплас

     В новых торговых странах был большой спрос на инженеров и «арифметиков». Астрономия процветала во всей Европе. После открытия морского пути в Индию итальянские города уже не были на магистральной дороге, ведущей на Восток. Тогда и была переделана  вся система мер на десятичную основу, возникли десятичные дроби, применили индийско-арабскую систему счисления.

        Другим большим усовершенствованием вычислительной техники было изобретение логарифмов. Развитие тригонометрии дало астрономии практическое средство для вычисления – простаферетический метод. При котором умножение, тратившее много времени было заменено сложением или вычитанием. Однако этот метод был сложен, а развивающаяся астрономия требовала новых  средств, которые дали бы возможность оперировать большими числами.        Логарифмы были введены в начале 17 века двумя математиками- Непером и Бюрги. Это введение обусловливалось тем временем, когда происходили великие географические открытия и осваивались новые земли.                                                                                                                                               Немного об изобретателе логарифмов и создателе логарифмических таблиц. Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение 5лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьёзно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришёл ещё в 80-х годах 16 в., однако опубликовал свои таблицы только в 1614 г., после 25 летних вычислений! Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц» Неперу принадлежит и сам термин «логарифм», который он переводит как «искусственное число».

        Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычисления. Они давали возможность за несколько часов выполнить работу, за которую раньше требовались целые месяцы. На самом деле, логарифмы чрезвычайно упрощают и ускоряют вычисления, дают возможность производить такие операции, выполнение которых без их помощи очень затруднительно (извлечение корня любой степени).

        Впервые логарифмами воспользовался немецкий учёный Иоганн Кеплер (1571-1630) при составлении астрономических таблиц. Логарифмами он пользовался при обработке «Рудольфовых таблиц», основанных на наблюдениях  выдающегося датского астронома Тихо Браге. 

             Логарифмическая функция возникает в связи с самыми разными природными формами. По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника, закручиваются раковины моллюска Nautilus, рога горного барана и клювы попугаев. Все эти природные формы могут служить примерами кривой, известной под названием логарифмической спирали, потому что в полярной системе координат ее уравнение имеет вид r = aeb, или lnr = lna + b. Такую кривую описывает движущаяся точка, расстояние от полюса которой растет в геометрической прогрессии, а угол, описываемый ее радиусом-вектором – в арифметической. Повсеместность такой кривой, а следовательно и логарифмической функции, хорошо иллюстрируется тем, что она возникает в столь далеких и совершенно различных областях, как контур кулачка-эксцентрика и траектория некоторых насекомых, летящих на свет.

        Во время открытия логарифмов десятичные дроби, хотя и были известны, но не вошли во всеобщее употребление. Не было в то время и понятия о степени, и тем более о показателе степени. Поэтому и не могло быть речи об основании логарифмов. Тем не менее, логарифмы были открыты и вычислены.   С теоретической точки зрения введение понятия логарифма как новой функциональной связи между переменными имело исключительно большое значение для развития анализа бесконечномалых.          

4. Актуализация знаний

1) «Расшифруй фразу» – 2 ученика работают у доски

. . . . . .
(ЛАПЛАС)

В это время весь класс определяет «код», ставя в соответствие формулы.

Ответ: 57143263.     Взаимопроверка.

2) Устно повторить основные способы решения логарифмических уравнений по схемам. (У каждого ученика есть готовая схема (Приложение1). На доске записаны 8 уравнений – устно расставить номер способа решения.

1.Около каждого примера напишите номер метода.
2.Выберите примеры, которые решаются с помощью метода:
а) логарифмирования (№7 и №8) и решите один из них. У доски эти номера решают двое учеников;
б) потенцирования (№2 и №5). У доски эти номера решают двое учеников.
Великий Конфуций говорил: Три пути ведут к познанию: I путь размышления – это путь самый благородный. Мы его с вами только что прошли в первой части урока. II путь подражания – это путь самый легкий. Пройдем вместе по нему, решив в тетрадях уравнение.

V. Разноуровневая самостоятельная работа

Выполняют 10 минут, 2 ученика на скрытой доске.

1 группа – более подготовленные учащиеся,
2 группа – средние и слабые учащиеся.

Дополнительно: lg x = x

Проверить самостоятельную работу на доске и объяснить дополнительное задание: комбинированное уравнение – графический способ решения.

6. Решение неравенств. У каждого ученика на парте лист с неравенствами:

1. log2х>1 (х>2)
2. log3х≥0 (x≥1)
3. log1/2х>0 (0;1)
4. log3х<2 (0;9)
5. log3(х-2) >1 (5;+∞)
6. lg(х-3) ≥2 (103;+ ∞)

Решить устно и сказать ответы. Опрос фронтально.

VII.  Программированный опрос (10 мин.)

Решить в тетрадях и поставить номер правильного ответа.

(ответы I в. 12;  II в. 14)

VIII. Самостоятельная работа – мини ЕГЭ (15минут).

      Учащиеся выполняют самостоятельную работу на 4 варианта в форме ЕГЭ. Работа выполняется в тетрадях, ответы выписываются на отдельных листочках для сдачи на проверку. Через 15 минут листочки с ответами сдаются, а решения проверяются с помощью мультимедиа.
(Варианты самостоятельной работы – Приложение 2).
При проверке – учащиеся в тетрадях отмечают (подчёркивают) ошибки, а дома – переделывают эти задания.

IX. Задания повышенного уровня

а) Найти сумму всех целых чисел из области определения

y = lg (34 – | 5x + 17 |)
(начать решение на уроке, закончить – дома).

б) Найти наибольший корень уравнения:
(37х2 – 5 – 9)(log0,5 (2 – 5х)) = 0

(Проанализировать решение, дома – выполнить).

X. Домашнее задание

1. выполнить индивидуальную работу над ошибками в самостоятельной работе;
2. закончить задание повышенного уровня а), б).
3. решить уравнение графически (из дополнительного задания).
4. решить неравенства

1) log0.5(3x+2)<1         ( -0,5; +∞)
2) lg(7-x)+lgх>1          (2;5)
3) lg(12-8x)>lg(2-9х)    (-10; +∞)

XI. Подведение итогов урока, выставление оценок

Приложение 1.

Способы решения логарифмических уравнений.

          Приложение 2.

Конспект урока составлен на основе учебника А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» Москва; Мнемозина, 2011 год, а также материалов курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» П.В. Чулков, Москва, Педагогический университет  «1 сентября» 2006 год.