Уравнения высших степеней
элективный курс по алгебре (10 класс) на тему
Предлагаемый курс содержит недостаточно проработанные в базовом курсе школьной математики вопросы и своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 10 классов, которым интересна математика. Данный элективный курс поможет школьникам повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах как
- решение целых уравнений разложением на множители;
- решение целых уравнений с использованием свойств функций и их графических представлений;
- решение целых уравнений различных типов методом замены переменной.
Также будут рассмотрены особые случаи решения уравнений, которые выходят за рамки школьной программы, что позволяет получить дополнительную подготовку к олимпиадам по математике и для успешной сдачи ЕГЭ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 elektivnyy_kurs.doc | 44 КБ |
 6_nechaev_ev.pptx | 1.51 МБ |
Предварительный просмотр:
ПРОГРАММА КУРСА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 10 КЛАССА
Элективный курс в 10 классе
Уравнения высших степеней
Учитель Е.В.Смалева
Пояснительная записка
Предлагаемый курс содержит недостаточно проработанные в базовом курсе школьной математики вопросы и своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 10 классов, которым интересна математика. Данный элективный курс поможет школьникам повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах как
- решение целых уравнений разложением на множители;
- решение целых уравнений с использованием свойств функций и их графических представлений;
- решение целых уравнений различных типов методом замены переменной.
Также будут рассмотрены особые случаи решения уравнений, которые выходят за рамки школьной программы, что позволяет получить дополнительную подготовку к олимпиадам по математике и для успешной сдачи ЕГЭ.
Теоретический материал сопровождается разбором типовых задач, приведены упражнения для самостоятельной работы, вопросы самопроверки, сводка основных правил.
Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей.
Завершить курс планируется защитой проекта в виде буклета по методам решения уравнений высоких степеней в форме интерактивной презентации.
Цели курса:
- помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как решение целых уравнений III,IV и выше степеней;
- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.
Задачи курса:
- научить учащихся использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности;
- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
Данный курс рассчитан на 17 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную и домашнюю (разноуровневую) работу.
Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки.
Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.
Требования к уровню усвоения содержания курса
Основными результатами освоения содержания элективного курса может быть определенный набор умений решения целых уравнений различных типов, а также уравнений с параметрами. Административной проверки усвоения материала курса не предполагается.
В технологии проведения занятий предусмотрен этап самопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изученный материал. Одна из форм самостоятельной работы учащихся – практическая работа; итоговой формой контроля может стать защита проекта по теме курса.
Данный курс по выбору предполагает 17 тематических занятий.
Учебно-тематический план
№ п/п | Наименование тем курса | Всего часов |
1 | Решение целых уравнений разложением на множители | 1 |
2 | Решение целых уравнений методом очевидной замены | 1 |
3 | Решение целых уравнений методом неочевидной замены | 1 |
4 | Выгодный способ группировки множителей при решении уравнений вида (х-a)(x-b)(x-c)(x-d)=A | 2 |
5 | Выгодный способ группировки множителей при решении уравнений вида (х-a)(x-b)(x-c)(x-d)=Bx² | 2 |
6 | Однородные уравнения | 1 |
7 | Возвратные уравнения. Симметрические уравнения I и II рода | 2 |
8 | Графический метод решения некоторых уравнений | 1 |
9 | Особые случаи | 2 |
10 | Решение уравнений с параметрами | 2 |
11 | Итоговое занятие. Защита проектов. | 2 |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Подумайте, хотели бы Вы побывать в горах? Лично я думаю, нет в мире человека, который был бы равнодушен к горам. Есть люди, которые их страшатся, есть люди, которые в них живут и каждый день любуются их красотой, есть те, которые их покоряют… Решение уравнений высоких степеней, нахождение различных способов решений можно сравнить с покорением горной вершины. Уравнения, как и сияющие вершины, поддаются только людям упорным, людям, влюбленным в них. 2. Основоположники Меню: 3. Основные виды уравнений высших степеней 6. Различные методы решения уравнений четвертой степени 7. Уравнения 12-ой и n- ой степени 8. Опасности при восхождении 5. Решение уравнений методом разложения на множители 9. Вывод 4. Решение уравнений с помощью замены 10. Список литературы 1. Введение Далее
Введение Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники. В этой работе мне хотелось бы отразить различные способы решения уравнений высших степеней. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной программе. Задачи проекта: Улучшить навыки решения уравнений высших степеней; Наработать новые способы решения уравнений высших степеней. Объект исследования – элементарная алгебра. Предмет исследования – уравнения высших степеней. Выбор этой темы основывался на том, что многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали 25 веков назад. Они создаются и сегодня — как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных испытаний в ВУЗы, для олимпиад самого высокого уровня. Далее Меню
Основоположники Диофант Александрийский — древнегреческий математик. О подробностях его жизни практически ничего не известно. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена « достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрий-ский , живший в середине III в. н.э. Так выглядело решение уравнений во время Диофанта Латинский перевод Арифметики Далее Меню Назад
Мухаммад ибн Муса Хорезми ( ок . 783 — ок . 850) — великий математик, астроном и географ, основатель классической алгебры. Сведений о жизни учёного сохранилось крайне мало. Ал-Хорезми известен прежде всего своей «Книгой о восполнении и противопоставлении», от названия которой произошло слово «алгебра». В теоретической части своего трактата ал-Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть их видов: 1) квадраты равны корням; 2) квадраты равны числу; 3) корни равны числу; 4) квадраты и корни равны числу; 5) квадраты и числа равны корням; 6) корни и числа равны квадрату. Для приведения квадратно канонических видов ал-Хорезми вводит два действия. Первое из них состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. Второе действие состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения. «Алгебра» ал-Хорезми , положившая начало развития новой самостоятельной научной дисциплины, была дважды переведена в XII веке на латинский язык и сыграла чрезвычайно важную роль в развитии математики в Европе. Памятник ал-Хорезми в Тегеранском университете Далее Меню Назад
Франсуа Виет (1540 — 13 декабря 1603) — выдающийся французский математик, один из основоположников алгебры. Родился в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату — Шарант . Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье, где получил степень бакалавра. Около 1570 года подготовил «Математический Канон» — труд по тригонометрии, — который издал в Париже в 1579 году. Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом , Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, а после его убийства — Генриха IV. Изучая труды классиков ( Кардано , Бомбелли, Стевина ) выпустил несколько работ, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики». Главным трудом Виета стала работа: «Введение в аналитическое искусство». Есть некоторые указания, что учёный умер насильственной смертью. Сборник трудов Виета был издан посмертно. Франсуа Виет Далее Меню Назад
Этьен Безу (31 марта 1730 — 27 сентября 1783) — французский математик, член Парижской академии наук (1758). Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося. Надгробие ученого Предполагаемый портрет ученого-математика Далее Меню Назад
Это интересно: Однажды в ноябре 1594 года во дворе Генриха IV (Франция) Нидерландский посланник рассказал об известной задаче знаменитого математика Адриска Ван Ромена . Это был вызов математикам всего мира. Речь шла о решении уравнения 45-й степени. В списке тех, кому следовало направить его научный вызов, Ван Ромен не указал ни одного француза и посланник заметил, что по видимому, во Франции нет математиков. “Но почему же? - возразил король. У меня есть математик и весьма выдающийся”. Он послал за Виетом Франсуа. Один корень Виет нашел сразу же, а на следующее утро представил 22 решения этого уравнения. Далее Меню Назад
Основные виды уравнений высших степеней 1. Очевидная замена. Биквадратные: ax ⁴+ bx ²+ c = o , где a ≠ 0 , приводимые к ( би )квадратным Примеры: 2х⁴+х²-1=0 (х²+3х+1)( х²+3х+3)+1=0 (х+3)⁴-3(х+3)²+2=0 3. Выгодный способ группировки множителей. ( х+ a )( х+ b )( х+ c )( х+ d )=А или ( х+ a )( х+ b )( х+ c )( х+ d ) =Вх ² Примеры: (х+3)(х+1)(х+5)(х+7 )=-16 (х-4)(х+2)(х+8)(х+14)=1204 (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х² 4(х+5)(х+6)(х+10)(х+12)-3х²=0 2. Неочевидная (завуалированная) замена. Примеры: ( х²-6х)²-2(х-3)²=81 (8х²-3х+1)²=32х²-12х+1 (х²+х+1)²-3х²-3х-1=0 4. Возвратные уравнения. a х⁴+ b х³+ c х²+ b х+ a =0 , где a ≠ 0 Пример: х⁴-5х³+6х²-5х+1=0 5. Однородные уравнения. au²+buv+cv²=0 , где a,b,c ≠ 0 Примеры: (х²-2х+2)²+3х(х²-2х+2)= 10х² (2х-1)²+(2х-1)(х+2)-2(х+2)²=0 (х²-х+1)⁴-6х²(х²-х+1)²+5х⁴=0 6. Особые случаи. ( х+а ) ⁿ +( х+ b ) ⁿ =С Примеры: (х+1)⁴+(х+5)⁴=32 (х+1)⁵+(х+5)⁵=242(х+1) (х-6)⁶+(х-4)⁶=64 Далее Меню Назад
Чтобы разобраться в основных приемах решения уравнений высоких степеней, разберем примеры, представленные в пункте «Виды уравнений высших степеней». Решение урвнений с помощью замены Далее Меню Назад
Уравнение 1-ого вида: (х+3)⁴-3(х+3)²+2=0 1. Так как замена очевидна выполним ее: ( x +3)²= t , где t ≥0; 2. Получим квадратное уравнение t² -3 t +2 =0 ; 3. Решив квадратное уравнение, выполним обратную замену; 4 . Решив линейное уравнение, найдем х. Уравнение 2-ого вида: (х²-6х)²-2(х-3)²=81 1. Здесь сделать замену сразу не получится, поэтому выполним некоторые преобразования по формулам сокращенного умножения (х²-6х) ²-2 (х²-6 x +9 ) =81 ; 2 . Теперь можно выполнить замену: x ²-6х= t 3. Получим квадратное уравнение t² -2( t +9)-81 =0 ; 4. Решив квадратное уравнение, выполним обратную замену, получим два простых квадратных уравнения; 5 . Решив квадратные уравнения, получим искомые корни. Далее Меню Назад
Уравнение 3-его вида (1): ( х+ a )( х+ b )( х+ c )( х+ d ) =Вх ² Условие группировки множителей ad= bc (х+2)( х+3)(х+8) (х+12 )=4х² 1.Необходимо сгруппировать множители специальным образом. Получим: (х²+14х+24)(х²+11х+24)=4х² 2.Далее уравнение можно решить одним из способов: - Специальный прием : делим на х ² ( х+11+24/ х )(х+14+24/ х )=4 Замена: х+24/ х = t ( t+11)(t+14)=4 - Уравнение с двумя переменными Замена : х²+24= t (t+11x)(t+14x)=4x ² t²+25xt+150x ²=0 , где t- переменная Далее Меню Назад
Уравнение 3-его вида (2): ( х+ a )( х+ b )( х+ c )( х+ d ) =А Условие группировки множителей a+d = b+c (х+3) (х+1) (х+5) (х+7)=-16 I способ: 1. Необходимо сгруппировать множители специальным образом. Получим: ( x²+8x +15 ) ( x²+8x +7)=-16 ; 2. Теперь можно выполнить замену x ² +8 х= t , 3 . Получим квадратное уравнение (t+15)(t+7)=-16 4 . Решив квадратное уравнение, выполним обратную замену, получим квадратное уравнение. II способ: 1. Нанесем корни многочлена (х+3)(х+1)(х+5)(х+7) на числовую ось. 2. Из рисунка 1 видно, что расстояние между соседними корнями одно и то же. В таком случае, когда корней четное число, удобно сделать замену переменных t=x-x 0 , где x 0 – середина между крайними корнями . Тогда в уравнение войдут квадраты новой переменной, и уравнение станет биквадратным. 3. Замена: t=x +4, тогда x = t-4 Тогда: ( t-1 ) (t-3)(t+1)(t+3)=-16 (t 2 -1)(t 2 -9)=-16 t 4 -10t 2 +25=0 t 2 =5 t 1,2 =±√5 Выполним обратную замену: x 1,2 =-4±√5 Далее Меню Назад рис. 1
Уравнение 4-ого вида: х⁴-5х³+6х²-5х+1=0 1.Специальный прием : разделим каждый член уравнения на x ², где x≠0 , получим: x²-5x+6-5/x+1/x²=0 ; 2. Сгруппируем таким образом: ( x²+1/x²) -5( x+1/x) +6=0 ; 3. Теперь можно выполнить замену: x+1/x = t , x²+1/x² = t ²-2, получим квадратное уравнение t²-5t+4=0 ; 4. Решив квадратное уравнение, выполним обратную замену и найдем корни исходного уравнения. Далее Меню Назад Уравнение 5-ого вида: (х²-2х+2)²+3х(х²-2х+2)=10х² 1. Специальный прием : разделим обе части уравнения на x ²,где x ≠0, получим уравнение, в котором есть повторяется выражение, содержащее переменную. Заменим его на у. 2. Получим квадратное уравнение: у²+3у-10=0 у=-5, у=2 3. Выполним обратную замену, решив квадратные уравнения х²+3х+2=0 х²-4х+2=0, 4. Найдем корни исходного уравнения.
Уравнение 6-ого вида (2): ( x +3)⁴+( x +5)⁴=16 Подстановка: x = t -(3+5) /2 x=t-4 (t-1)⁴+(t+1)⁴=16 (t²-2t+1)²+(t²+2t+1)²=16 2t⁴+12t²-14=0 t⁴+6t²-7=0 Замена : t²=a, a≥0 a ²+6 a -7=0 a ₁=-7 — не подходит a₂=1 ВОЗ: t²=1 t₁=1 или t₂=-1 Найдем x: x₁=1-4=-3 x₂=-1-4=-5 Ответ: -3; -5. Уравнение 6-ого вида (1): ( x -2)⁶+( x -4)⁶=64 Подстановка: x=t-(-2-4)/2 x=t+3 (t+1)⁶+(t-1)⁶=64 (t²+1)(t⁴+14t²+1)=32 t⁶+15t⁴+15t²-31=0 Искать целые корни будем среди делителей свободного члена: t = ± 1; ±31 Подбор: t =1 – является корнем ( t ⁶+15 t ⁴+15 t ²-31):( t -1)= t ⁵+ t ⁴ +16t²+31t+31 (t⁵+t⁴+16t³ + 16t²+31t+31):(t+1)=t⁴+16t²+31 t⁴+16t²+31=0 Замена : t²=a, a≥0 a²+16a+31=0 D₁=64-31=33, D₁>0 , 2 корня a ₁ , ₂ <0 — не подходят ВОЗ : x-3=1 x-3=-1 x=4 x=2 Ответ: 1; 4; 2. Далее Меню Назад
Решение уравнений методом разложения на множители 1. x 7 +7x 4 -8x=0 x(x 6 +7x 3 -8)=0 тогда: x =0 x 6 +7 x 3 -8=0 – очевидная замена 2. (x-3) 3 -x 2 +9=0 (x-3) 3 -(x 2 -9)=0 (x-3) ³ _ (x-3)(x+3)=0 (x-3)((x-3) 2 -(x + 3))=0 тогда: x=3 x 2 -7x+6=0 3. 4x 4 +3x 3 +32x+24=0 4x(x 3 +8)+3(x 3 +8)=0 (x 3 +8)(4x+3)=0 тогда: x 3 +8=0 x=-2 4x+3=0 x=-3/4 Далее Меню Назад
Уравнение (2): x ⁴+7 x ³+11 x ²+7 x +10=0 Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки: ( x ⁴+ x ²)+(7 x ³+7 x )+(10 x ²+10)=0 x ²( x ²+1)+7 x ( x ²+1)+10( x ²+1)=0 ( x ²+1)( x ²+7 x +10)=0 x ²+7 x +10=0; x ²+1≠0 По теореме Виета: x ₁+ x ₂=-7 x ₁=-2 x ₁ x ₂=10 x ₂=-5 Ответ: -2; -5. Методы решений уравнений одного типа (4-ая степень) Уравнения, на первый взгляд, одного типа: в левой части многочлен IV- ой степени, в правой – 0, а способы решения различны. Уравнение (1) См. ур-е 4-ого вида Далее Меню Назад
Пример 3: x ⁴-2 x ³-18 x ²-6 x +9=0 1 способ: Искать целые корни будем среди делителей свободного члена: x =±1; ±3 1) x =1; 1-2-18-6+9≠0 x =-1 ; 1+2-18+6+9=0, х=-1 — является корнем ( x ⁴-2 x ³-18 x ²-6 x +9):( x +1)= x 3 -3 x 2 -15 x +9 2) x =3 ; 27-27-45+9≠0 x =-3 ; -27-27+45+9=0, х=-3 — является корнем 3) Делим многочлен на многочлен: ( x 3 -3 x 2 -15 x +9):( x +3)= x 2 -6 x +3 x 2 -6 x +3=0 Решим квадратное уравнение найдем искомые корни. 2 способ: Решим это уравнение как возвратное уравнение. Общий вид: a х⁴+ b х³+ c х²+ bm х+ am ²=0, где a ≠0. Приводится к виду a ( x ²+ m ²/ x ²)+ b ( x + m / x )+ c =0 и заменой y = x + m / x y ²-2 m = x ²+ m ²/ x ² Здесь m =3. Специальный прием : разделим на х ² , получим: х²-2х-18-6/х+9/х²=0 Приведем к квадратному уравнению с помощью замены: у=х+3/ х у²-6=х²+9/ х ² у²-6-2у-18=0 у²-2у-24=0 у=6, у=-4 Выполним обратную замену и решим квадратные уравнения. Далее Меню Назад
Уравнения 12-ой и n- ой степени Уравнение 12-ой степени: x 12 - x 9 + x 8 - x 5 +1=0 Используем метод разбиения задачи на части: 1) x <0: + + + + + >0 Решений нет. 2) x =0: 1=0 Решений нет. 3) x >1: x 5 ( x 3 -1)( x 4 +1 ) +1=0 + + + + >0 Решений нет. 4) x =1: 0+1=0 Решений нет. 5) 0
Потеря корня! Пример: х³-х=4х²-4 х (х²-1)=4(х²-1) х=4 Делить на (х²-1) НЕЛЬЗЯ! Это приводит к потере корней! Опасность при восхождении Далее Меню Назад
Вывод В данной работе приведены различные способы решения уравнений высших степеней. В основном, это способы решения для уравнений частного характера, то есть к каждой группе уравнений, объединенных какими-либо общими свойствами или видом, приведено особое правило, которое применяется только для этой группы уравнений. Каждое решение пригодится в дальнейшей учебе. Эта работа поможет классифицировать старые знания и познать новое. К сожалению, здесь рассмотрены не все уравнения высоких степеней. Ведь как у любого альпиниста — за только что покоренной вершиной вдалеке виднеется еще более заманчивая, так и у нас — еще много неразгаданного и неизвестного в этом удивительном мире уравнений. Я желаю вам успеха и ощущения жажды, жажды покорения вершины при встрече с незнакомыми уравнениями. Далее Меню Назад
Литература: С.И. Колесникова — «Математика. Решение сложных задач ЕГЭ» С.И. Колесникова — 2-е издание, ИСПР. М.: Айрис-пресс, 2006 г. – 272 с. Т.М. Королева и др. — «Пособие по математике в помощь участникам централизованного тестирования» М.: Центр тестирования МОРФ, 2004 г. А.Т. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир — « Алгебрический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов». М.: Илекса , 2004 г. — 320с. Мордкович и др. — «Алгебра и начало анализа. 10 класс» (в 2 частях). Часть 2: «Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)». М.: Мнемозина , 2008 г. – 343 с. Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. — «Конкурсные задачи по математике: Сборник задач». Ярославль 2005 г. – 178 с. P.S.: Все картинки взяты с сайта: http://images.yandex.ru Информация об «Основоположниках» взята с сайта: http://ru.wikipedia.org Конец Меню Назад
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Способы решения уравнений высших степеней. 8 класс
Данную презентацию использую при решении уравнений высших степеней в 8 классе. Решать квадратные уравнения школьники научились по формулам, а если уравнение выше второй степени? Есть ли алгоритм...
Конспект урока. Тема: "Решение уравнений высших степеней" 8 класс
Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал....
Урок-защита проектов "Решение уравнений высших степеней" 9 класс
Конспект урока по алгебре в 9 классе "Решение уравнений высших степеней", на котором учащиеся защищали свои проекты.Презентации учащихся: Решение биквадратных уравнений, Решение возвратных уравнений, ...
Открытый урок по алгебре "Уравнения высших степеней"
урок по алгебре "Уравнения высших степеней"...
Презентация программы элективного курса для 9-х классов "В мире уравнений высших степеней"
Это презентация поможет сформировать программу элективного курса для предпрофильной подготовки девятиклассников по теме "В мире уравнений высших степеней"....
Контрольная работа по алгебре по теме: "Многочлены. Уравнения и системы уравнений высших степеней. Теорема Безу. Повторение". 9 класс ( углубленный уровень).
В контрольной работе содержится подборка заданий углубленного уровня по теме "Многочлены. Теорема Безу. Деление с остатком. Повторение". Для сильных ребят в этой теме необходимо рассмотреть ...