Алгебраические уравнения
элективный курс по алгебре (10 класс) на тему

Автор – Прокофьева Тамара Александровна,

учитель МБОУ СОШ №12 г. Дзержинска Нижегородской обл.

Тема 1 Алгебраические уравнения

   «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно»

Альберт Эйнштейн

   Истоки алгебры. Геометрия древних греков. Решение    квадратных уравнений.

   Решение квадратных уравнений заменой.

1. Истоки алгебры.

Математика как наука появляется тогда, когда начинает свое существование некая достаточно богатая совокупность математических теорий.

Формирование математической науки происходило в научном творчестве ученых Древней Греции. Это группа государств, сложившихся начиная с VIII – VI в. до н. э. на территории современной Греции, близлежащего побережья Малой Азии и юга Италии. Эти государства со временем приобрели вид отдельных самоуправляющихся городов (полисов). Расположенные на самых оживленных в ту пору торговых путях, они приобретали большое экономическое могущество, превратившись к V в. до н. э. в политический, экономический и культурный центр античного мира.

В ряде ранних источников содержатся высказывания, говорящие о преемственности математических и вообще математических знаний. Так, в них упоминается о поездках купцов и образованных граждан древнегреческих полисов в другие страны. Чаще других речь идет о Египте и иных странах ближнего Востока, о развитии в них науки и о технических достижениях. Практический характер математики и успехи её в этих странах были высоко оценены и восприняты полностью.

В течении долгого времени математические сведения не были выделены в отдельную область науки. Важные и интересные астрономические, технические и другие открытия, наблюдения за явлениями природы, новые методы вычислений и решения новых классов задач стекались в Грецию со всех сторон, распространялись в кругах образованных людей, сливаясь в единую, хотя и слабо поначалу объединенную, область всеобщего научного знания. Называли эту область – матема  (μ α τ η μ α ) – «знание, наука». Факты этой науки приобретали название научных, математических.

Но время шло, и постепенное накопление научных сведений объективно вынуждало к тому, чтобы их упорядочить, классифицировать. То же стремление к разделению, дифференциации знаний вырастало из практики школьного обучения. Известно, что дети свободных граждан рабовладельческих Афин и других полисов с 7-летнего возраста учились в школах. Там их обучали как дисциплинам практического назначения, так и началам теоретического научного знания, в том числе основам теоретической арифметики и геометрии. Став взрослыми, они вследствие привилегированного положения в обществе передавали подневольным людям не только физический труд, но и решение практических задач, связанных с необходимостью счета и измерений.

Такое разделение математических занятий, возникшее в силу социального неравенства, ускоряло объективное течение исторического процесса дифференциации научных знаний и выделение слоя людей, занимающихся теоретическими проблемами математики.

Этому же способствовала деятельность учебно-научных объединений натурфилософского направления (научных школ).

2. Геометрия древних греков.

 Самые ранние научные школы:

1. ионийская (VII – VI в. до н. э. в островной части Греции)
2. пифагорейская  ( VI – V в. до н. э. в южной части Аппенинского полуострова)

В IV в. до н. э. в материковой части Греции функционировали школы, среди которых выделялись:

1. Академия Платона ;
2. Лицей Аристотеля, учителя Александра Македонского.

Это были небольшие группы людей, собиравшихся вокруг известных ученых; преподавание велось главным образом устно.

Одним из самых первых шагов в направлении дифференциации содержания математики явилось отделение области практических навыков и сведений Эта область математики получила особое название  логистика, в логистику входили:

1. счет (арифметические действия над натуральными числами с применением счетной доски– абака);
2. действия с дробями;
3. вычисления корней, по преимуществу квадратных;
4. решение разнородных типов задач приемами, известными из учебников арифметики.

Уже в школе Пифагора заметен процесс накопления абстрактных математических фактов, соединения их в теоретические системы.

1. Из арифметики была выделена в отдельную область исследований теория операций с натуральными числами.
2. Начались абстрагирование и систематизация геометрических сведений. Самым ранним сочинением по систематизации геометрии являются «Начала» Гиппократа (V в. до н. э.) с острова Хиос.
3. Открытие иррациональностей. Самой первой иррациональностью было число, открытое древнегреческими математиками. С появлением иррациональности в древнегреческой математике возникли серьезные трудности, как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане. Были фактически поставлены под сомнение вся теория подобия и метрическая часть геометрии. Необходимость научного осмысления сущности открытого явления и его связи со сложившимися представлениями вызвала дальнейшее развитие математических теорий.

После открытия иррациональностей оказалось, что множество геометрических величин (например, отрезков прямой) более полно, чем множество рациональных чисел и целесообразно более общее исчисление строить в геометрической форме. Новое исчисление было создано, мы его знаем под названием геометрической алгебры.

Первичными элементами геометрической алгебры являлись отрезки. Операции с ними:

1. сложение – приставление отрезков друг к другу;
2. вычитание – отбрасывание от отрезка части;
3. умножение а и в – построение прямоугольника со сторонами а и в; если дается 3 отрезка в произведении, то получается параллелепипед, произведение большего числа множителей не рассматривалось;
4. деление – интерпретировалось эквивалентной задачей приложения площадей (при условии, что размерность делимого больше размерности делителя).

Приложить к отрезку с прямоугольник, равновеликий данному (ав)

Решение состоит в прикладыванию друг к другу прямоугольников (ав) и (вс) и в построении нового прямоугольника, диагональю которого является диагональ прямоугольника (вс), продолженная до пересечения с продолжением стороны в. Тогда прямоугольники (ав) и (сх) оказываются равновеликими.

Метод приложения площадей позволял решать задачи, сводящиеся к линейным уравнениям и носил название параболического, что в переводе с греческого означает «приложение». При решении задач с помощью методов геометрической алгебры получали в результате только положительные решения. Это обстоятельство выявляло ограниченность области применения методом геометрической алгебры. Еще больше ограничений возникало из-за того, что её объектами оказывались образы размерности не выше второго, т. к. средствами построения были только циркуль и линейка. С помощью циркуля и линейки можно решать задачи, эквивалентные квадратным уравнениям, имеющим действительный положительный корень. Оказалось, что существует целый класс задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки. Среди них:

1. удвоение куба;
2. трисекция угла;
3. квадратура круга.

Этим была особенно подчеркнута недостаточность геометрической алгебры для того, чтобы играть роль общей математической теории.

Алгебра зарождалась и развивалась постепенно в недрах арифметики в связи с задачей решения уравнений. Еще в глубокой древности египтяне, вавилоняне и индийцы владели первоначальными элементами алгебры; они умели по условиям задачи составлять уравнения и решать некоторые из них.

Алгебра вырастала из арифметики, из вычислительной практики людей. Тенденции роста, которые можно отнести к алгебраическим, появились очень рано. Они вначале представляли собой стремление группировать однотипные задачи формулировать, возможно, более общие правила их решения.  У них была общая особенность: неизвестное, которое требуется отыскать по условию задачи, получало свое особое название, а затем обозначалось специальным символом. На вавилонских клинописных пластинках и египетских папирусах содержится ряд задач, которые можно решить составлением уравнений. Вавилонские математики 4000 лет назад решали их с помощью специальных таблиц и правил, которыми предписывалась последовательность действий, однако они еще не знали буквенных обозначений величин, и общих приемов решения у них не было. В Древнем Египте при решении таких задач для обозначения такого числа был установлен особый значок, называли его «хау», что в переводе на русский значит «куча»или «все вместе». При решении подобных задач в математике пользовались правилом «ложного положения», или «фальшивым правилом».

В течение всей истории алгебры выделение и обозначение неизвестного было непременным признаком алгебраических суждений. Запись действий, содержащий символ неизвестной, представляет собой по существу уравнение. Элементы алгебры со времен древнегреческой математики, т.е. приблизительно с начала нашего летоисчисления, начали свой исторический путь параллельно в двух формах:

1. геометрической;
2. буквенно-символической.

В качестве одного из следствий в алгебре установились и в силу традиций удержались до наших дней геометрически звучащие термины (квадраты, кубы, линейные уравнения и др.) для обозначения чисто алгебраических объектов.

В первые века нашей эры математика наиболее быстро стала развиваться в государствах средневекового Востока. Арабские завоевания привели к распространению языка арабов и их религии – ислама. IX XII века – это расцвет науки в арабоязычных странах: начала складываться научная традиция, основанная на научном наследии, арабский язык становится языком науки.

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль-Хорезми, то есть отец Абдалаха, Мухаммед, сын Муссы, жил и работал в Багдаде. Аль-Хорезми буквально означает «из Хорезма», т.е. родился в городе Хорезме (сейчас входит в состав Узбекистана). В то время в Багдаде правил халиф аль - Мамун, который уважал ученых и покровительствовал наукам. По его велению в Багдаде был построен Дом мудрости с библиотекой и обсерваторией. Здесь работали почти все крупные арабские ученые, в том числе и аль-Хорезми., который написал трактат «Китаб аль джебр аль-мукабала», что означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». В ней решение уравнений рассматривается не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики.

Основополагающим сочинением по алгебре был трактат узбекского математика и астронома IXв. аль-Хорезми. Название трактата в переводе означает: книга об операциях «джебр» (медицинский термин – вправка сломанного члена или перелома; восстановление) и «кабала» (приведение) Первая из операций, из названия которой получилось название всей алгебры, состоит в переносе членов уравнения с одной стороны знака равенства в другую.

«Аль-джебр»        При решении уравненья,

                        Если в части одной,

                        Безразлично в какой,

                        Встретился член отрицательный,

                        Мы к обеим частям,

                        С этим членом сличив,

                        Равный член придадим,

                        Только с знаком другим,-

                        И найдем результат, нам

                        Желательный.

Вторая операция является приведением подобных членов в уравнении.

«Аль-мукабала»           Дальше смотрим в уравненье,

                        Можно сделать приведенье,

                        Если члены есть подобны,

                        Сопоставьте их удобно.

                        Вычитая равный член из них,

                        К одному приводим их.

Решение уравнений у аль-Хорезми рассматривается не в связи с арифметикой, а как отдельная наука. Так как в те времена отрицательные числа считались ненастоящими, то действие «аль-джебр» как бы превращающее число из небытия в бытие, казалось чудом. Эту науку в Европе долго считали «великим искусством», рядом с «малым искусством» - арифметикой. Термин «алгебра», как название искусства восстановления, у арабов перешел и в медицину. Выправление кости сломанной руки или ноги также являлось восстановлением поврежденного органа, и искусство врача, возвращающее человеку работоспособность руки или ноги, также стали называть алгеброй.

Двойной смысл слова «алгебра» объясняет нам странный, на первый взгляд, факт. В известном романе Сервантеса рассказывается, как Дон Кихот сбил с лошади своего противника, как тот лежал на земле, не в силах пошевелить ни ногой, ни рукой, и как Дон Кихоту удалось найти алгебраиста для оказания помощи побежденному противнику. В более поздних изданиях слово «алгебраист» заменено словом «костоправ». (Испанский и португальский языки заимствовали слово «алгебра» из арабского в двух его значениях.)

Алгебраический трактат Мухаммеда аль-Хорезми послужил началом создания алгебры

В трактате содержатся систематические решения уравнений 1 и 2 степени. Автор приводит как арифметические, так и геометрические решения уравнений. Доказательств не было (в те времена доказательства были только в геометрии), способ решения задачи излагался в виде рецептов. Аль-Хорезми один из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным.

В те времена буквенная символика отсутствовала и уравнения записывались словами. Но и в такой «словесной форме» уравнения существенно облегчили решение многих задач. В XII в. «Алгебра» аль-Хорезми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык.  Книга Хорезми пользовалась большой известностью. Сама книга, долгое время считавшаяся потерянной, была найдена в 1857 г. в библиотеке Кембриджского университета (Великобритания). Точнее, был найден её перевод на латинский язык. Первые строки книги были переведены так: «Сказал Алгоритми. Воздадим хвалу Богу, нашему вождю и защитнику».  Термин «алгебра» укоренился в математике, осталось в этой науке и имя автора (аль-Хорезми) в латинизированном виде: «алгоритм». Вначале это слово означало фамилию, затем нумерацию по позиционной системе, а теперь всякую систему вычислений, производимых по строго определенным правилам и заведомо приводимых к решению поставленной задачи.

Алгебраические арабские трактаты IX –XV веков помимо решения уравнений 1 и 2 степеней, включали в себя и кубические уравнения. К ним приводили задачи: рассечение шара плоскостью; трисекция угла; отыскание сторон правильных 7 и 9-угольников.

Численное решение кубических уравнений развивалось, начиная от способа проб Бируни (973-1048) до изящного итерационного быстро сходящегося метода ал-Каши (15 век). Большой вклад в теорию решения уравнений внесла деятельность среднеазиатского математика Омара Хайяма (11-12 века). Дальнейшее формирование алгебры происходило в странах Европы, где сложилась для этого благоприятная обстановка.

3. Решение квадратных уравнений

Методы решения квадратных уравнений были известны еще в древние времена. Они излагались в вавилонских рукописях царя Хаммурапи (XX в. до н. э.), в трудах древнегреческого математика Евклида (III в. до н. э.), в древних китайских и японских трактатах. Многие математики древности решали квадратные уравнения геометрическим способом. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В своем трактате Мухаммед аль-Хорезми в 925 г. разъясняет приемы решения квадратных уравнений. После трудов немецкого математика М. Штифеля (1487-1567), нидерландца А. Жирара (1595-1632), Р. Декарта и И. Ньютона, способ решения квадратных уравнений принял современный вид. А в 1591 г. Ф. Виет вывел формулы, выражающие зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал свою знаменитую теорему.

Франсуа Виет (1540-1603) – французский адвокат, ставший советником короля Франции Генриха III, затем Генриха IV. Голландский математик Андриан Ван-Роумен в конце 16 столетия решил бросить вызов всем математикам мира. Он разослал во все европейские страны уравнение 45–й степени: . Французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время ещё не родился, о других математиках не было слышно. Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено ущемлено самолюбие Генриха IV ( это дедушка Людовика XIV). «И все же у меня есть математик!»- воскликнул король. «Позовите Виета!» В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник короля Франсуа Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров  и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Король ликовал, все поздравляли придворного советника. На следующий день Виет нашел ещё 22 корня уравнения. Этим он ограничился, так как остальные 22 корня отрицательные, а Виет не признавал ни отрицательных, ни мнимых корней. Алгебра была для Виета увлечением всей его жизни, исследованиям он отдавал всё свое свободное время, мог несколько суток подряд не вставать из-за рабочего стола.

Франсуа Виет по существу создал новую алгебру. Он ввел в неё буквенную символику. Основные его идеи изложены в труде «Введение в аналитическое искусство», он писал: «Искусство, которое я излагаю, ново. Все математики знали, что под их алгеброй и аль - мукабалой были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти: задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются с помощью нашего искусства».

До Ф. Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение в современном виде не могли записать. Для этого тоже требовалось длинное и сложное словесное описание. На овладение приемами решений уравнений требовались годы. Общих правил, подобных современным, а тем более формул решения уравнений не было. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. Рассматривались выражения только с конкретными числовыми коэффициентами.

Виет ввел в алгебру буквенную символику. После открытия Виета стало возможным записывать правила в виде формул. Правда у Виета показатели степеней ещё обозначались словами, и это создавало определенные трудности в решении некоторых задач. Во времена Виета был ещё ограничен запас чисел. Так, ещё не нашли своего признания отрицательные числа. Франсуа Виет очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с первой по четвертую степень. Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики.

Большой заслугой Виета было открытие зависимости между корнями и коэффициентами уравнений приведенного вида произвольной натуральной степени. Нам хорошо известна знаменитая теорема Виета для приведенного квадратного уравнения, эта теорема позволяет устно проверять правильность решения квадратных уравнений, а в простейших случаях устно находить и корни уравнений.

        По праву достойна в стихах быть воспета

        О свойствах корней теорема Виета.

        Что лучше, скажи, постоянства такого:

        Умножишь ты корни и дробь уж готова:

        В числителе с, в знаменателе а.

        А сумма корней тоже дроби равна.

        Хоть с минусом дробь эта, что за беда-

        В числителе в, в знаменателе а.

Само название «квадратные уравнения» было введено сравнительно недавно: в 1710 г. его предложил учитель Ломоносова, немецкий математик Христиан Вольф. В настоящее время известно много способов решения квадратных уравнений. Интересна статья И Плужникова в газете «Математика» № 40 за 2000г. «Десять способов решения квадратных уравнений».

1. Разложение левой части уравнения на множители.
2. Метод выделения полного квадрата.
3. Решение по формуле с помощью дискриминанта.

        ( Термин «дискриминант» происходит от лат. discriminantis – разделяющий,         различающий.)

4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
5. Способ «переброски».
6. С использованием свойств коэффициентов.
7. Графическое решение.
8. Решение с помощью циркуля и линейки.
9. Решение с помощью номограммы из таблиц Брадиса В.М.
10. Геометрический способ аль-Хорезми.

      Рассмотрим ещё один способ решения квадратных уравнений – способ замены переменной.

Уравнение  с помощью замены z = сводится к двучленному относительно z  .

Например: .

Замена z = , z = х – 1, т.е.  х = z – 1;

3 (z – 1)2 + 6 (z – 1) +1 = 0,

3 z2 – 6 z + 3 + 6 z – 6 + 1 = 0,

3 z2 – 2 = 0,

, тогда .

Ответ.   .

      «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.»

                                                                                                                                    У.У. Сойер

 Кубические уравнения.

В первой половине XVI в. благодаря усилиям итальянских математиков в алгебре происходят крупные сдвиги, сопровождаемые весьма драматическими событиями. В средние века проводились не только рыцарские турниры. Случались и научные поединки, на которых ученые состязались между собой в том, кто быстрее и больше решит задач, предложенных противником. Победитель получал деньги и обретал славу, ему предлагали занять почетную, хорошо оплачиваемую должность. Выделяются своими научными достижениями итальянские математики.

Профессор Болонского университета Сципион Даль Ферро (1465–1526) находит общее решение уравнения третьей степени но держит его в секрете, ибо оно представляет большую ценность на соревнованиях по решению задач, которые тогда широко практиковались в Италии. Перед смертью он открывает секрет своему ученику Фиоре.

 В 1535 Фиоре вызывает на соревнование талантливейшего математика Никколо Тарталью (1499–1557), который, зная, что Фиоре обладает способом решения кубического уравнения, прилагает максимум усилий и сам за несколько дней до поединка находит решение! Поединок состоялся 12 февраля 1535 г. Каждому из состязующихся надо было решить по 30 задач. За два часа Тарталья справился со всеми задачами, предложенными ему Фиоре, а тот не решил ни одной задачи противника. Победа была полной!

 Тарталья побеждает на соревновании, но также держит свое открытие в секрете. Наконец появляется Джероламо Кардано (1501–1576), который был одновременно математиком и механиком, врачом и алхимиком, хиромантом и личным астрологом римского папы.С юности Джероламо обуревала жажда славы «Цель к которой я стремился, писал он в автобиографии, - заключалась в увековечивании моего имени…» Он тщетно пытается найти алгоритм решения кубического уравнения и в 1539 г. обращается к Тарталье с просьбой поведать ему тайну. Взяв с Кардано «священную клятву» молчания, Тарталья частично и в не слишком вразумительной стихотворной форме приоткрывает для него завесу. Кардано не удовлетворяется и прилагает усилия, чтобы ознакомиться с рукописью покойного Даль Ферро. Это ему удается, и в 1545 г. он публикует книгу, трактат по алгебре под названием "Великое искусство", в которой сообщает алгоритм, сводящий решение кубического уравнения к радикалам («формула Кардано») – секрет Даль Ферро и Тартальи. В этой же книге содержится еще одно открытие, сделанное учеником Кардано Луиджи Феррари (1522–1565), а именно решение в радикалах уравнения четвертой степени. Тарталья обвиняет Кардано в нарушении клятвы, завязывается острая и продолжительная полемика. При таких обстоятельствах заявляет о своих первых существенных достижениях математика Нового времени.  Само название «кубическое уравнение» было введено только в 1619 г. французским ученым Рене Декартом.

     «Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду» писал Л.Н.Толстой. И, действительно, решение кубических уравнений часто сводится к решению линейных и квадратных уравнений. Во многих задачах «торчат уши квадратного трехчлена» дает подсказку Черкасов О.Ю., обращаясь к абитуриентам.

     Определение. Уравнение вида ах3 + вх2 + сх + d = 0,  называется кубическим уравнением или алгебраическим уравнением 3-ей степени.

    Основная теорема алгебры. Всякий многочлен п –й степени в множестве комплексных чисел имеет ровно п корней.

    Согласно этой теореме всякое кубическое уравнение имеет три корня в множестве комплексных чисел.

    Рассмотрим различные способы решения кубических уравнений:

1. Способ группировки

Рассмотрим решение уравнения   в комплексных числах

,

,

,

,

,

  или

;             Д = 1 – 36 = - 35,

                            Д < 0,

                            .

Ответ. , .

2. Способ понижения степени уравнения.

    Способ основан на теореме Безу и делении многочленов.

   Теорема Безу.Для того, чтобы многочлен делился без остатка на двучлен х –а , необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем многочлена.

(Этьенн Безу – французский математик XVIIIв., основные труды которого связаны с высшей алгеброй)

   Для подбора одного из корней кубического уравнения могут быть полезны следующие утверждения:

   Теорема 1.  Если уравнение имеет целые коэффициенты, причем свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

   Теорема 2 .Пусть  уравнение с целыми коэффициентами. Если , где р Z , qN  и дробь  несократима, является корнем уравнения, то р есть делитель свободного члена , а   q  -  делитель коэффициента при старшем члене .

Например:

,

Делители - 6: ±1; ±2; ±3; ±6

,  корень уравнения. После того, как найден один из корней , нужно разделить многочлены для понижения степени уравнения и сведения кубического уравнения к квадратному.

    Рассмотрим 3 способа деления многочленов:

а) деление многочленов «уголком»

б)  Метод Руффини – Горнера (схема Горнера)

Первооткрывателем метода был итальянский математик Паоло Руффини (1765-1822)

в) деление многочленов  в позиционной форме

,

             ,

              Д = 9 + 12 = 21,

              .

Ответ. , .

3. Способ подбора корней.

       Так как кубическое уравнение имеет не более трех действительных корней, то в случае их рациональности возможен подбор корней способом проверки возможных вариантов.

Например: .

Делители -6 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 6 (  числители возможных корней).

Делители 6 : 1, 2, 3, 6 (знаменатели возможных корней).

Рациональные корни данного уравнения следует искать среди чисел: ±1, ±2, ±3, ±6, ±, , , , .

По схеме Горнера получаем:

По нулевым остаткам в делении подобраны три корня , других корней быть не может.

Ответ. .

4. Симметрические уравнения.

Уравнение вида называется симметрическим кубическим уравнением. Такое уравнение обязательно имеет корень  и сводится к квадратному.

Пример:

 корень уравнения

,

,

Д = 36 – 4 = 32,

.

Ответ. , .

5 Кососимметрические уравнения.

Уравнение вида  называется кососимметрическим кубическим уравнением. Такое уравнение обязательно имеет корень  и сводится к квадратному.

Например: .

Используя корень , сводим уравнение к квадратному , которое не имеет действительных корней.

Ответ. .

6. Возвратные уравнения.

Уравнение вида  называется возвратным кубическим уравнением. Возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень .

Частными случаями возвратных уравнений являются:

1. симметрические уравнения ( с обязательным корнем )
2. кососимметрические уравнения ( с обязательным корнем ).

Например: .

Уравнение можно записать в виде возвратного , здесь ,

тогда один из корней , после понижения степени по схеме Горнера получаем квадратное уравнение , корни которого .

Ответ. ,.

 7. Метод неопределенных коэффициентов.

   Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей – многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

1. два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;
2. любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

Пример.

Будем искать многочлены и  такие, что справедливо тождественное равенство , выполняя умножение и группируя слагаемые, получаем .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получаем систему условий: после решения системы получаем:

, т.е. после разложения на множители  и после решения квадратного уравнения .

Ответ. .

8. Формулы Виета.

Если кубическое уравнение  имеет корни , , , то

Пример:

,

,

1 – 2 – 5 + 6 = 0 ,  корень уравнения

          .

Ответ. , .

9. Использование монотонности.

Решим уравнение .

     Рассмотрим функцию у = х3 + 3 х - 4 в виде суммы двух функций у = х3 и у = 3 х – 4.

Обе функции определены на множестве R  и являются возрастающими. Следовательно, их сумма – возрастающая функция. А так как всякая монотонная функция каждое своё значение может принимать лишь при одном значении аргумента, то и значение, равное нулю, она может принимать лишь при одном значении х.

     Значит, такое уравнение если имеет  действительный корень, то только один. Испытывая делители свободного члена, находим, что х = 1.

Ответ.  х = 1.

10. Графический способ.

      Для решения уравнения запишем его в виде . Построим в одной системе координат графики функций  и . Графики пересекаются в точке, абсцисса которой приближенно равна 1,5

     С помощью графического метода можно приближенно находить корни уравнения или решать вопрос о количестве рациональных корней уравнения.

Следствие основной теоремы алгебры для многочленов с действительными коэффициентами.

     Если комплексное (но не действительное) число с = +i является корнем многочлена  n –ой

степени с действительными коэффициентами, то и комплексно сопряженное с ним число              = -i тоже будет корнем данного многочлена.

     Из свойства сопряженности комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами следует, что всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.

9. Формула Кардано ( полное название – формула Кардано – Тартальи – дель Ферро).

Приведенное кубическое уравнение  с помощью замены  дает неполное кубическое уравнение вида .

Обозначим    ,   тогда   , после деления многочленов рассмотреть квадратное уравнение и вычислить х.

Пример:

Замена ,  ,

,

,

,

,

,

т. е. .

По схеме Горнера разделим   на

,

,

Д = 4 – 52 = - 48.

Квадратное уравнение имеет 2 комплексных корня

 = .

, тогда

при   ;

при    ;

при     .

Исходное уравнение имеет два комплексных корня и один действительный.

Ответ. ,  ,   .

      Неполное кубическое уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Пусть   , , , тогда по формулам Кардано,

 ,        комплексно сопряженные числа.

1. если Δ > 0, то у1  R, у2 и у3 сопряженные комплексные числа I;
2. если Δ = 0, p ≠0 , q ≠0  , то уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают;  при p = q = 0     получаем  3 совпадающих корня у1,2,3 = 0.
3. если Δ < 0, то  три различных действительных корня.

Рассмотрим использование формул Кардано подробнее на примерах:

1) ,

p = 15, q = 124,    ,

= ,  

Δ> 0 , тогда есть один действительный корень х1 = А + В, х1=1 – 5 = - 4, и два комплексно сопряженных      .

Ответ. х1 = -5,  х2,3 = 2± 3i.

2) ,

p = - 12, q = 16 ,    ,

Δ=    0, тогда уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают

,  

х1 = -2 + (-2) = - 4  , .

Ответ. х1 = - 4, х2,3 = 2.

3)

p = -21,  q = 20 ,        

Δ<    0, уравнение имеет три различных действительных корня.

    С помощью тригонометрической формы комплексного числа получаем три действительных корня данного уравнения    х = 1, х = 4, х = - 5.

Ответ. х = 1, х = 4, х = - 5.

      Этот случай в математике называют «неприводимым», приходится извлекать кубический корень из комплексных чисел и комплексными оказываются сами кубические корни А и В. И все же именно в данном случае имеет три различных действительных корня.   Этот факт математикам XVI в. казался парадоксальным. Как же так? Все коэффициенты уравнения действительные, все корни тоже, а промежуточные вычисления приводят к «мнимым», «несуществующим» числам! Были предприняты отчаянные попытки освободить формулу от нежеланных и непонятных «софистических» чисел, свести формулу к другой или привести, по крайней мере случай Δ<    0 , к вычислению с действительными числами. Однако это никому не удалось – вот почему случай  Δ<    0 и был назван «неприводимым».

   «Неприводимый» случай заинтриговал и привлек внимание многих математиков к комплексным числам. Кардано был один из первых ученых, формально оперировавших комплексными числами. Многое из того, что осталось неясным для Кардано, разъяснил в своей «Алгебре» (1572 г.) другой итальянский математик Рафаэль Бомбели. Он, в частности, указал на то, что в «неприводимом» случае формула Кардано приводит к действительным корням потому, что А и В представляют собой не произвольные. а сопряженные комплексные числа. Бомбелли впервые изложил правила действий над комплексными числами почти в современной форме. И только к концу XIX века немецким ученым Карлом Гауссом и французом Огюстеном Луи Коши была полностью завершена разработка теории комплексных чисел.

Дополнительные задачи:

1)  х3+12х2 + 49х + 78 = 0    ( х = - 6, х = -3 ± 2 ι)

2)  х3 + 3х2 -2х – 2 = 0    (х = 1, х = -2 ± )

3)  х3 – 5х2 +7х – 3 = 0    (х1,2 = 1,   х3 = 3)

4)  3х3 + 4х2 + 4х +3 = 0   ( х = - 1,  )

5)  6х3 – х2 – 20х + 12 = 0 (х =  , х = , х = - 2 )

6)  х3 - 4х2 - 9х – 4 = 0   ( х = -1, х = )

7)  х3 -6х2 + 9х – 2 = 0  ( х = 2, х = 2 ± )

8)  2х3 – 9х2 + 10х – 3 = 0  ( х = , х = 1, х = 3)

9)  х3 – 5х2 – 5х + 1 = 0      ( х = - 1, х =)

10)  2х3 – 3х2 – 3х + 2 = 0,   ( х = -1, х = , х = 2 )

11)  2х3 + 3х2 -1 = 0   (х1,2 = -1, х3 = )

12)  х3 – 6х +5 = 0       ( х = 1, х =   )        

13)  х3 – 3х – 2 = 0     (х1,2 = - 1, х3 = 2 )

14)  х3 – 7х – 6 = 0      ( х  = - 2, х = - 1, х = 3 )

15)  х3 + х – 10 = 0      ( х = 2,  х = - 1 ± 2 ι)

Литература

1. Авдонин Н.И., Голубев В.К., 30 уроков репетитора по математике. Н. Новгород, «Век», 2005
2. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М.. и др., Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений, М.: Просвещение, 2005
3. Большой энциклопедический справочник школьника по математике – М.: «Слово», 2005
4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике – М.: Наука, 1986
5. Глейзер Г.И. История математики в школе, IX – X классы.- М.: Просвещение, 1983
6. Земляков А.Н. Алгебра +: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс.- М.: БИНОМ, 2006
7. Литвинова С.А., Куликова Л.В. За страницами учебника математики. – Волгоград: Панорама, 2006
8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. гл. к шк. учеб. 9 кл.- М.: Просвещение,1997
9. Маслова Т. Листая страницы истории. – Математика № 8, 2006
10. Олехник С.Н., Потапов М.К. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10 – 11 классы. – М.: Дрофа, 2001
11. Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений.- Математика № 40, 2000
12. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Дополнительные материалы к уроку математики 5 – 11 классы.- М.: Дрофа, 2001
13. Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. М.: Наука, 1983
14. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы.- М.: Аст – пресс школа, 2004
15. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс  математики. 10 класс. – М.: Просвещение, 1989
16. Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область «Математика»- М.: НФПК, 2004
17. Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Астрель, 2007