«Решение уравнений методом оценки (подготовка к ЕГЭ)»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

План-конспект урока по алгебре и началам анализа

11 а, классы   (гибкий состав класса, учащиеся интересующиеся математикой)

Тема: «Решение  уравнений  методом оценки   (подготовка к ЕГЭ)»

Учитель:Понамарева Е.В.

Цели урока:  1) научить узнавать уравнения, которые можно решать методом оценки;

                        2) научить  заменять сложные конструкции более простыми моделями;

                        3)  научить решать уравнения методом оценки.

Ход урока

 Учитель:  Завершая изучение школьного курса алгебры и математического анализа, мы повторили и обобщили методы решения различных уравнений. Сегодня остановимся на одном из них – методе оценок. Вам придется с ним столкнуться на экзамене в задании  С2.

   Если уравнение f(x) = g(x)  можно решить методом оценки, т.е. если можно оценить значения функций  f(x)  и g(x), то какими свойствами должны обладать данные функции?

Учащиеся: Они должны быть ограниченными.

Учитель:  Совершенно верно. Приведите примеры ограниченных функций.

Учащиеся:

Учитель:  Вы правы, но не учли того, что если дана сложная функция, которая при сведении к элементарной, является неограниченной, а ее аргумент задан ограниченной функцией, то полученная функция будет ограниченной.

Например:    Элементарная   функция    y = logaх  является неограниченной, а сложная функция  

y = loga(ax2 + bx + c) – ограничена, т.к. ее аргумент , элементарная квадратичная функция

 t = ax2 + bx + c, ограничен. Таким образом ,можно сказать, что если неограниченная функция зависит от ограниченной, то она тоже становится ограниченной.

   Итак, метод оценки используется в уравнениях вида  f(x) = g(x) , где f(x) и   g(x) – ограниченные функции, и на ОДЗ данного уравнения наибольшее значение  (А) одной из них равно наименьшему значению (А)  другой.   Тогда исходное уравнение равносильно системе уравнений:  

   Выберите из предложенных уравнений те, которые можно попробовать решить методом оценки.

Учащиеся: 1, 4, 5 и 6 уравнения.

Учитель:  Согласна с тем, что 2-е уравнение нельзя решить методом оценки, т.к. …?

Учащиеся: функция    у = х + 1  неограниченна.

Учитель:  Но не согласна с тем, что 5-е уравнение можно решить методом оценки, т.к. …?

Учащиеся: функция    у = log1/3x   неограниченна.

Учитель:  А вот уравнения  (3) и (7) можно попробовать решить этим способом, т.к. их можно свести к виду   f(x) = g(x) , где f(x) и   g(x) – ограниченные функции. В самом деле:

3)        

7)  cos x + sin  = 1 ;         cos x = - sin   + 1.  

Согласны?   Кстати, неравенство  (8), тоже можно решить данным методом.

Решим уравнение (4)  ( решает учитель):

4)  cos(2x) = x2 – 2x + 2 ,  модель:     f(x) = g(x) , где f(x)= cos(2x)   и   g(x) = x2 – 2x + 2.

f(x)= cos(2x)  - определена и непрерывна на R,    Е( f ) = ;

  g(x) = x2 – 2x + 2- определена и непрерывна  на  R,  ;

наибольшее значение f(x )= 1 и наименьшее значение  g(x) = 1, значит исходное уравнение равносильно системе уравнений:   корнем второго уравнения является значение   х=1, подставим данное число в первое уравнение:    cos(2π∙1) = 1, cos(2π) = 1 – верно, значит х = 1 является решением системы, а следовательно и исходного уравнения.

   Ответ:  1.

Учитель:  Кто попробует решить уравнения (3)  и  (6)?

Примерный вариант решения:

3)        составим упрощенную модель уравнения:     . Очевидно, что   и    при всех допустимых значениях переменной х, т.е. наибольшее значение левой части равно нулю  и  равно наименьшему значению правой части, значит, уравнение равносильно системе уравнений:

  х = 1   является решением  второго уравнения . Проверкой убеждаемся, что х =1 –корень и второго уравнения.

   Ответ:  1

 (6)  

Модель:     рассмотрим функции     и  f = 3 + log14/2 (g).

E(y) = [0;3],  E(f)[3; +) , т.к.   E(log14/2 ( g ) )[0; +)  (в данном случае можно не находить правую границу множества значений функции f(g)  ).  Наибольшее значение левой части равно трем и равно наименьшему значению правой части, следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:  

Решим второе уравнение: log1/2(x2 –x + 1) = 0,  x2 – x + 1 = 1,  x2 – x = 0, x( x – 1) = 0,

Подставим найденные значения в первое уравнение:

Х = 0,  не является корнем исходного уравнения;

Х = 1,   - верно, значит, х = 1 – корень исходного уравнения.

   Ответ: 1

   Итак, уравнения следует решать методом оценки, если:

1. В уравнении присутствуют функции разной природы (тригонометрические и показательные, показательные и логарифмические и т.п.);
2. Эти функции ограничены;
3. На ОДЗ наибольшее значение одной из них равно наименьшему значению другой.

Примерная схема решения уравнений методом оценки:

1. Свести уравнение к виду     f(x) = g(x);
2. Найти множества значений данных функций на ОДЗ уравнения;
3. Если наибольшее значение одной из них равно А и равно наименьшему значению другой, то составить систему уравнений  
4. Решить наиболее простое из них и подставить полученные корни во второе уравнение, те значения переменной  х  , которые являются корнями двух уравнений одновременно и будут решениями исходного уравнения.

   Запишите домашнее задание:

Задачник  А.Г.Мордковича, алгебра и начала анализа, 10-11,  № 1744(б) и неравенство (8).

   Урок окончен. Всем спасибо.