Методические разработки
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Слон:

(6;-2); (6;-4); (4;-8); (2;-6); (3;-4); (3;-3); (2;-3); (2;-8); (-1;-8); (-1;-2); (-6;-2); (-5;-6); (-6;-6); (-6;-7); (-9;-7); (-8;-3); (-9;0); (-12;-2); (-10;0); (-9;3); (-6;5); (-2;6); (2;8); (10;8); (12;7); (12;3); (9;1); (8;3); (8;-1); (7;-2); (4;-2); (4;-1); (6;-1); (7;0); (5;2); (4;2); (3;3); (2;1); (-1;3); (-2;6). Глаза:(4;5); (8;5).

(-6;3); (-3;4); (-5;7); (-3;6); (1;7); (3;5); (-1;2); (1;2); (3;0); (6;1); (3;-3); (1;-4); (-4;-4); (-2;-3); (-5;-2); (-3;3). Глаз: (-1;5).

(-6;3); (-3;4); (-5;7); (-3;6); (1;7); (3;5); (-1;2); (1;2); (3;0); (6;1); (3;-3); (1;-4); (-4;-4); (-2;-3); (-5;-2); (-3;3). Глаз: (-1;5).

Утка

(-6;3); (-3;4); (-5;7); (-3;6); (1;7); (3;5); (-1;2); (1;2); (3;0); (6;1); (3;-3); (1;-4); (-4;-4); (-2;-3); (-5;-2); (-5;2); (-3;3). Глаз: (-1;5).

Мышь:

(-4;4); (-2;5); (-1;6); (-1;7); (1;9); (2;9); (3;8); (3;6); (2;5); (2;3); (3;-1); (3;-3); (2;-4); (4;-4); (4;-6); (3;-6); (3;-5); (1;-5); (1;-4); (-1;-4); (-1;-6); (-3;-6); (-3;-5); (-2;-5); (-2;-3); (-1;-3); (-1;0); (-2;-1); (-2;1); (-1;1); (-1;3); (-2;3); (-4;4).Глаз: (-1;5). Хвост: (3;-2); (5;-2); (6;1); (7;0).

Осьминог

(-6;11); (-6;9); (-5;7); (-7;5); (-7;1); (-6;0); (-10;-3); (-10;-4); (-7;-3); (-4;0); (-5;1); (-5;4); (-3;6); (-3;4); (-2;3); (-3;2); (-3;-2); (-2;-4); (-1;-1); (-1;2); (0;3); (-1;4); (-1;6); (1;4); (1;1); (2;0); (0;-2); (0;-4); (3;-2); (4;0); (3;2); (3;4); (2;6); (5;4); (5;1); (8;-1); (10;-3); (10;-1); (7;2); (7;5); (5;6); (6;7); (6;11); (2;14); (-2;14); (-6;11). Левый глаз:(-3;9); (-3;11); (-1;11); (-1;9); (-3;9). Правый глаз: (1;9); (1;11); (3;11); (3;9); (1;9).

Собака

(8;0); (6;-2); (7;-5); (6;-6); (5;-6); (6;-5); (5;-2); (3;-1); (-2;-1); (-2;2); (-3;-3); (-3;-5); (-4;-6); (-5;-6); (-4;-5); (-4;-2); (-5;0); (-5;2); (-7;4); (-9;5); (-10;6); (-7;6); (-6;7); (-5;7); (-4;8); (-4;7); (-3;4); (-1;3); (2;2); (5;3); (7;2); (8;0); (8;-2); (7;-3); (5;-4); (5;-5); (4;-6); (3;-6); (4;-5); (5;-2); (-2;-2); (-1;-5); (-2;-6); (-3;-6); (-2;-5); (-3;-3). Глаз: (-6;6). Хвост:(8;0);(9;1);(9;2);(10;3);(11;2);(10;2);(10;1);(8;-1).

Робот

Шлем:(-1;11); (1;11); (1;9); (0;8); (-1;11);

Рога:(-2;12); (-1;9); (-1;11); (-2;12);

(2;12);;(1;9); (1;11); (2;12);

руки: (-1;9); (-4;8); (-5;5); (-4;2); (-3;5); (-2;7);

(1;9); (4;8); (5;5); (4;2); (3;5); (2;7);

кулаки: (-5;2); (-5;1); (-4;1); (-4;2);

(5;2); (5;1); (4;1); (4;2);

туловище: (-3;5); (-2;2); (2;2); (3;5);

пояс: (-2;2); (-2;1); (2;1); (2;2);

ноги: (-2;1); (-3;-2); (-2;-6); (-1;-6); (-1;-2); (0;0);

(2;1); (3;-2); (2;-6); (1;-6); (1;-2); (0;0);

ступни: (-2;-6); (-1;-6); (-1;-8); (-3;-10); (-3;-8);

(2;-6); (1;-6); (1;-8); (3;-10); (3;-8);

забрало: (0;11); (-1;10); (0;9); (1;10); (0;11);

нагрудник: (-3;5); (-1;5); (0;7); (1;5); (3;5);

меч: (-3;2); (-3;1); (-6;1); (-6;0); (-7;0); (-7;1); (-13;1,5); (-7;2); (-7;3); (-6;3); (-6;2); (-3;2)

Паровоз

(-13;9); (-13;8); (-12;8); (-12;-4); (-11;-4); (-10;-3); (8;-3); (9;-4); (10;-4); (11;-3); (11;3); (10;4); (6;4); (6;5); (5;6); (4;4); (3;4); (3;5); (2;6); (1;5); (1;4); (-2;4); (-2;8); (-1;8); (-1;9); окно: (-11;8); (-11;4); (-3;4); (-3;8); колеса: (-8.5;-5); (-3.5;-5); (1.5:-5); (6.5;-5) -координаты центра; радиус 1.5.

Заяц

(11;2); (11;3); (9;5); (8;6); (9;9); (9;12); (8;14); (7;12); (7;9); (6;6); (6;9); (6;12); (5;14); (4;12); (4;9); (5;6); (3;5); (-1;5); (-5;4); (-9;2); (-11;-2); (-12;-4); (-14;-3); (-16;-4); (-16;-6); (-14;-7); (-12;-6); (-14;-9); (-13;-11); (-8;-11); (-8;-10); (-11;-10); (-12;-9); (-11;-7); (-11;-9); (-10;-10); (-8;-10); (-6;-10); (-6;-9); (-9;-9); (-10;-8); (-9;-6); (-7;-5); (-3;-5); (0;-6); (4;-5); (4;-7); (3;-9); (5;-10); (6;-10); (6;-9); (5;-9); (5;-8); (6;-7); (6;-5); (8;-6); (8;-9); (10;-10); (11;-10); (11;-9); (10;-9); (10;-8); (10;-5); (9;-4); (8;-2); (8;-1); (10;-1); (10;0); (8;1).; глаз: (6;4).

Лисенок

(9;-11); (8;-11); (11;-6); (9;-3); (5;-4); (0;2); (1;5); (0;7); (0;8); (-1;7); (-2;7); (-3;8); (-2;5); (-3;2); (-4;3); (-6;2); (-4;2); (-3;1); (-5;2); (-6;1); (-5;1); (-2;-1); (0;-3); (2;-7); (1;-8); (2;-8); (3;-6); (2;-4); (3;-9); (4;-9); (3;-5); (8;-6); (6;-9); глаз: (-1;6).

Птица

(-6;5); (-7;4); (-8;4); (-5;2); (-4;0); (-2;-1); (3;-1); (7;-2); (6,5;-1); (7;-1); (6,5;0); (7;0,5); (6,5;1); (7;1,5); (7;2,5); (3;2); (0;3,5); (-3;3); (-5;5); глаз: (-5,5;4,5); рот: (-8;4); (-6;3,5); крыло: (-1;0); (-1;1); (0;2); (5;-4); ноги: (-1;-1); (-2;-5); (-3;-6); (-2;-5); (-2;-6); (-2;-5); (-1;-6) и (1;-1); (2;-5); (3;-6); (2;-5); (2;-6); (2;-5); (1;-6).

Зайчик

(4;3); (4;2); (3;1); (2;1); (2;-1); (4;-2); (4;-3); (3;-4); (5;-4); (5;-5); (2;-5); (1;-4); (0;-2); (-1;-4); (-2;-5); (-5;-5); (-5;-4); (-3;-4); (-4;-3); (-4;-2); (-3;-1); (-2;-1); (-2;1); (-3;1); (-4;2); (-4;3); (-3;3); (-2;2); (-1;3); (-2;4); (-2;7); (-2;9); (-3;11); (-4;12); (-3;12); (-2;11); (-1;9); (-1;7); (1;9); (2;11); (3;12); (4;12); (3;11); (2;9); (2;7); (2;4); (1;3); (2;2); (3;3); глаза: (-1;5); (1;5); нос: (0;4).

Осьминог

(-6;1); (-7;2); (-6;7); (-4;9); (-1;10); (3;8); (4;5); (4;2); (3;0); (2;-1); (3;-2); (4;-4); (4;-7); (3;-9); (3;-11); (3;-13); (2;-11); (2;-9); (2;-7); (3;-5); (2;-3); (2;-5); (1;-7); (1;-9); (0;-10); (-1;-11); (-2;-12); (-1;-10); (0;-9); (-1;-8); (-1;-7); (0;-6); (1;-5); (1;-4); (0;-3); (-1;-4); (-1;-6); (-2;-8); (-3;-9); (-3;-10); (-3;-12); (-4;-11); (-4;-9); (-3;-7); (-7;-6); (-2;-5); (-2;-4); (-3;-5); (-4;-7); (-5;-8); (-5;-10); (-6;-11); (-6;-9); (-5;-7); (-4;-5); (-3;-4); (-4;-4); (-5;-6); (-6;-8); (-7;-10); (-8;-11); (-9;-11); (-8;-9); (-7;-7); (-6;-5); (-5;-3); (-5;-1); глаза: (-3;6); (1;6); рот: (-4;3); (-2;1); (1;1); (2;3); (0;2); (-2;2).

Котик

(-6;1); (-3;3); (1;4); (7;2); (8;1); (6;-1); (4;-2); (1;-3); (-3;-2); (-6;-1); (-9;-1); (-9;2); (-6;1);

глаз: (5;1); плавник: (-1;-1); (-4;-1); (-1;1).

Мышонок

(0;8); (3;6,5); (3;5,5); (2,5;5,2); (0,8;4); (1,2;3); (0;0); (1;0); (2,3;-1,9); (1;-2); (0;-1); (0,5;-1); (-1;-4); (0;-5); (-1;-7); (0;-7); (1;-8); (-1;-8); (-2;-9); (0;-9); (2;-9,3); (1.2;-10); (-2,8;-10); (-3,2;-9); (-5;-10); (-5,5;-9); (-8;-12); (-7.5; -16); (-6,8;-20); (-6,8;-20); (-9;-15); (-9,3;-11); (-6,2;-8); (-9;-1); (-7;1); (-3;3); (-2;5); (-4;5,3); (-5;6); (-5;7); (-3;8); (-1;5);глаз:(0,5;6,5).

Котик

(-6;-5); (-1;5); (1;5); (3;4); (4;2); (5;1); (3;0); (5;-1); (3;-2); (-4;-2); (-6;-1); (-7;1); (-8;2); (-9;1); (-10;2); (-9;3); (-10;4); (-9;5); (-8;4); (-6;5); плавник: (-6;5); (-5;7); (-2;7); (-1;5);    

(1;-2); (-1;-3); (-3;-3); (-2;-2);     (-4;-2); (-6;-2); (-7;-1); (-7;1); глаз: (2;2).

Утка

(3;4,5); (4;5); (5;11); (7;12,5); (9;12); (10;11); (12,5;10); (12;9,4); (10;9); (9;9); (6,3;0); (5;-3); (2;-6); (0;-6); (2;-5,3); (-6;-3); (-9;0); (-10;4); (-7;4); (-4;3); (0;4); ноги: (-1,2;-5,5); (-1;-9,3); (-0,5;-9,5); (-0,5;-11); (1;-6); (5;-14,2); (0;-14); (6;-13); (6,5;-11,8); (5,8;-11); (6;-10); (5,2;-10); (1;-9); (1;-10); (5;-10,2); (-0,5;6); крыло: (1;1); (-4;2); (-6,5;2); (-5,5;0,5); (-6;-0,5); (-4;-2,5); (-1;3); (2;-2); глаз: (8;10,5).

Лошадь

(13;6); (13;5); (15;2); (15;1); (13;2); (11;-3); (11;-5); (14;-6); (15;-8); (13;-10); (12;-9); (14;-8); (12;-7); (8;-8); (7;-7); (6;-11); (7;-13); (6;-13); (5;-11); (5;-7); (0;-7); (-2;-8); (-4;-8); (-6;-10); (-5;-11); (-5;-12); (-6;-13); (-7;-13); (-6;-11); (-7;-11); (-7;-9); (-9;-11); (-10;-12); (-9;-15); (-11;-15); (-11;-13); (-10;-10); (-8;-8); (-8;-7); (-7;-6); (-7;-3); (-5;-1); (-6;0); (-16;-7); (-15;-5); (-11;-2); (-6;1); (-5;1); (-4;1); (-3;-2); (4;-2); (9;4); (11;5); (11;6); (12;5); (13;6); глаз: (12,5;3,8).

Цветок

(2;1); (1;2); (0;2); (-1;1); (-1;0); (0;-1); (1;-1); (2;0); (2;1); (3;1); (4;2); (4;3); (3;4); (2;4); (1;3); (0;3); (-1;4); (-1;5); (0;6); (1;6); (2;5); (2;4); (0;2); (-1;1); (-2;1); (-3;2); (-3;3); (-2;4); (-1;4); стебель: (-1;1); (-2;1);(-2;-9); (-1;9); листья 1: (-2;-4); (-3;-3); (-6;-3); (-4;-5); (-2;-5)  2: (-1;-6); (0;-5); (3;-5); (1;-7); (-1;-7).

Петух

(3;0); (0;0); (-3;4); (-3;6); (-4;4); (-4;6); (-5;4); (-6;5); (-6;3); (-8;2); (-6;1); (-5;0); (-5;-3); (-4;-5); (-2;-6); (-6;0); (3;-6); (5;-5); (7;-3); (7;0); (10;2); (12;1); (13;-1); хвост:(4;0); (8;4);(10;5);(13;3) хвост: (3;0); (5;4); (8;5); (11;3); крыло: (2;-2); (6;-2); (4;-4); (2;-5); (-1;-4); (-2;-2); лапы: (-1;-6); (-1;-8); (-1;-9); (-3;-9); (-1;-9); (-3;-10); (-1;-9); (-1;-10); (1;-6); (2;-7); (1;-9); (0;-9); (1;-9); (0;-10); (1;-9); (1;-10); глаз: (-5;3); клюв: (-8;2); (-6;2).

Морской котик

(12;6); (10;7); (7;6); (4;4); (2;3); (-2;2); (-4;1); (-6;0); (-8;-2); (-10;-5); (-12;-7); (-15;-6); (-14;-7); (-11;-8); (-9;-10); (-7;-10); (-9;-8); (-8;-6); (-6;-5); (-5;-5); (-3;-4); (0;-3); (2;-2); (4;-1); (5;0); (6;1); (9;4); лапа: (4;-2); (3;-3); (1;-5); (-1;-6); (-2;-7); (-2;-5); глаз: (10;6).

Заяц

(8;-1);  (7;-1); (6;-2); (6;-3); (7;-4); (5;-4); (4;-5); (8;-5); (11;-5); (11;-4); (10;-3); (11;-2); (11;0); (9;2); (8;2); (7;2); (5;3); (4;4); (2;4); (3;5); (3;8); (2;9); (3;10); (3;13); (2;14); (1;13); (1;10); (-2;12); (-4;12); (-5;11); (-4;10); (-2;10); (10;8); (-1;8); (-2;7); (-3;7);        (-4;6); (-4;5); (-3;4); (-1;4); (0;3); (-1;2); (-1;0); (-1;-2); (-2;3); (-2;-4); (-3;-5); (1;-5);    (1;-3); (2;-2); (2;-1); (3;-2); (4;-3); (6;-3); глаз:(-1;7); хвост: (11;-1); (12;0); (13;-1);     (12;-1); (13;-2); (12;-2); (13;-3); (12;-3); (11;-2); нос: (-3;7); (-3;6); (-4;6).

Заяц

(4;10); (3;9); (3;8); (3;7); (3;6); (4;5); (3;2); (1;3); (0;4); (-1;4); (-2;4); (-3;4); (-4;4);         (-8;0); (-10;3); (-9;5); (-11;-4); (-11;-6); (-9;-5); (-9;-7); (-8;-7); (-7;-8); (-6;-8); (-5;-8);     (-4;-9); (-3;-9); (-2;-9); (-1;-9); (-2;-8); (-3;-7); (-4;-7); (-4;-6); (-3;-6); (-2;-7); (-1;-7);    (0;-7); (0;-6); (1;-7); (3;-9); (4;-9); (5;-9); (5;-8); (6;-8); (6;-7); (5;-6); (4;-6); (3;-6); (2;-5); (5;-3); (6;-2); (6;0); (7;0); (8;0); (8;1); (9;1); (9;2); (8;4); (7;5); (8;6); (8;10); (6;7); (6;6); (4;10); глаз: (6;3); усы: (3;5); (2;5); (2;4) соединить с (5;3);   (8;5); (9;6); (10;5) соединить с (7;3);    (11;2); (10;1); (11;1) соединить с (8;2);   (1;0); (3;0); (4;0) соединить с (6;2).

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-10

-5

5

10

15

Методическая разработка

«Методы решения показательных и

логарифмических уравнений »

для организации уроков повторения и подготовки к ЕГЭ в 11 классе

Глава 1.

При подготовке и сдаче ЕГЭ по математике возникает необходимость систематизации знаний учащихся. Показательные и логарифмические уравнения входят единый и государственный экзамен, причем с решением логарифмических уравнений учащиеся справляются хуже, чем с решением показательных. Цель этой работы повторить и систематизировать знания , умения и навыки учащихся при решении показательных и логарифмических уравнений.

Показательные уравнения

Простейшее показательное уравнение- уравнение  вида  , т.е. уравнение, в которых переменная содержится в показателе степени некоторого числа или алгебраического выражения.

 Основными методами решения показательных уравнений являются методы группировки, разложения на множители и замены переменной.

 Простейшее показательное уравнение при b 1 не имеет корней  и имеет единственный корень x =  при b>0, если b является степенью числа а, т.е. b= ,то уравнение (1) имеет единственный корень х=с .

Уравнение вида , a>0,a  1 равносильно уравнению f(х)=g(x)

Уравнение вида , a>0,a  1,b>0, равносильно каждому из уравнений   , f(х)=g(x) .

Уравнения, непосредственно сводимые к простейшим

Пример 1. Решить уравнение..

Решение.

Ответ:2.  

Пример 2.Решить уравнение.

Решение.;. Ответ:3;9.

Пример 3.Решить уравнение  Решение.; Ответ:2;5.

Вынесение общего множителя за скобки

Этот метод применяют при решении уравнений вида

 и сводимых к ним. После вынесения общего множителя за скобки приходим к уравнению , откуда

Пример 4.Решить уравнение..

Решение.

.

 Ответ:2.

Группировка и разложение на множители

Основная идея решения задач этого типа отражена в названии: после группировки и вынесения общих множителей обычно удается привести к виду , а последнее уравнение- к одному или двум простейшим показательным уравнениям.

Пример 5. Решить уравнение:

Решение.

Перенесем выражение из правой части уравнения в левую и сгруппируем слагаемые: . Вынесем за скобку общий множитель: ; , откуда х-3=0 или -1=0, значит х=3 или х=0. Ответ: 0;3.

Пример 6. Решить уравнение: .

Решение.    

Ответ:0;1.

Замена переменной

Большинство показательных уравнений, в которых используется замена переменной, сводится после этой замены к квадратному уравнению. Найдя  корни   квадратного  уравнения и выполнив обратную замену, получаем одно или два простейших показательных уравнения. Уравнение    сводится к квадратному  уравнению заменой >0.

Для решения однородного уравнения вида  нужно обе его части разделить на  ( по свойству показательной функции 0 ни при каких х ). После деления получим уравнение , которое заменой >0, сводится к квадратному уравнению относительно y.

Пример 7.  Решить уравнение: ;

 Решение: Пусть , тогда уравнение примет вид  .

Ответ: 1,5.

Пример 8. Решить уравнение:      (1).

 Решение: Пусть , тогда уравнение примет вид           (2); разделив обе части уравнения на , получим уравнение       (3), равносильное уравнению(2). Обозначим =у, получим уравнение 3у²-5у+2=0, откуда , уравнение (3) равносильно совокупности уравнений =1, = , откуда . Если t=0, то - =0. Это уравнение не имеет корней.

Если  t=1, то - =1, откуда х=-1.

 Ответ: -1.

Пример 9. .

 Решение: ; =t, t>0,  D=1+4*2*3=25,  

; ;не удовлетворяет условию t>0.    =1; 5х²-4ч-12=0, ; .

Ответ: -0,6;2.

Пример 10.  Найти произведение корней уравнения  .

Пусть  =t , получим   t²-6t+5=0, , исходное уравнение равносильно совокупности уравнений  =1 или =5,

Произведение корней равно 1**3=1.

Ответ: 1.

Пример 11. Решить уравнение: .

Решение. Воспользуемся равенством и заменим =t.

Получим уравнение или , откуда . Данное уравнение равносильно совокупности уравнений (1), (2) Из (1) уравнения , из (2)- учитывая .получим .

Ответ:-3;3.

Пример 12. Решить уравнение:.

Решение.при любом х Разделим обе части уравнения на , получим

, равносильное данному уравнению. Пусть ;

имеет два корня, выполнив обратную замену,  получим или.

Ответ:.

Применение свойств функций

 Пример13. Решить уравнение: .

Решение. Число х=2 является корнем уравнения. Докажем, что уравнение не имеет других корней. Функция f(x)= является возрастающей. Поэтому f(x)< f(2)=41 при х<2 и f(x)>f(2) при х>2, т.е. функция f(x) не принимает значение, равное 41, при х 2. Это означает. Что х=2 –единственный корень уравнения.

Ответ: 2.

   Пример 14. Решить уравнение: .

 Решение.  Заметим,  что (*) Равенство является верным при            всех х>0, так как логарифмы по основанию 3 его левой и правой частей совпадают.  Используя равенство (*) получим.

Ответ:9.

Пример 15. Решить уравнение: .

 Решение. Число х=1 является корнем уравнения. Докажем, что уравнение не имеет других корней.  Разделим обе части уравнения на :Получим  Функция f(x)= является монотонно убывающей( как сумма двух монотонно убывающих функций), поэтому каждое свое значение она принимает только один раз. Так как f(1)=1, то  х=1 –единственный корень  уравнения , а значит и данного уравнения.

Ответ:1.

Пример 16. Решить уравнение:  

Решение. Так как , значит , а |x |0 при всех значениях переменной. Получим, что левая часть уравнения не меньше 2. Знак равенства возможен. Только, если каждое слагаемое левой части принимает свое наименьшее значение. откуда 

Ответ:0.

     Пример 17. Решить уравнение:  

    Решение. .

     Ответ: 2.

Глава 2

Логарифмические уравнения

Простейшее логарифмическое уравнение- уравнение вида где a>0,  a1,  имеет единственный корень .

 Методы решения - равносильные преобразования, переход к уравнению-следствию, разложение  на множители, замена переменной,  применение свойств функций. Решение большинства логарифмических уравнений после преобразований сводится к решению логарифмических уравнения вида ;   ;  .

Пример 1. Укажите наибольший корень уравнения

Решение. По определению логарифма получаем 12-наибольший корень.

Ответ:12.

Пример 2. Решить уравнение:

 Решение. .

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение:  

Решение.  , так как каждое слагаемое суммы, заключенной в скобки, положительно, то сумма не равна 0. Поэтому уравнение равносильно уравнению, имеющему единственный корень х=1.

Ответ:1.

Алгебраические преобразования

Применение свойств логарифма и основного логарифмического тождества.

a>0, ,  x, y >0

1. , 2. , 3. , 4., 5. , 6. .

7.

Пример 4. Решить уравнение: .

Решение.

 Ответ: .

Пример 5:  Укажите наименьший целый корень уравнения

Решение.

 К уравнению можно применить основное логарифмическое тождество при выполнении необходимых условий  наименьшим целым корнем будет 4.

Ответ:4.

Пример 6: Укажите целое решение уравнения .

Решение. Заменим 5

получим уравнение  

    , целое х=7. Ответ:7.

Пример 7. Решить уравнение: .

Решение.

.

Ответ:100.

Пример 8. Решить уравнение: .

Решение.  .

Ответ:2.

Пример 9. Решить уравнение:

Решение. По свойствам логарифмов запишем уравнение в виде , откуда

Ответ:-4;4.

Пример 10. Решить уравнение: .

Решение.   .

 Ответ: 9.

Пример 11. Решить уравнение:  Решение.      .

Ответ:8.

Пример 12. Укажите наименьший корень уравнения .

Решение. Область определения данного уравнения:2х-1>0; x>.

                             или    

                                                   или

Все найденные корни входят в область определения. Наименьший корень   . Ответ: .

Замена переменной

Пример 13. Решить уравнение:

Решение. Пусть , тогда получим уравнение ;    ;  или

Ответ:0,1; .

 Пример 14. Решить уравнение:  . 

Решение. ;   ;   ;  х=27.

Ответ: .

Отбор корней в логарифмических уравнениях

Пример 15. Решить уравнение:  .

Решение.   

Если х>4, то |4-x|=4-x|, (x-4)(2x-1)=9 2x²-9x-5=0; D=121; x=-0,5 или x=5    x=-0,5 не удовлетворяет условию х>4

Если х<4, то |4-x|=x-4,  (4-x)(2x-1)=92x²-9x+13=0; D<0; корней нет.

Ответ:5.

Пример 16. Решить уравнение: 

Решение. ;

                                                         х-9=0 или х+2 =0 или

                                                         х=9           х=-2    

х=-2 не удовлетворяет условию

Ответ: 9.

Пример 17. Решить уравнение: .

Решение. Обе части уравнения имеют смысл, если  

; т.е. при

;

Данное уравнение равносильно ;

При   получаем уравнение ; разложим на множители, обозначим = a, =b, а b+ b²-4-2а=0,  (b-2)( b+2)+а(b-2)=0;

     (b-2)( b+а+2)=0; 

=0  или =0

                                         .

    Из чисел  только удовлетворяет условию .

Ответ: .

Пример 18 Решить уравнение.

Решение. Используя тождество , заменим данное уравнение равносильным уравнением, потенцируя получим;.верно;

верно;верно;неверно.

Ответ:0;.

Применение свойств функций

Пример19. Решить уравнение..

Решение..На этом промежутке функция f(x)= монотонно возрастает, а функция g(x)= монотонно убывает. Поэтому уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня.  Так как f(5)=g(5),х=5 единственный корень уравнения. Ответ:5.

Пример 20. Решить уравнение..

Решение. Так как  получим  ,

Но , поэтому уравнение имеет решение только в том случае, если

,

Проверка: верно.

единственный корень.

Ответ:3.

Тренировочная работа 1                   Тренировочная работа 2

Решить уравнение:

1.   .                                           1.  .

2.  .                                  2.  .

3.                                  3.

4.  .                                  4..

5.  .                           5.  .

6.  .                                   6.  .

7.  .                            7.  .

8.  .                             8.  .

9.  .                    9.  .

10...                  10. .

11.  .                            11..

12.  .                12. .

13.  .                                       13.

14.  .                               14.

15.  .                        15. .

Список литературы

1. Учебник Алгебра и начала анализа 10 класс, авторы С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А. В. Шевкин;
2.  Учебник Алгебра и начала анализа 11 класс, авторы С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин;
3. Дидактические материалы по алгебре и началам математического анализа 10 класс; М.К. Потапов, А.В. Шевкин;
4. Готовимся к ЕГЭ математика изд. Дрофа 2004 год авторы Л.О. Денищева, Е.М.Бойченко…;
5. ЕГЭ 2011 Математика задача С1 Уравнения и системы уравнений авторы С.А. Шестаков, П.И.Захаров;
6. Уравнения лекции для старшеклассников и абитуриентов М Шабунин Библиотечка «Первого сентября» математика №1 2005;
7. Книга для учителя К «Сборнику задач по алгебре и началам анализа для проведения и подготовки итоговой аттестации за курс средней школы» под редакцией С.А. Шестакова.