план-конспект урока
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

План-конспект урока по теме «Иррациональные уравнения»

Учитель математики    Юртайкина Елена Анатольевна

Цели:

Ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решений.

Развивать умение выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия, развивать самостоятельность, мышление, познавательный интерес.

Содействовать формированию мировоззренческих понятий.

Оформление:

на доске плакат: типы иррациональных уравнений.

План урока: 

Организационный момент

Логика.

Выполнение индивидуальных заданий с использованием компьютера.

Изучение нового материала

Закрепление нового материала

Задание на дом, подведение итогов урока

Вопрос: Подумайте, какой шаг в решении уравнения приводит к появлению лишних корней.

ХОД УРОКА

Организация и начало урока

Постановка целей и задач урока, принятие их учащимися

Чтобы ответить на поставленный вопрос учащимся предлагается софизм.

Софизм – доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V веков до нашей эры, достигших большого искусства в логике.

Где допущена ошибка в следующей цепочке равенств?

16 – 36 = 25 – 45,
16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25,
(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2,
4 – 4,5 = 5 – 4,5,
4 = 5,
2 . 2 = 5.

(Если квадраты двух выражений равны, то их основания либо равны между собой, либо противоположны.) 

Выполнение  индивидуальных заданий . 10 учащихся выполняют тест. После выполнения работы на экране будут показаны результаты этих работ.(учащиеся входят на страницу, где размещен тест , используя свой  логин и пароль)

Остальные учащиеся работают устно.

Изучение нового материала.

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

Устно: какие из следующих уравнений являются иррациональными

x + = 2,

 = 11 + x,

 = 3,

y2 – = 4.

Устно: решить уравнения.

- 6 = 2 ,   , - 4 = 7 ,   , 

Алгоритм решения уравнений

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.

При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значений неизвестного и используя равносильные переходы.

При решении иррациональных уравнений необходимо помнить следующие свойства, формулы и теоремы:

1) свойство корней и степеней;

2) формулы сокращенного умножения:

3) теоремы:

Теорема 1. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень приводит к уравнению, равносильному данному

Теорема 2. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней.

При использовании этой теоремы проверка обязательна! Если корни иррационального уравнения иррациональные числа, то проверка неудобна, и поэтому лучше решать уравнения, используя условия равносильности.

Теорема 3.

а)

б)

Не решая уравнений, объяснить, почему каждое из них не имеет решений:

а)

б)

в)

г)

Устно объяснить методы решения этих уравнений.

I тип.  Уравнения, содержащие одинаковые радикалы.

Метод решения: возведение обеих частей в одинаковую степень (в квадрат).

II тип. В левой части уравнения – произведение корней, а в правой – выражение с переменной или положительное число.

Метод решения: возведение обеих частей уравнения в квадрат при условии, что правая часть положительна.

III тип. Обе части уравнения содержат одинаковые множители.

Метод решения: общий множитель вынести за скобки и используя условие равенства нулю произведения, решить уравнения, конечно, учитывая ОДЗ.

IV тип.

Метод решения: введение новой переменной.

V тип.

Метод решения: выделение полного квадрата в подкоренном выражении.

VI тип.

Метод решения: возведение в квадрат, учитывая ОДЗ.

VII тип.

Метод решения: возведение в квадрат, учитывая, что правая часть неотрицательна.

VIII тип.

Метод решения: введение новой переменной или применение формулы сокращенного умножения.

IX тип.

Метод решения: иррациональное уравнение можно упростить, умножив обе части уравнения на некоторое не обращающееся в нуль сопряженное выражение.

X тип.        

Метод решения: делим данное уравнение на , т.к. x = 0 не является корнем данного уравнения, затем введем новую переменную.

XI тип.        

Метод решения: подкоренное выражение разлагаем на множители, причем один из множителей у них общий.

XII тип.

Метод решения: метод оценки.

Закрепление изученного материала.

№ 152 (1,2); выполняем самостоятельно

№ 157 (1,2); I в. а)

№ 163 (3)

VI. Задание на дом. 

№ 163 (2,4 );

№ 159 (2,4);

Подведение итогов урока.