Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида ,   где ОДЗ неравенства задается системой  

Известен стандартный метод решения такого неравенства, который  предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.

В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют условию, знак неравенства изменяется: .

Во втором случае, когда основание удовлетворяет условию , знак неравенства сохраняется: .

При решении мы  рассматриваем два случая и потом объединяем ответы. Но при рассмотрении второго случая приходится повторять выкладки из первого случая….

Вот уже многие годы при подготовке к ЕГЭ (да и на самом ЕГЭ) моих учеников выручает следующая теорема.

 Теорема. Логарифмическое неравенство

 равносильно следующей системе неравенств:

Доказательство: первые четыре неравенства системы задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба  случая предыдущего метода. Терема доказана.

Рассмотрим пример.

Решить неравенство  .

Первый способ.

Стандартный метод решения, который  предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.

  или

Решаем первую систему:, откуда получаем   2

Решаем вторую систему:  ,   откуда получаем  

Объединяя полученные ответы, имеем окончательное решение данного неравенства.

Ответ:  2

Второй способ.

Применение  теоремы.

Решив которую, получим  2

Ответ:  2