математический кружок 7 класс
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Конспекты занятий математического кружка 7-го класса.

2012-2013 учебный год.

Тема 1. Задачи на смеси и сплавы.

   I. Вступление.

   Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определённое «правило».

   Подтверждением тому служит фрагмент из книги И.Бёшенштейна (1514г.), в котором сначала даётся «определение» тройного правила, формулируется правило, потом приводится задача и рецепт решения по правилу.

   «Тройным правилом называется regula magistralis, или regula aurea (то есть магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые расчёты  всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить всё.

   …Заметь ещё числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящее сзади число помножить на среднее и разделить на переднее. (Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведён пример на его применение.)

   Я купил 100фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29фунтов?

                 фунты                         гульдены                             фунты

                    100                                  7                                         29

   Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится и будет стоимостью 29 фунтов».

   Это была обычная практика. По-другому в те времена учить не умели. Не случайно в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого (1703г.), вобравшей в себя переводы лучших иностранных авторов того времени, мы находим аналогично построенный учебный текст. Обучение «по правилам было обычным и для России. Желая описать методику обучения решению задач времён Л.Ф.Магницкого, сошлёмся на С.И.Шохор-Троцкого: «Насколько преизобиловали правилами книги по арифметике в старину - можно судить по весьма почтенному для своего времени труду Леонтия Магницкого…В книге первой…кроме множества правил о целых и дробных числах, изложены правила, называемые автором «подобными» (ныне называемые тройными)…автор различает: правило тройное в целых, правило тройное в долях, правило тройное сократительное, правило «возвратительное» (обратно пропорциональное), правило пятерное, правило «семеричное»…а затем, в виде применения этих правил, предлагает ряд «статей»: статью тройную торговую («в целых» и «в долях»), тройную торговую о куплях и продажах, тройную торговую в товарных овощах и «с вывескою» (то есть о вычислении тары товара), о «прикупах» и о «накладках», «вопросную» о тройном правиле, «вопросную же со временны», «деловую в тройном правиле», торговую «меновую в тройном правиле».

   Приведём фрагмент из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.

   «Пятерное правило есть, егда случаются таковые сметы творити, яже не могут иным чином или правилом уразуметися, токмо через сие пятерное или пятиперечневое, глаголется же и тройносугубое…понеже пять перечней (чисел) в правиле поставляется, а шестый изобретается…: некто име сто рублей в купечестве един год, и преобрете ими токмо 7 рублей, и паки отдал в купечество 1000 рублёв на 5 годов, колико ими прибрящет, и ты твори сице, поставив почину тройного правила:

                               год                                                                   год

         100                  1                   7                   1000                       5

   И умножай два перечня иже от левыя руки между собой, так же прочыя три иже к правой руке, такожде между собой прядком умножай, и произведение их раздели тем произведением еже от дву первых произведеся: яко же зде».

            (7∙1000∙5):(100∙1)=350(руб.)

ТСО: Презентация об истории школы в России Е.Шимановой г. Москва «От цифирной школы к цифровой».

   II. Задачи на смеси и сплавы.

   Данный тип задач относится к традиционным арифметическим и алгебраическим задачам, при решении которых учащиеся испытывают затруднения. Когда-то они имели исключительно практическое значение, но со временем потеряли свою практическую актуальность и используются в процессе обучения как средство развития обучаемых, а на конкурсных экзаменах - средство проверки мыслительных способностей и элементарной обученности.

                                                           №1.

   Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300г, содержит 20% олова. Второй, масса которого 200г, содержит 40% олова. Сколько % олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

                                                           Решение.

   1. Найдём общую массу олова:

    300∙0,2+200∙0,4=60+80=140(г)

   2. Найдём массу нового сплава:

    300+200=500(г)  

  3. Процентное содержание олова в новом сплаве:

                                  Ответ: 28%.

                                                           №2.

     Смешали 300г 50%-го и 100г 30%-го раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.

                                                           Решение.

    1. 300∙0,5+100∙0,3=150+30=180(г)- чистой кислоты.

    2. 300=100=400(г)- масса раствора.

    3.  - содержание кислоты в новом растворе.

                                  Ответ: 45%.

                                                           №3.

                                 (Из «Арифметики» А.П.Киселёва).

   30 вёдер вина в 48 градусов смешано с 24 вёдрами вина в 36 градусов. Сколько градусов в смеси?

                                                           Решение.

    1. 30∙0,48+24∙0,36=14,4+8,64=23,04(ведра)- чистого спирта.

    2. 30+24=54(ведра)- смеси вина.

    3.  - спирта в смеси.

                                  Ответ: 43 градуса.  

                                                           №4.

   Имеется чай двух сортов - по 80руб. и 120руб. за 1кг. Смешали 300г первого и 200г второго сорта. Определите цену 100г полученной смеси.

                                                           Решение.

    1. 80∙0,3+120∙0,2=48(руб.)- стоит вся смесь.

    2. 300+200=500(г)- масса всей смеси

    3. 48:0,5=96(руб.)- цена 100г полученной смеси.

                                  Ответ: 96 руб.  

                                                           №5.

                                 (Из «Арифметики» А.П.Киселёва).

   Смешано три сорта муки: 15фунтов по 8коп., 20фунтов по 7коп. и 25фунтов по 4коп. за фунт. Что стоит фунт смеси?

                                                           Решение.

    1. 15∙8+20∙7+25∙4=120+140+100=360(коп.)- стоимость смеси.

    2. 15+20+25=60(фунтов)- масса всей муки.

    3. 360:60=6(коп.)- стоит фунт смеси муки.

                                  Ответ: 6коп.

   По сути задачи 1-5 – это одна задача:

                   p1m1+p2m2=p(m1+m2)

                   p=

   Воспользуемся указанной формулой для решения следующей задачи:

                                                           №6.

   В 2л водного раствора, содержащего 60% кислоты, добавили 4л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе.

                                                           Решение.

                P==(%),

но данную задачу можно решить проще:

т.к. объём раствора увеличился в объёме в 3 раза, а содержание кислоты не изменилось, то % -ое содержание кислоты уменьшилось в 3 раза. Получаем: 60:3=20(%)

                                  Ответ: 20%.  

                                                        №7.

                                                     (МГУЭСИ)

   В 1л 10%-го водного раствора поваренной соли добавили 4л чистой воды. Определите % -ое содержание соли в полученном растворе.

                                                           Решение.

    1. 1∙0,1=0,1(л)- чистой соли в новом растворе.

    2. 1+4=5(л)- объём нового раствора.

    3. 100%=2%

                    Или

     10%:5=2%

                                  Ответ: 2% соли в новом растворе.

                                                           №8.

   Сколько литров воды нужно добавить в 2л водного раствора, содержащего 60% кислоты, чтобы получить 20% раствор кислоты?

                                                           Решение.

 Эта задача является обратной к задаче №6.

   Объём чистой кислоты в растворе не меняется, процентное содержание кислоты в растворе можно уменьшить в 60:20=3 раза, увеличив объём раствора в 3 раза: 2∙3=6(л).

Т.о. надо добавить 6л-2л=4л воды.

                         Или алгебраически:

   Пусть х л воды нужно добавить, тогда

                    0,6∙2=0,2∙(2+х)

                           х=4

                                  Ответ: 4л.              

                                                           №9.

                                                    (МГУЭСИ)

   Сколько литров воды нужно выпарить из 20л раствора, содержащего 80% воды, чтобы получить раствор, содержащий 75% воды?

                                                           Решение.

    1. 100%-80%=20% примеси было.

    2. 100%-75%=25% примеси стало.

    3. 25:20=1,25- во столько раз увеличилось содержание примеси.

    4. 20:1,25=16(л)- объём нового раствора, уменьшенного в 1,25 раза.

    5. 20-16=4(л) воды нужно выпарить.

                    Или алгебраически:

   Пусть х л воды нужно выпарить, тогда

                     20∙0,8=0,75∙(20-х)

                             х=4(л)

                                  Ответ: 4л.

                                                           №10.

                                                    (ВШЭ, 1995г)

   Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй- 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавили 150кг первого сплава и 250кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько кг олова содержится в новом сплаве?

                                                           Решение.

   Т.К. %-ное содержание цинка в I и II сплавах одинаково, то после сплавления любых масс этих сплавов %-ное содержание цинка останется прежним. Следовательно, исходные сплавы содержали по 30% цинка.

    1. 100-(26+30)=44(%) олова во II сплаве.

    2. 150∙0,4+250∙0,44=60+110=170(кг) олова в новом сплаве.

    3. 150+250=400(кг)- масса нового сплава.

    4.  - процентное содержание олова в полученном сплаве.

                                  Ответ: 42,5%.

                                                           №11.

   В двух сплавах меди и цинка отношение меди к цинку 4:3 и 2:3 соответственно. После совместной переплавки 140кг первого сплава, 150кг второго и некоторой массы чистой меди получили сплав, в котором меди на 20кг больше, чем цинка. Найдите массу нового сплава.

                                                           Решение.

    1. (кг) цинка содержит полученный сплав.

    2. 150+420=170(кг) меди содержит полученный сплав.

    3. 150+170=320(кг)- масса нового сплава.

                                  Ответ: 320кг.

   III. Подведение итогов.

   Чтобы найти процентное содержание вещества в смеси, надо:

1. вычислить количество чистого вещества;

2. вычислить количество всей смеси;

3. найти отношение чистого вещества ко всей смеси и умножить на 100%.

   Если к водному раствору вещества добавить чистой воды, то процентное содержание вещества уменьшится во столько раз, во сколько раз увеличится масса (или объём) раствора.

   На следующем занятии мы рассмотрим очень любопытный старинный способ решения задач на смеси и сплавы.

Тема 2. Старинный способ решения задач на смеси и сплавы.

   I. Вступление.

   На сегодняшнем занятии рассмотрим старинный способ решения некоторых задач на смеси и сплавы, описанный в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого. Этот способ решения, возможно, применять на уроках и олимпиадах, но не следует применять на экзаменах, т.к. он не знаком большинству учителей. А это значит, вас могут просто не понять и не зачесть задачу.

   II. Объяснение старинного способа решения некоторых задач на смеси и сплавы.

                                                           №1.

   У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценою 10 гривен за ведро, второе же– по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежит из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою в 7 гривен?

                                                           Решение.

                                               (Современный способ).

   Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять х вёдер первого сорта (х‹1) и (1-х) вёдер второго сорта. Первая часть вина стоит 10х гривен, а вторая – 6(1-х) гривен. Составим уравнение:

                                      10х+6(1-х)=7

                                      10х+6-6х=7

                                                  4х=1

                                                    х=

                                 1-х= 1-

                                  Ответ: нужно взять  ведра вина по 10 гривен и  ведра вина по 6 гривен за ведро.

   В старые времена такие задачи решали иначе. Сокращая текст, который у Л.Ф.Магницкого занимает больше страницы, старинный способ решения задачи на смеси можно описать так.

ТСО: Презентация Постниковой В.И. «Старинный способ решения задач на смеси и сплавы».

    Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:

                                       6

                                               ›         7

                                      10

   Вычислим прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:

6                                      3

                                                ›           7        ‹

                                       10                                    1

   Таким образом, 3 части из четырёх приходятся на более дешёвое вино и 1 часть – на более дорогое.

   Вовсе не случайно в старые времена отношения масс смешиваемых вещей находили таким образом. Но вряд ли все ученики, получавшие правильные ответы описанным способом, понимали тогда смысл выполняемых действий.

   Рассмотри решение задачи 1 в общем виде. Обозначим количества смешиваемых вин через m1и m2, а стоимости ведра вина первого сорта, второго сорта и смеси р1, р2 и р соответственно. Так как стоимость смеси равна сумме стоимостей смешиваемых частей, то по-прежнему будет выполняться равенство из прошлого занятия:

                           m1p1+m2p2=(m1+m2)р.

   Тогда отношение взятых частей двух вин равно

                            .

   Запишем старинную схему, пользуясь введёнными обозначениями, учитывая, что р1‹р‹р2:

                                                    р1                                        р2-р

                                               ›          р       ‹

                                   р2                                        р-р1

   Теперь понятно, почему эта схема давала правильные результаты.

   III. Решение задач.

                                                           №2.

                               (Из «Всеобщей арифметики» И.Ньютона)

   Даны плотности двух веществ и их смеси. В каком отношении (по объёму) смешены эти вещества.

                                                           Решение.

   Пусть ρ1‹ρ‹ρ2, тогда

                                   ρ1                                           ρ2-ρ

                                               ›            ρ         ‹

                                   ρ2                                           ρ-ρ1                                     

                                  Ответ:V1:V2=(ρ2-ρ):(ρ-ρ1).                    

                                                           №3.

   Имеется серебро: одно 11-й пробы, а другое – 14-й пробы. Сколько какого серебра нужно взять, чтобы получить 1фунт серебра 12-й пробы?

                                                           Решение.

2

                                                 ›           12         ‹

1

                                  Ответ: серебра 11-й пробы 2 части, серебра 14-й пробы 1 часть.

                                                           №4.

   Имеется два раствора 68%-й и 78%-й серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора, чтобы получить 100г 70%-го раствора?

                                                           Решение.

8

              ›           70          ‹

2

1.     - отношение масс растворов.

2. 4+1=5 (частей) в растворе.

3. 100:5∙1=20 (г) – 78%-го раствора.

4. 100:5∙4=80 (г) – 68%-го раствора.

                                  Ответ: 20г – 78%-го раствора и 80г – 68%-го раствора.

                                                           * №5.

   Вычислите массу и массовую долю (в %) серебра в сплаве с медью, зная, что, сплавив его с 3кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а, сплавив его с 2кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав с 84% массовой долей серебра?

                                                           Решение.

   Пусть х кг – масса сплава, р % - массовая доля серебра в исходном сплаве.

1.         р                                           10                       х                            

                       ›           90        ‹

         100                                         90-р                     3

                                   (90-р)х=30

2.        р.                                             6                        х

                        ›           84        ‹

          90                                           84-р                     2

                                 (84-р)х=12

3.   Вычтем почленно:

           _ 90х-рх=30

              84х-рх=12                                            

                    6х =18

                      х =3 (кг) – масса сплава.

4.   Подставим   х=3  в уравнение :    х(90-р)=30

                                                            3(90-р)=30

                                                                90-р =10

                                                                      р =80 (%) – массовая доля серебра в сплаве.

                                  Ответ: 3кг и80%.

                                                           * №6.

   Имеет некто чай трёх сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт, китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить смесь стоимостью 6 гривен за фунт?

                                                           Решение.            

1.         5                                          2

            ›          6        ‹

8                                          1                     6+2=8  

2.          5                                          6

                         ›         6        ‹

           12                                         1

   Вывод:        8:1:1.

   Но существует и другое решение задачи 6 : нужно взять не 2, а 1 часть из первой схемы и не 6, а 3 части из второй схемы.

   Получается, что для задачи из 3-х компонентов много решений, если нет других специальных ограничений.

                                  Ответ: 8 частей цейлонского чая, 2 часть индийского чая и 1 часть китайского чая.

                                                           * №7.

   Имеется серебро разных проб: одно 12-й, другое – 10-й, третье – 6-й. Сколько какого серебра нужно взять, чтобы получить 1 фунт серебра 9-й пробы?

                                                           Решение.

1.          6                                           1

                         ›           9         ‹

             10                                         3                       1+3=4

2.          6                                            3

                          ›          9         ‹

             12                                          3

   Вывод:        4:3:3.

   Ответ: 4 части серебра 6-й пробы, по 3 части серебра 10-йпробы и 12-й пробы.

                                          Рассмотрим и другие задачи.

                                                           №8.

                                                  (МГИТЭТ, 1993)

   Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

                                                           Решение.

   Пусть х кг – масса первого сплава, у кг – масса второго сплава.

        135х+162у=170х+153у

                     35х=9у     ‌    ‌|:у

                             |:35

                                  Ответ: на 9 частей первого сплава нужно взять 35 частей второго сплава.

                                                           №9.

                                                      (МТУСИ)

   Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2:3, в другом – в отношении 3:7. Сколько килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11?

                                                           Решение.

   Пусть х кг – первого сплава, тогда (8-х)кг – второго сплава:

1.      - масса золота.

2.    - масса серебра.

Т.к. отношение золота к серебру в новом сплаве 5:11, то

3.      

1,1х+26,4=28-0.5х

         1,6х=1,6

              х=1 (кг) первого сплава нужно взять.

4. 8-1=7 (кг) второго сплава нужно взять.

                                  Ответ: 1кг первого сплава, 7кг второго сплава.

                                                           №10.

    У торговца имеется два бочонка вина: ёмкостью 40л ценою 7руб. за литр и ёмкостью 10л ценою 5руб. за литр. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась?

                                                           Решение.

   Пусть из каждого бочонка перелили в другой по х л вина.

1.    руб. – цена 1л вина в первом бочонке.

2. руб. – цена 2л вина во втором бочонке.

3.

      2800-20х=80х+2000

            -100х=-800

                    х=8 (л) вина надо перелить.

                                  Ответ: 8л.

                                                           №11.

   У торговца имеются два бочонка вина: ёмкостью 40л и ёмкостью 10л. Цены вина за литр различны, но неизвестны. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась                                                    

                                                           Решение.

   Пусть из каждого бочонка перелили в другой х л вина.

    руб. – цена 1л вина в первом бочонке.

   руб. – цена 1л вина во втором бочонке.

400р1-10хр1+10хр2=40хр1+400р2-40хр2

-50хр1+50хр2=-400хр1+400р2

х(50р2-50р1)=8(50р2-50р1)

          х=

          х=8 (л) вина надо перелить.

                                  Ответ: 8л.

   Вывод: В задаче 10 указание цен 7руб. и 5руб.- было лишним условием.

   III. Подведение итогов.          

1. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси очень облегчает решение задач. Этим способом можно решать задачи не только на два вещества, но и на любое число веществ.

2. В некоторых задачах присутствуют лишние условия, которые не влияют на решение задачи.

Тема 3. Леонард Эйлер и задачи, связанные с его именем.

   I. Вступление. Биография Л.Эйлера.

   Сегодняшнее занятие посвящено великому учёному-математику и физику Леонарду Эйлеру и его научному наследию.

ТСО: Презентация Постниковой В.И.  «Леонард Эйлер».

   Леонард Эйлер родился 4 апреля 1707г. в селении Рихен близ Базеля, Швейцария. Начальное образование получил дома под руководством отца, затем продолжил образование в гимназии Базеля. Одновременно он посещает лекции по математике в университете. Известный математик Иоганн Бернулли обратил внимание на способного ученика. Как писал сам Эйлер, И.Бернулли «…высказал чрезвычайно полезный совет, состоявший в том, чтобы я сам принялся за некоторые труднейшие математические книги и прочитал их с особым вниманием; в случае же какого-либо недоразумения или трудности…он…разъяснял мне встреченные затруднения».

   В 1723г. Эйлер получил степень магистра искусств, а в 1727г. защитил диссертацию о распространении звука.

   В 1727г. Эйлер (тогда ему исполнилось 20 лет) принял приглашение Петербургской академии наук и приехал в Петербург, где был назначен адъюнктом математики. В 1730г. Л.Эйлер получил место профессора (академика) кафедры физики, а в 1733г.- кафедры математики.

   В этот период Эйлер ведёт кипучую деятельность. Он постоянно делает научные доклады на академических конференциях, выступает с лекциями по физике и математике в университете и гимназии при Академии наук, принимает участие в составлении полного географического атласа России, публикует свои научные труды.

   В 1741г. Л.Эйлер переехал в Берлин. Покинув Петербург, он поддерживал непрерывную связь с Петербургской академией наук. Оставаясь её почётным  членом. Продолжал печататься в академических изданиях, по запросу академии сообщал о новых изобретениях, исполнял различные поручения. Кроме того. Л.Эйлер руководил занятиями молодых людей, которых академия направляла на учёбу за границу. Он считал необходимым готовить русских людей для замещения профессорских должностей в России. Особую и заслуженную протекцию Леонард Эйлер оказывал С.К.Котельникову и М.В.Ломоносову.

   В 1766г. Эйлер со своей семьёй возвращается в Петербург и приступает к активной деятельности в Академии наук. В этот период он справедливо считался первым математиком в мире и пользовался всеобщим уважением и почётом.

   Умер Л.Эйлер 18 сентября 1783г. в Петербурге.

   Л.Эйлер автор книг по механике, теории движения Луны и планет. По географии. По теории кораблестроения. Теории музыки и т.д. Именем Леонарда Эйлера в современной математике названы критерий, метод, многочлены, подстановки, постоянная, преобразование, произведение, ряд, теорема, тождества, уравнения, формулы, функция, характеристика, интегралы, углы, числа и т.д.

   II. Популярные задачи Л.Эйлера.

                                                           №1.

   Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил такое завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000р. в восьмую часть остатка; следующий – 2000р. и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000р. и восьмую часть следующего остатка ит.д.»

   Определите число сыновей и размер завещанного сбережения.

                                                           Решение.

   Т.к. все сыновья получили поровну, но восьмая часть каждого нового остатка была на 1000р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000р. меньше предыдущего. Т.к. по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1000р., а остальные 7000р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 7000∙7=49000р.

                                  Ответ: 7 сыновей; завещано 49000р.

                                                           №2.

   Двести семьдесят шесть лет назад в Калининграде (Кенигсберге) было семь мостов, соединяющих берега реки Прегель.

   В 1736г. крупнейший математик того времени Леонард Эйлер решил выяснить: можно ли, гуляя по городу, пройти все семь мостов, но каждый из них только по одному разу?

                                                           Решение.

Эта задача не имеет решения. Л.Эйлеру не оставалось ничего другого, как доказать невозможность обхода всех семи мостов по разу, что он и сделал.

   Существуют уникурсальные кривые, содержащие любое число чётных узлов, но не более двух нечётных. Для таких кривых решение возможно. Для всех остальных кривых решение невозможно. В задаче с мостами один чётный узел и три нечётных узла. Решение задачи невозможно.

   III. Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера.

                                                           №3.

                                                  (ЭМШ, 2002год)

   В классе 31 ученик. 14 учеников болеют за «Манчестер Юнайтед», 14 учеников болеют за «Наполи», а 7 не увлекаются футболом. Сколько учеников болеет одновременно за «Манчестер Юнайтед» и за «Наполи», если футбольные пристрастия всех учеников известны?

                                                           Решение.

                                              Изобразим множество болельщиков в виде кругов Эйлера.

31-7=24(уч.) – болельщики.

24-14=10(уч.) – болеют только за МЮ или только за Н.

24-(10+10)=4(уч.) – болеют одновременно за МЮ и за Н.

                                       Ответ: 4 ученика болеют одновременно за «Манчестер

МЮ-14           Н-14                                                      Юнайтед» и за «Наполи».

                                                           №4.

   В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты – 5, а всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько – только монеты?

                                                           Решение.

  Монеты-

  5 человек

1) 11-5=6(чел.) – коллекционируют только марки.

2) 11-8=3(чел.) – коллекционируют только монеты.

3) 11-(6+3)=2(чел.) – коллекционируют марки и монеты.

                                  Ответ: 2 человека коллекционируют марки и монеты, 6 человек – марки, 3человека – монеты.

                                                           №5.

   Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной секции. Сколько учащихся занимается и в хоре, и в лыжной секции, если

 в классе нет учащихся, не посещающих занятий хора или лыжной секции?

                                                           Решение.

    В хоре – 24 человекаВ лыжной секции – 15 человек

1) 38-15=23(чел.) занимаются только в хоре.

2) 38-24=14(чел.) занимаются только в лыжной секции.

3) 38-(23+14)=1(чел.) занимается в хоре и в лыжной секции.

                                  Ответ: 1 человек.

                                                           №6.

   В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

                                                           Решение.

     В музей – 23 человекаВ кино – 21 человек  

1) 30-5=25(чел.) ходили в музей или в кино.

2) 25-21=4(чел.) ходили только в музей.

3) 25-23=2(чел.) ходили только в кино.

4) 25-(4+2)=19(чел.) ходили в кино и на экскурсию.

                                  Ответ: 19 человек.

                                                           №7.

   Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трёх сестёр? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестёр?

                                                           Решение.

                                               В+Н=28           Н+Л=23

1) 38-23=15(лет) Вере.

2) 38-28=10(лет) Любе.

3) 38-(15+10)=13(лет) Наде.

                                  Ответ: 15 лет Вере, 13 лет Наде, 10 лет Любе.

                                                           №8.

   В булочной было 654кг чёрного и белого хлеба. После того как продали 215кг чёрного и 287кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну. Сколько килограммов чёрного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

                                                           Решение.

1) 654-(215+287)=654-502=152(кг) хлеба осталось продать.

2) 152:2=76(кг) белого (и чёрного) хлеба осталось продать.

3) 215+76=291(кг) чёрного хлеба было первоначально.

4) 287+76=363(кг) белого хлеба было первоначально.

                                  Ответ: 291кг чёрного хлеба и 363кг белого хлеба было в булочной.

                                                           №9.

                                          (Задача С.А.Рачинского)

   Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй – 2, в третий – 3 и т.д. Сколько комаров налетело за сутки?

                                                           Решение.

   Требуется найти сумму чисел: 1+2+…+23+24=(1+24)+(2+23)+…+(12+13)=25∙12=300(комаров).

                                  Ответ: 300 комаров.

   При решении задачи 9 мы воспользовались методом, которым когда-то воспользовался 10- летний Карл Гаусс для вычисления суммы: 1+2+3+…+98+99+100=101∙50=5050.

   IV. Повторение старинного способа решения задач из прошлого урока на смеси и сплавы. 

Рассмотрим задачи из сборника ГИА-9 «Математика. Подготовка к ГИА-2013».

                                                           №445.

   Смешали 30%-й и 50%-й растворы азотной кислоты и получили 45%-й раствор. Найдите отношение массы 30%-го раствора к массе 50%-го раствора.

                                                           Решение.

                     30%                                                   5

                                        ›           45%         ‹

                      50%                                                  15  

                                  Ответ: 1 часть 30%-го раствора и 3 части 50%-го раствора  1:3.

                                                           №446.

   Соединили два сплава с содержанием 40% и 60% и получили сплав, содержащий 45% меди. Найдите отношение массы сплава с 40%-ным содержанием меди к массе сплава с 60%-ным содержанием меди.

                                                           Решение.

                      40%                                                   15

                                         ›           45%         ‹

                      60%                                                     5                              

                                  Ответ: 3 части с 40% содержанием меди и 1 часть с 60% содержанием меди  3:1.

   III. Подведение итогов.

   Сегодня мы познакомились с наглядным способом решения некоторых логических задач – кругами Эйлера, узнали, что такое уникурсальные кривые, поговорили о великом учёном-математике, чьё имя связано с Россией, - Леонарде Эйлере.

Тема 4. Решение старинных задач.

   I. Вступление.

   Старинные задачи в современных учебниках зачастую отмечены звёздочкой, т.к. для современных школьников являются задачами повышенной трудности. Подобные задачи часто включают в математические олимпиады и конкурсы.

   Сегодня мы займёмся рассмотрением именно таких задач.

   II. Решение задач.

                                                           №1.

                                                  (Кант и часы)

   Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым холостяком. Он вёл столь регулярный образ жизни, что горожане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.

   Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завёл часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошёл к своему другу Шмидту, который жил примерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шёл к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.

   Откуда Кант мог знать точное время?                

                                                           Решение.

   Кант определил время следующим образом.

   1. Выходя из дома, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог вычислить, сколько времени он находился вне дома (А часов).

   2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).

   3. Разница (А-В), разделённая на два,- это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а, зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время.

                                                           №2.  

                        (Старинная задача, похожая на задачу Эйлера)

   Отец даёт денег своим детям. Старшему – половину всего и 1 рубль, среднему – половину остатка и ещё 1 рубль, младшему – половину остатка и ещё 3 рубля. И таким образом всю сумму раздал. Сколько было денег?

                                                           Решение.

   Пусть х рублей было, тогда

    -1)+1+3∙2=

    (руб.) денег было.

                                  Ответ: 30рублей.

                        Или по действиям:

1. 3∙2=6(руб.) получил младший (т.к.  остатка+3рубля – это все оставшиеся деньги).

2. 6+2=8(руб.) получил средний.

3. 6+8=14(руб.) остаток после старшего сына.

4. 14+2=16(руб.) получил старший.

5. 16+8+6=30(руб.) денег было.

                                                           №3.

                               (Из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого)

   Некий человек нанял работника на год, обещал дать ему 12руб. и кафтан. Но тот, отработав 7месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчёт 5руб. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?

                                                           Решение.

      Пусть х руб. – стоимость кафтана, тогда

                │∙12

           (х+12)∙7=(х+5)∙12

            7х+84=12х+60

                   5х=24

                     х=4,8(руб.)- стоимость кафтана.

                                  Ответ: 4,8руб.

                        Или по действиям:

12-5=7(руб.) получил бы работник за неотработанные месяцы.

12-7=5(месяцев) не отработал работник.

7:5=1,4(руб.) денежная плата за 1 месяц.

7∙1,4=9,8(руб.) денежная плата за 7 месяцев.

9,8-5=4,8(руб.) стоимость кафтана.

                                                           №4.

                                     (Старинная китайская задача)

   В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Надо узнать число фазанов и число кроликов.

                                                           Решение.

              Пусть х шт.- кролики, тогда

        4х+2∙(35-х)=94

        4х+70-2х=94

                    2х=24                                                                              

                      х=12 – кроликов.

        35-12=23 – фазана.

                                  Ответ: 12 кроликов и23 фазана.

                        Или по действиям:

1. 35∙2=70(ног) – задние ноги фазанов и кроликов.

2. 94-70=24(ноги) – передние ноги кроликов.

3. 24:2=12(шт.) – кролики.

4. 35-12=23(шт.) – фазаны.

                                                           №5.

                             (Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»)

   Купец купил 138аршин чёрного и синего сукна за 540рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5руб. за аршин, а чёрное–3руб.? (1аршин≈71см).

                                                           Решение.

1. 138∙3=414(руб.) заплатили бы, если бы всё сукно было чёрное.

2. 5-3=2(руб.) «переплата» за 1аршин синего сукна.  

3. 540-414=126(руб.) «переплата» за всё синее сукно.

4. 126:2=63(аршина) было синего сукна.

5. 138-63=75(аршина) было чёрного сукна.

                                  Ответ: 63аршина синего сукна и 75 аршин чёрного сукна.

                                                           №6.

                          (Из «Всеобщей арифметики» И.Ньютона)  

   Мама раздала детям по 4 конфеты и 3 конфеты остались лишними. А чтобы дать детям по 5 конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей?

                                                           Решение.

   После того, как мама раздала детям по четыре конфеты, у неё осталось 3 конфеты.

   Если она продолжит раздавать конфеты, то сколько конфет она даёт каждому? По одной.

   Скольким детям хватит ещё по одной конфете? Троим.

   А скольким не хватит? Двоим.

   Значит, было 3+2=5детей.

                                  Ответ: 5детей.

                                                           №7.

                           (Из «Всеобщей арифметики» И.Ньютона)

   Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздаёт лишь по два, и у него остаётся три. Сколько бедных?

                                                           Решение.

   Если сначала раздать по два динария, останется три.

3+8=11(динариев) ещё раздал бы некто, дав каждому по 1 динарию.

                                  Ответ: бедных было 11.  

                                                           №8.

                                              (Старинная задача)

   Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у человека? (1алтын=3копейки).

                                                           Решение.

   Если купить 8 бочек, останется 60коп.=0,6руб.

   Если купить 9 бочек, не хватит 1,5+0,1=1,6(руб.).

0,6+1,6=2,2(руб.) стоит одна бочка масла.

8∙2,2+0,6=17,6+0,6=18,2(руб.) было у человека.

                                  Ответ: 18,2 рубля.

                                                           №9.

                                               (Старинная задача)

   Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продаёт рожь. Если он продаст 15ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80руб., а если он продаст 20ц ржи, то после покупки у него останется 110руб. Сколько стоит лошадь?

                                                           Решение.

      Пусть х рублей стоит 1ц ржи, тогда лошадь стоит:

                15х+80=20х-110

                        5х=190

                          х=38(руб.) – цена 1ц ржи.

                15∙38+80=570+80=650(руб.) стоит лошадь.

Эту задачу можно так же решить по действиям.

                                  Ответ: 650 рублей.

                                                           №10.

                               (Старинная задача, Индия, III-IVвв.)  

   Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвёртый – вчетверо больше третьего, все вместе дали 132. Сколько дал первый?

                                                           Решение.

                 Пусть первый дал х, тогда

            х+2х+3∙2х+4∙(3∙2х)=132

            х+2х+6х+24х=132

                             33х=132

                                 х=4 дал первый.

               Или решить задачу с помощью частей.

                                  Ответ: 4.

                                                           №11.

                           (Из папируса Ахмеса, Египет, 2000г. до н.э.)

   Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»

   Пастух отвечает: «Я привожу две трети от трети скота. Сочти».

   Сколько быков в стаде?

                                                           Решение.

         Пусть х быков в стаде, тогда

                                  Ответ: 315 быков было в стаде.

                                                           №12.

                                  (Из «Арифметики» Л.Н.Толстого)

   Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял  всех денег, а жена 690руб. Сколько было всех денег?

                                                           Решение.                                         

1) 1-(денег) взяла жена.

2) 690:(руб.) денег было в сундуке.

                                  Ответ: 2300руб.

                                                           №13.

                                               (Старинная задача)

   Купили комод за 36руб., а потом вынуждены были продать его за цены. Сколько рублей потеряли при этой продаже?

                                                           Решение.

1) 1- - часть потерянных денег.

2) 36∙(руб.) потеряли при продаже.

                                  Ответ: 15 рублей.

                                                           №14.

                                   (Задача Бхаскары, Индия, XII)

   Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве – третью долю этого множества, Вишну – пятую, Солнцу – шестую, четвёртую долю получил Бхавани, а остальные 6 цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?

                                                           Решение.                        

1) (цв.) – богам.

2) 1-(цв.) – учителю.

3) 6:(цв.) лотоса было.

                                  Ответ: 120 цветков.

                                                           №15.

                                 (Старинная задача, Китай, II в.)

   Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

                                                           Решение.                                        

1)  (пути) за 1 день преодолеют обе птицы вместе.

2) (дней)

                                  Ответ: гусь и утка встретятся через 3 дня.

                                                           №16.

                                 (Задача Герона Александрийского, I в.)

   Бассейн ёмкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна даёт в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час – четыре кубические единицы. За какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?

                                                           Решение.

1+4=5(кв.ед.) за 1 час 2 трубы.

12:5=2,4(ч) потребуется.

                                  Ответ: 2,4ч=2ч24мин.

                                                           №17.

                                              (Старинная задача)  

   Четыре плотники хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй – за 2 года, третий – за 3 года, четвёртый – за 4 года. Спрашивается, за сколько лет они построят дом при совместной работе?

                                                           Решение.                              

(дома) совместная производительность плотников за 1 год.

(года) потребуется для постройки дома.

(дней) потребуется для построения дома.

                                  Ответ: 175,2 дня.

                                                           №18.

                            (Старинная задача, Армения, VII в.)

   В городе Афинах был водоём, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоём за 1 час, другая, более тонкая, - за 2 часа, третья, ещё более тонкая, - за 3 часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём.

                                                           Решение.

(водоёма) наполнят трубы вместе за 1 час.

   (часа) понадобится трём трубам для наполнения водоёма.

                                  Ответ: часа.

   III. Подведение итогов.

   Старинные задачи тесно связаны с повседневной жизнью, описывают ситуации, с которыми мы сталкиваемся в жизни – имеют практическое применение. К сожалению, современные школьники как раз и не умеют решать такие задачи. А жаль, так как эти задачи развивают логическое и практическое мышление. Подобные задачи гораздо интереснее решать, потому что в них присутствует сюжет, история.

Тема 5. Принцип Дирихле. Логические задачи.

   I. Вступление. Кто такой Дирихле. Что такое «принцип Дирихле».

   Логические рассуждения мы производим каждый день и не только на уроках, но и в повседневной жизни.                                          

   Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859), великий немецкий математик, изучал арифметику (теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии), математический анализ (признак сходимости Дирихле, ряды Дирихле), механику и математическую физику (принцип Дирихле в теории гармонических функций). Он, разумеется, и не подозревал, что его именем назовут столь простой и важный принцип.

   В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов».

   Более общая формулировка: «Если n зайцев сидят в m клетках, то найдётся клетка, в которой не менее n/m зайцев. Не надо бояться дробного числа зайцев - если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.

   Один математик сказал, что Дирихле по частоте упоминаний школьниками навсегда обеспечено одно из самых высших мест. И добавил: «Пожалуй, есть способ лишить его лидерства – назвать чьим-нибудь именем принцип «никакое чётное число не равно никакому нечётному»».

   Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения «от противного» часто встречаются. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем n/m. Тогда в m клетках вместе зайцев меньше, чем m∙(n/m)=n. Это противоречит условию.                                                            

   II. Решение задач по принципу Дирихле.            

                                                           №1.

   В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.

                                                           Решение.

400:365>1    хотя бы двое родились в один день года.

                                                           №2.

   В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше 4 ученика этого класса?

                                                           Решение.

40:12>3      найдётся.

                                                           №3.

   Почему в Москве номера телефонов семизначные,  не пятизначные?

                                                           Решение.

   Пятизначных номеров всего 100 000 (если разрешить использовать все комбинации от 00 000 до 99 999), т.к. 10∙10∙10∙10∙10=100 000. А телефонов в Москве гораздо больше! Их больше 1 000 000, так что не хватило бы даже шестизначных номеров.

                                                           №4.

   В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

                                                           Решение.

1000:30>33      существует класс, в котором не менее 34 учеников.                                    

                                                           №5.

   В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов, причём в каждом ящике лежали яблоки одного сорта. Найдутся ли 9 ящиков одного сорта?

                                                           Решение.

   Если бы для каждого сорта число ящиков с яблоками этого сорта не превышало 8, то всех ящиков было бы не более 8∙3=24, а их 25.

                                  Ответ: найдутся 9 ящиков одного сорта.

                                                           №6.

   В классе 30 учеников. В диктанте Вова сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали одно и то же число ошибок.

                                                           Решение.

1) 30-1=29 (учеников) в классе без Вовы.

2) 13-1=12 (ошибок) или меньше сделали оставшиеся ученики.                                

3) 29:12>2      хотя бы 3 ученика сделали одно и то же число ошибок.

                                                           №7.

   Найдите значение дроби   , где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоят знаки умножения.

                                                           Решение.

   Различных цифр в записи дроби 10     среди них есть ноль! Получаем: дробь равна нулю или не имеет смысла.

                                                           №8.

   10 пар чёрных и 10 пар коричневых перчаток одного и того же размера были разрознены и вперемежку положены в коробку. Какое наименьшее число перчаток, не рассматривая их, надо вынуть из коробки, чтобы быть уверенным, что среди них есть хотя бы одна пара?

                                                           Решение.

   Если среди 20 перчаток все 10 штук чёрных с правой (или левой) руки и 10 штук коричневых тоже с одной руки, то 21-я перчатка обязательно образует с одной из этих 20 пару чёрного или коричневого цвета.

                                  Ответ: 21 перчатка.    

                                                           №9.

   В ящике лежали цветные карандаши: 10 красных, по 8 зелёных и синих, 4 жёлтых. В темноте берём из ящика карандаши. Какое наименьшее число карандашей нужно взять, чтобы среди них было:

а) не меньше 4 одного цвета;

б) хотя бы по одному каждого цвета;

в) не меньше 6 синих?

                                                           Решение.

а) Самый неблагоприятный случай: 3кр.+3зел.+3син.+3жёл.

   Чтобы было 4 карандаша одного цвета, надо взять ещё 1 карандаш.

                                  Ответ: 13 карандашей.

б) Самый неблагоприятный случай: 10кр.+8син.+8зел.

   Чтобы было хотя бы по одному карандашу каждого цвета, надо взять ещё 1 карандаш.

                                  Ответ: 27 карандашей.

в) Самый неблагоприятный случай: 10кр.+8зел.+4жёл.+5син.

   Чтобы было не меньше 6 синих карандашей, надо взять ещё 1 карандаш.

                                  Ответ: 28 карандашей.

                                                           №10.

   Семь грибников собрали вместе 100 грибов. Обязательно ли найдутся три грибника, собравшие вместе 50 грибов, если:

а) каждый из семерых собрал разное количество грибов;

б) среди грибников могут быть собравшие одинаковое количество грибов?

                                                           Решение.

а) 100:7>14       самый благоприятный случай:  11, 12, 13, 14, 15, 17, 18 грибов.

15+17+18=50 .

                                  Ответ: да, найдутся три грибника, собравшие вместе 50 грибов.      

б) Если были грибники, собравшие одинаковое количество грибов, то просто надо уменьшить число грибов у самых «удачливых» грибников. Получаем:

          13, 12, 13, 14, 15, 16, 17 грибов.

          15+16+17=48.

                                  Ответ: не обязательно.

   III. Логическая разминка: «Будь точен в вопросах».

   - Вы знаете, который час? – спросил прохожий математика. – Знаю, - ответил тот и пошёл дальше.

   Согласитесь, математик ответил на поставленный вопрос. Правда, прохожего на самом деле интересовало, сколько времени. С точки зрения строгого математика, прохожий спросил не то, что хотел.

   Вот ещё пример такого диалога:

   Учитель: - Маша, твоя работа очень хорошая, но она точно такая же, как у Вовочки. Что я должен думать?

   Машенька: - Что работа Вовочки тоже очень хорошая.

   Не правда ли, Маша ответила учителю в лучших традициях логики? Пожалуй, ответы «Это он у меня списал» или «Не знаю, так случайно получилось» даже менее логичны!

   Предлагаю вам завершить несколько анекдотических диалогов.

1) - Обвиняемый, почему Вы обманули людей, которые Вам так доверяли? – Потому что я не мог обмануть…                          (тех, кто мне не верил!)

2) - Дорогой, закрой форточку, на улице холодно! – А что, если я закрою форточку, на улице...                          (потеплеет?)

3) - Я так много читал о вреде никотина, алкоголя и наркотиков, что с нового года решил бросить.

 - Пить или курить?

 - Нет, …                   (читать.)

4) - Серёжа, больше не играй с Васей, он плохой мальчик!

 - А я хороший?

 - Да, милый, ты очень хороший! А играть надо только с теми, кто лучше, чтобы набираться от них ума-разума!

 - Значит, он может …                (играть со мной, а я не могу?)

5) - Если Вы сейчас же дадите мне 500 долларов, Вы спасёте жизнь достойнейшему человеку!

 - Что-то Вы не похожи на достойного человека!

 - Вы спасёте …                  (свою жизнь.)

6) - Почему Вы всё время опаздываете?

 - Видите у лифта табличку «Только на 10 человек?». Каждое утро я …                        

                                                                                                          (жду девятерых.)

7) - К вам доставляют потерянные вещи? – спрашивает проситель в бюро находок.

 - Нет, только …                      (найденные.)

8) - Каких Вам сардин – португальских, испанских, французских?

 - Какая разница! Я же не собираюсь …        (с ними разговаривать.)

9) - Что с тобой, ты весь забинтован!

 - Столкнулся с летающей тарелкой!

 - Что ты говоришь! Где это случилось?

 - …             (На кухне.)

IV. Логические задачи «Разность некоторых двух n+1 целых чисел кратна n».

                                                          №11.

   Из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна. Докажите это.

                                                           Решение.

   Все целые числа можно разбить на два класса: чётные и нечётные. Невозможно распределить три числа по двум классам так, чтобы ни в какой класс не попало более одного числа. Значит, среди любых трёх целых чисел найдутся два числа одинаковой четности. Их сумма чётна.

                                                           №12.

   Среди любых шести целых чисел найдутся два числа, разность которых кратна 5. Докажите это.

                                                           Решение.

   Разобьём всё множество целых чисел на 5 классов:

   В один поместим числа …,-14 ,-9 ,-4, 1, 6, 11, 16, 21, 26,…, дающие остаток 1 при делении на 5.

   В другой поместим числа …,-13,-8,-3, 2, 7, 12, 17, 22, 27,…, дающие остаток 2.

   В третий поместим числа, дающие остаток 3 при делении на 5, и т.д.

   Из шести целых чисел два обязательно попадут в один класс, и их разность будет кратна 5.

                                                           №13.

   Докажите, что из любых n+1 целых чисел можно выбрать два числа, разность которых нацело делится на n.

                                                           Решение.

   Разобьём все целые числа на n классов в соответствии с тем, какой остаток получится при делении на n. Остатки получатся от 0 до n-1.

   Из n-1 числа два обязательно попадут в один класс, и их разность будет делиться на n.

                                                           №14.

   Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых – двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.

                                                           Решение.

   Двузначное число записывается двумя одинаковыми цифрами тогда и только тогда, когда оно кратно 11.

   Разобьём все двузначные числа на 11 классов в соответствии с тем, какой остаток получится при делении на 11. Остатки получатся от 0 до 10.

   Из 12 чисел два обязательно попадут в один класс, и их разность будет делиться на 11. Значит, эта разность будет записываться двумя одинаковыми цифрами.

                                                           №15.

   Из любых ли ста целых чисел можно выбрать два числа, сумма которых кратна 7?

                                                           Решение.

   Нет, не любых. Сумма никаких двух из чисел вида 7n+1, где n= 0,1, 2,…,99 не кратна 7.

                                                           №16.

   Из любых ли а) 51; б) 52 целых чисел можно выбрать два числа сумма или разность которых кратна 100?

                                                           Решение.

а) Нет, из чисел 0, 1, 2,…, 50 нельзя выбрать 2 числа сумма или разность которых кратна 100.

б) Рассмотрим 51 ящик с табличками 0, 1-99, 2-98, 3-97,…, 49-51, 50. Числа поместим в ящик, на табличке которого присутствует остаток от деления числа на 100.

   Если чисел 52, то какие-то два попадут в один ящик. Значит, сумма или разность этих чисел будет кратна 100.

        V. Подведение итогов.

1) Принцип Дирихле настолько прост и очевиден, что кажется, что ты его знал всегда. Это правило зачастую выручает нас в повседневной жизни и при решении логических задач.

2) Иногда мы не понимаем вопрос задачи из-за некорректной формулировки. Чтобы окружающие всегда нас понимали, надо научиться точно выражать свои мысли.

3) Задачи по теме «Разность некоторых двух n+1 целых чисел кратна n» помогает нам лучше понять структуру чисел.    

Марки- 8 человек