Числовые множества в школьном курсе математики
статья (алгебра) по теме

«Числовые множества в школьном курсе математики»

Автор: Н.А.Савенкова

Москва 2012

Числовые множества – совокупность важнейших понятий в математике. Как вводятся числовые множества в школьном курсе. В каком классе мы с  ними встречаемся впервые? Каковы способы их введения?

Первые представления о числах складывались постепенно под влиянием практики. Надо было сравнивать множества различных предметов, устанавливать существующие между ними отношения. Надо было объединять два множества предметов в одно множество или удалять из множества некоторое подмножество. Далеко не всегда непосредственное решение таких задач было простым. Но в результате усилий многих поколений, по мере развития способности людей к абстрагированию, возникавшие трудности успешно преодолевались - с появлением натуральных чисел и операций над ними решение этих задач существенно упростилось. Сравнение множеств, например, стало теперь сводиться к счету и сравнению полученных чисел.

В школе числа начинают изучать с первого класса, но самое первое представление о счете дети получают, будучи еще дошкольниками: кто –то занимается  дома, кто-то в детском саду. Первоначально они считают пальцы у себя на руках, потом переходят к счету других предметов.  Например: имеется 5 кубиков, из них три зеленых и два синих. Предлагается положить отдельно синие и зеленые и сосчитать, сколько кубиков в каждой группе.

Поэтому не случайно в начале обучения в первом классе проводят проверку, в процессе которой выявляется запас математических знаний и умений у детей, поступивших в первый класс, и готовят их к работе над первой темой программы - нумерацией чисел в пределах 10.

Важно на этом этапе установить, умеет ли ребенок считать предметы и в каких пределах, понимает ли арифметический смысл

выражений "больше", "меньше", "столько же”.

В непринужденной беседе учитель предлагает ребенку выполнить несколько заданий по составленному вопроснику, например:

Умеешь ли ты считать? Посчитай…

Сколько здесь палочек? (на столе девять палочек).

Положи столько же кружков, сколько палочек лежит на столе.

 Каких  кругов  больше?   (имеются  шесть больших красных кругов  и семь  маленьких синих. Затем предлагается сравнить две кучки кружков одинакового размера, но разного цвета - пять синих и пять красных.

Эти вопросы-задания дают возможность выяснить главное - сформирована ли у детей та основа, которая необходима для изучения чисел и действий над ними. Задания 1 и 2 направлены на то, чтобы ребенок  знал по крайней мере первые десять числительных, умел вести счет предметов.

Поскольку подготовка у детей разная, первые уроки посвящены отработке умения вести счет тех или иных объектов: сосчитать отдельные предметы, звуки (например, хлопков); из десяти палочек выбрать шесть или семь и положить перед собой. Проводя такие упражнения, важно, учитывая подготовку детей, отработать следующие вопросы:

знание чисел натурального ряда в пределах десяти;

знание того, что последнее из названных числительных дает ответ на вопрос "сколько"? Здесь же могут предлагаться задания, направленные на выяснение порядковых отношений, например: кто стоит перед Олей? после Миши? между Витей и Таней? Кто стоит в ряду первым? вторым? которой по счету стоит Таня? Витя?

Исходя из примеров, которые близки и понятны детям, с которыми они много раз встречались в жизни, обращают внимание учащихся на случаи взаимно однозначного соответствия между элементами двух совокупностей, например:  каждая чашка обычно ставится на блюдце - сколько чашек, столько должно быть и блюдец; сколько человек будет обедать, столько должно быть и стульев за столом, столько же должно быть и тарелок на столе.

Далее начинается работа над сравнением - над выяснением, каких предметов больше, а каких меньше. С этой целью детям предлагается такие задания: сравнить число больших и маленьких кубиков, поставив на каждый большой по одному маленькому, Золи останется без пары большой кубик, значит, маленьких больше, и наоборот.

Такие упражнения особенно полезны, так как они служат хорошей подготовкой к дальнейшему изучению понятия числа,

В начальном курсе математики работа над нумерацией и арифметическими действиями строится концентрически (десяток-сотня-тысяча-многозначные числа), В качестве первого концентра выделен "Десяток".  При изучении этой темы дети знакомятся с первыми десятью числами натурального ряда и действиями сложения и вычитания в этих пределах. Именно на этом этапе обучения учащиеся должны научиться пользоваться усвоенным ими отрезком натурального ряда чисел для получения ответа на вопрос, сколько элементов входит в состав предложенного им множества.

Действительно, первое знакомство с числами 1 и 2 начинается о того, что учитель предлагает, например, положить на наборное полотно один треугольник, добавить к нему еще один.  Сосчитать  сколько стало треугольников, объяснить, как получили два треугольника (к одному прибавили еще один), далее сам учитель показывает, как можно записать, что у нас один треугольник и два треугольника; для этого он выставляет на наборном полотне карточки с цифрами 1 и 2. Потом говорит, что этот знак означает "один", а этот "два". Знаки, которыми записываются числа, называется  цифрами.

Следует заметить, что изучают числа не отдельно друг от друга, а отрезками, т.е. 1, 2; 1, 2, 3; 1, 2, 3, 4;..., это облегчает понимание. Например, рассматривая одновременно числа 1 и 2, устанавливают» что 1 меньше 2, а 2 больше 1. Например, учитель обращается к ученику: "Положи на верхнюю полочку наборного полотна один кружок. Под ним на нижнюю полочку положи столько же треугольников. Сколько ты положил треугольников? Почему один? Прибавь к этому треугольнику еще один. Чего меньше? Затем ставится основной вопрос: какое же число больше - 2 или 1? Делается общий вывод: два больше, чем один, а один меньше, чем два. Одновременно учащиеся отрабатывают навыки сложения и вычитания. Например, учитель рисует на доске блюдце, на нем одно яблоко» и предлагает детям посмотреть на рисунок; затем дети по просьбе учителя закрывают глаза, и в это время учитель рисует еще одно яблоко. Затем спрашивает: "Кто заметил, что изменилось? Что я сделала? (Вы нарисовали еще одно яблоко). Больше яблок или меньше? (Яблок стало больше). Сколько всего стало яблок? Как получили два яблока? Дети должны ответить: "Было одно яблоко, нарисовал* еще одно. Всего стало два яблока". Далее учитель говорит: "Здесь мы прибавили к одному один и получили два". Теперь посмотрите» как это можно записать: Подобная работа проводится и над примером         (из двух вычесть один» получается один).

При изучении чисел три и четыре напоминают детям, как получить число два ( 1+1 ) или как получить единицу (2-1). Значит, проделывая такую работу, дети осознают и усваивают, что для получения числа, следующего  за данным, достаточно прибавить к данному числу единицу, и что поэтому числа в натуральном ряду возрастают (каждое число больше всех чисел, встречающихся при счете раньше этого числа, и меньше любого числа, которое называют при счете после него). Так же знакомятся с тем, что каждое число (кроме единицы) может быть представлено в виде суммы двух или нескольких слагаемых.

Нужно обратить внимание на то, что числа получаются не только в результате счета, но и в результате измерения. Первым таким шагом является ознакомление с сантиметром и с измерением отрезка  с помощью разделенной на сантиметры линейки. Это делается с той целью, чтобы ученики сами установили, что означает каждая цифра. Это в какой-то мере предупредит обычную для первоклассников ошибку, когда они начинают отмеривать по линейке не с нуля, а с единицы.

На уроках, посвященных нумерации чисел первого десятка, перед глазами детей всё время должен находиться ряд чисел от 1 до того числа, которое рассматривается в данный момент, это в какой-то степени помогает усвоить количественные и порядковые свойства чисел.

Прочную наглядную основу для усвоения нумерации чисел создает изучение геометрического материала, поскольку здесь учащиеся выполняют практические работы, чертят, измеряют, Так, например, знакомясь с многоугольниками, дети считают вершины и стороны, сравнивая их число у разных многоугольников.Познакомившись  с точкой, прямой, дети учатся проводить прямую через одну и через две точки, соединять две точки отрезком. Все эти упражнения закрепляют знания по нумерации.

Изучая числа первого десятка, учащиеся знакомятся с числом нуль, вводится обозначение числа нуль цифрой. Решают, например, такие задачи:

1) на ветке висели две вишни, одна упала. Сколько вишен осталось?

2) на ветка висела одна вишня, потом она упала. Сколько вишен

осталось?

Решение записывают так: 1-1=0 (из единицы вычесть единицу получится нуль). Ответ: на ветке не осталось вишен. Далее число нуль сравнивают с числом один. Опираясь на решения задач выясняют, сколько вишен было, сколько упало, больше или меньше стало вишен после того, как одна упала. Результат равнения записывают так: 0<1. На основе таких упражнений устанавливают, что в ряду чисел нуль должен стоять перед единицей.

Рассмотрим пример, показывающий, как можно делать операции сложения и вычитания с числом два. Учитель говорит: "Положите четыре синих квадрата, придвиньте один желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? Придвиньте еще один желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? Запишите: 4+1+1(как решается такой пример?) К 4 прибавить 1 - получится 5, к 5 прибавить 1 - получится б). Так же рассматривается пример 7-1-1. Эффективны для формирования вычислительных навыков упражнения с равенствами и неравенствами. Например: 7+2 > 7 , 10-3 > 4.

Изучение переместительного свойства сложения начинается с примера: учитель говорить: "Придвиньте 3 треугольника к 4. Сколько стало? ( 4 + 3 = 7 ). Теперь снова разложите треугольники отдельно и придвиньте 4 треугольника к 3. Сколько стало?(3+4 = 7). В чем сходны и в чем различны эти примеры? Они схожи тем, что слагаемые одинаковые и суммы тоже, а различаются тем, что слагаемые поменялись местами. Проделывая ряд таких упражнений, учащиеся приходят к выводу, что легче к большому числу прибавить меньшее, чем к меньшему - большее, а переставлять числа при сложении всегда можно - сумма от этого не меняется. Или учитель предлагает такое задание: "Положите на парту 5 красных и 4 синих кружка. Сколько всего кружков положили? ( 5+4=9 , первое слагаемое 5, второе 4, сумма 9). Отодвиньте в сторону 4 синих кружка. Сколько кружков осталось? ( 9 – 4 = 5), из суммы вычли второе слагаемое получили первое слагаемое 5).  Вывод: если из суммы вычесть первое слагаемое, получится второе слагаемое, и наоборот. Полученные знания они должны легко применять к уравнениям вида: x + 2 = 5

                           4+ x = 10

Имея такой багаж знаний, дети приступают к изучению нового концентра "Сотня".

При изучении нумерации выделяют две ступени: сначала изучается нумерация чисел 11-20, а затем 21-100. Такой порядок обусловлен тем, что названия чисел второго десятка образуются из тех же слов, что и названия разрядных чисел (20, 30, 40,…, 90). Изучение устной нумерации чисел второго десятка начинается с формирования у детей понятия о десятке. Отсчитывая по 10 палочек и связывая их в пучки, учащиеся узнают, что десять единиц образуют десяток. Например, число 12 - это 1 десяток и 2 единицы, 13 - это 1 десяток и три единицы (причем всё время дети должны помнить, что каждое последующее число образуется путем прибавления единицы к данному и оно на единицу больше данного; каждое предыдущее число образуется путем вычитания единицы из данного и оно меньше данного на единицу).

При изучении нумерации чисел в пределах 100, следует обратить внимание на то, что числа пишутся так же как читаются: на первом месте десятки, потом единицы. Например, тридцать пять – 35. Операции сложения и вычитания в пределах 100 вводятся на основании знания сложения и вычитания в пределах 10.

В первом классе сначала изучается сложение и вычитание круглых чисел(70+20, 60 - 40 и т.п.); оно сводится к рассмотрению сложения и вычитания однозначных чисел, которые выражают число десятков. Например, чтобы к 50 прибавить 20, достаточно к 5 десяткам прибавить 2 десятка; получится 7 десятков, или 70. Вторым по плану стоит изучение прибавления числа к сумме. Но перед этим детям должны сообщить, что суммой в записи 10+4=14 называется не только число 14, но и то выражение, которое стоит слева. Здесь же вводятся скобки, показывающие, что то или иное арифметическое действие выполняется не над отдельными числами, а над некоторым математическим выражением. Например, требуется к числу 10 прибавить сумму чисел 3 и 6; чтобы показать, что надо прибавить именно сумму, то записывают в скобках. Аналогично поступают с разностью. Одновременно с закреплением знаний по нумерации проходит работа над усвоением сочетательного свойства. Например,

(4+2) + 3 = 6 + 3 = 9

(4+2) + 3 =  (4+3) + 2  = 9

(4+2) +3 = 4 + (2+3) = 9

Перед учащимися три способа нахождения результата, из которых они выбирают более рациональный.

Во втором классе дети продолжают знакомство с этим свойством, вводят приемы поразрядного сложения и вычитания двузначных чисел. Например: на верхней планке наборного полотна изображена сумма 3+2, а на нижней - сумма чисел 4 и 5. Эти числа обозначают количество черных и белых кружков. Можно сначала узнать, сколько кружков на верхней планке, затем на нижней и сколько всего.

(3+2) + (4+5) = 5 + 9 = 14

Или можно узнать, сколько белых кружков, затем сколько черных и сколько всего: (3+2)  + (4+5) =  (3+4) + (2+5) = 7+7 = 14

В этом же концентре "Сотня" детей знакомят с новыми операциями - умножением и делением.

Еще в 1 классе при изучении нумерации» сложения и вычитания в пределах 10 и 100 вводился счет пар и троек предметов и предлагались задачи на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых. Например, в трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках? Или: в первой коробке 3 карандаш, во второй - 6, в третьей – 8. Сколько всего карандашей в коробках? Решая такие задачи и примеры, учащиеся должны заметить, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми.  Во 2 классе такие суммы заменяют произведением  (6 + 6 + 6 +6 = 24). Например, учитель предлагает решить задачу: "Девочка наклеила марки на 4 страницы альбома, по 5 марок на каждую. Сколько всего марок наклеила девочка?  Что можно сказать о слагаемых (5+5+5+5= 20)?. Если слагаемые одинаковые, то сумму можно записать иначе: 5x4=20. Сложение одинаковых слагаемых называется умножением. Введение переместительного свойства умножения имеет важное значение : оно дает возможность почта вдвое сократить число случаев, которые необходимо запомнить наизусть.

Конкретный смысл другой операции - деления – раскрывается с помощью соответствующих примеров.

Интересны случаи умножения и деления с нулем,  в учебнике это приводится в качестве упражнений. Зная определение произведения: сумму b слагаемых, каждая из которых равна a, называют произведением чисел a и b и обозначают a×b, ученики без труда могут найти значение, например:

0×2 = 0 + 0 = 0.

Приходим к выводу, что при умножении нуля на любое число, получается нуль. Но если второй множитель равен нулю, то результат нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, так как это новая область чисел. Данное в учебнике определение умножения числа a на число b не имеет смысла, если b=0 или b=1. Действительно, сумма, в которой 0 слагаемых, и сумма, в которой 1 слагаемое, - бессмыслица. Рисунки, помещенные в учебнике, помогают учащимся делать правильные выводы. Операция деления в учебнике определяется так: разделить число a на число b - значит найти такое число x, при умножении которого на число b получается a: x×b=a. Далее поясняется: ни одно число нельзя делить на нуль. Ведь разделить, например, 6 на 0 - это значит найти такое число x , при котором 0×x = 6. А при любом значении x произведение 0×x равно нулю, а не 6. Нельзя делить и 0 на 0. Рассуждая аналогично, получаем 0 × x  = 0. Какое бы число x мы ни взяли, это равенство будет верным. Поэтому невозможно указать определенное значение x. Зная свойства сложения, зная, что умножение - это сложение нескольких одинаковых слагаемых, учащиеся без особого труда должны найти пути к решению таких примеров, как: 4(3+2) = 4 × 5 = 20,  10(6+2) = 10 × 8 = 80,

20 × 3 (2 десятка × 3 = 6 десятков или 60).

12 × 3 = (10+2) × 3 = 10 × 3 + 2 × 3 = 30 + 6 = 36,

46 : 2 = (40 + 6) : 2 = 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23

Далее знания устных приемов и вычислений дети закрепляют в концентре "Тысяча". Как и раньше, приемы вычислений раскрываются с опорой на теорию арифметических действий. Это дает возможность учащимся не только самостоятельно объяснить ранее изученные приемы вычислений, применяемые теперь к трехзначным числам, но и находить новые.

Нумерацию многозначных чисел и действия над ними выделяют в особый концентр, потому что нумерация чисел за пределами 1000

имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Арифметические действия над многозначными числами выполняются с использованием как устных, так и письменных приемов вычислений.

Впервые термин "натуральные числа" появляется в учебнике 5 класса. Здесь говорится, что "натуральные числа - числа, употребляемые при счете предметов". Это определение не является определением натурального числа. Современная математика при обосновании этого понятия опирается на теорию множеств. В 4 классе вводится понятие числового множества. Методика математики 4 класса предлагает учащимся для быстрого усвоения термина "'множество" пользоваться удобными для них словами, например, "полный список".

Изучение большой темы "Положительные рациональные числа" начинается во втором классе с понятия доли. Первые уроки посвящены ознакомлению детей е получением, долей и их обозначением. В связи с этим проводится много практических упражнений - деление на разные части разнообразных реальных предметов: яблока, булки, ленточки, моделей, геометрических фигур (квадрата, прямоугольники). Показав процесс получения долей, обращают внимание детей на то, по какому принципу доли получают свое название, т.е. устанавливают связь между названием доли и тем, на сколько равных частей разделено целое (если целое разделено на две равные части, то каждая такая часть - одна вторая, если на четыре - одна четвертая). На основании практического деления фигур на равные части проводится и сравнение долей. Начинают эту работу со сравнения второй и четвертой долей одного и того же круга. Например, детям предлагают раскрасить половину круга карандашом одного цвета, а одну четвертую долю - карандашом другого цвета, и ставится вопрос, что больше - половина или четвертая доля.

Наиболее интересная работа во втором классе проходит над темой – "нахождение доли числа и числа по его доле". Учащиеся решают много разнообразных задач и делают из них выводы. Например, учитель просит отмерить полоску бумаги, длиной 12 см, разделить ее (перегибанием) на две равные части. Измерить половину полоски. Пусть в половине содержится 6 см. Разделить полоску на четыре равные части, Спрашивается, какова длина 1/4 части полоски. Проделав достаточное число упражнений на предыдущем уроке, дети должны сразу ответить: 12/4 . Аналогично на моделях разбираются обратные задачи.  В третьем классе на конкретных моделях ( круга, прямоугольника, отрезка) вводят понятия "дробь", "знаменатель", "числитель". А именно: число, записанное под чертой - знаменатель дроби  - показывает, на сколько равных частей разделен круг; число над чертой - числитель дроби - показывает, сколько взято равных частей круга. В 5 классе работа над этой темой продолжается, дети узнают, что такие записи, как 1/4 и 3/4 называют обыкновенными дробями. Дроби 2/4 и 1/2 называются равными, это школьники узнают из ряда решаемых ими задач. Например, девочке дали 2/4 пирога, а мальчику - 1/2 пирога.

Девочка получила два маленьких куска, а мальчик - один большой. Но они получили поровну. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями производится на наглядных примерах. Например: полоску бумаги разделить на семь одинаковых частей. Слева заштриховали 2/7 полоски, а справа 4/7 полоски. Можно заметить, что часть полоски, заштрихованная справа, больше, чем часть полоски, заштрихованная слева. Значит, 4/7 > 2/7. Отсюда делается общий вывод: из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель, далее учащиеся узнают, что дроби бывают правильные и неправильные. Рассмотрим пример: разрежем пирог на восемь равных частей и три части положим на тарелку. На ней будет 3/8 пирога, если положить все восемь частей, то на тарелке будет 8/8 пирога. Возьмем еще такой же пирог и разрежем его тоже на восемь равных частей, тогда на тарелку можно положить, например, одиннадцать частей. Там будет 11/8 пирога. Замечают, что в дроби 3/8 числитель меньше знаменателя. Так вот, такие дроби называют правильными. В дробях 11/8 и 8/8 числитель больше знаменателя или равен ему. Такие дроби называют неправильными. С дробями можно производить арифметические операции; а именно: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель. Например, буханку хлеба разрезали на восемь разных частей. Сначала на тарелку положили две части, потом еще пять. На тарелке оказалось семь восьмых частей буханки: 2/8 + 5/8 = 7/8 . Заметим, что здесь же вводят сумму целого и дробного чисел следующим образом: пусть длина отрезка ОА равна 2 см., а длина отрезка расстояния от точки 0 в двух направлениях: влево и вправо. Но эта шкала неудобна тем, что на ней одно и то же число стоит под двумя равными точками. Как выйти из этого затруднения? Вот в математике и принято числа, которые идут влево от начала отсчета, записывать со знаком "минус". Далее учащимся нужно сообщить, что направление вправо от начала отсчета называют положительным и это направление на прямой обозначают стрелкой. Числа, расположенные справа от точки 0, также называются положительными. А числа расположенные по другую сторону от точки 0 называются отрицательными. Следует подчеркнуть, что число 0 соответствует началу отсчета и не является ни положительным, ни отрицательным, кроме того, учащимся сообщают, что число, показывающее положение точки на прямой, называется координатой точки. Если мы отметим на прямой точку А с координатой пять, как построить симметричную ей точку 3? Какова её координата? Учащиеся без труда должны ответить, что координата точки В будет минус пять. Учителю останется лить добавить, что числа 5 и - 5   противоположные. Итак, отрицательные числа, нуль и положительные числа образуют множество целых чисел, Множество целых чисел есть расширение множества натуральных чисел (NcZ).

Интересен вопрос о сравнении целых чисел. Объяснение этого материала начинается с примера, встречающегося в жизни. Например, вчера термометр показывал в комнате 18°C, а сегодня он показывает 21°С. Вчера  холоднее, чем сегодня: число 18 меньше, чем 21. Можно записать: 18<21, Точка А (18) на координатной прямой расположена левее точки B(21). Вчера термометр показал на улице - 15° С, а сегодня показал - 9°С. Вчера было холоднее, чем сегодня. Поэтому считают, что число - 15 меньше числа – 9. Точка А(-15) расположена левее точки B(-9). Можно записать:- 15 < - 9. Делается общий вывод: из двух чисел меньшим считается то, изображение которого расположено на координатной прямой левее, а большим то, изображение которого расположено правее на координатной прямой. Положительные числа изображаются справа от нуля, а отрицательные - слева от нуля. Значит, всякое положительное число больше нуля, а всякое отрицательное число меньше нуля;  точно так же отрицательное число меньше всякого положительного числа. А как сравнить два отрицательных числа? Для этого сначала вводят понятие модуля числа. Определение модуля числа дается через расстояние от начала отсчета до точки, координата которой равна данному числу. Например» числу -6 на координатной прямой соответствует точке M(-6). Расстояние этой точки от начала отсчета равно 6 единичным отрезкам. Число б называют модулем числа -6. Пишут: |-6|=6. Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков.  Модуль числа 0 равен 0 так как точка 0 совпадает с началом отсчета, то есть удалена от него на 0 единичных отрезков. Значит,  для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного числа - противоположному числу. Опираясь на это, можно заключить, что из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше, и больше то, у которого модуль меньше.

Сложение и вычитание целых чисел. Предлагается задача: вначале термометр показывал 6 ° С, через некоторое время температура повысилась на 4°С. (Повышение температуры выражают положительными числами, а понижение - отрицательными). Какую температуру стал показывать термометр? Сложив числа 6 и 4 мы получим, что температура стала равной 10°С. Вторая задача: вначале термометр показывал -3°С , через некоторое время температура повысилась на -5°С. Заключают, что если дана начальная температура и её изменение, в данном случае повышение, то результат находят действием сложения. Итак, прибавить к числу a число b – это значит изменить число a на b единиц.

Чтобы учащиеся могли избежать многих ошибок, связанных с потерей знака, необходимо научить их мысленно отвечать на два вопроса:

Какое число получается при сложении (положительное или отрицательное) . Как найти модуль суммы?

Сложим для примера, два числа (-6) и (-3). Заметим, что оба слагаемых - отрицательные числа. Поэтому их сумма - отрицательное число. Чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых: 6+3=9. Значит, (-6) + (3) = 9

Следовательно, сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное. Чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых. Сложение чисел, имеющих разные знаки, сводятся к вычислению положительных чисел; 9 + (-5) = 4 . Число 4 положительное, а его модуль равен разности модулей чисел 9 и -5:|4|=|9|-|-5|.  Здесь больший модуль имеет положительное слагаемое. Сложим теперь 3 и -7; здесь больший модуль у отрицательного слагаемого. Рассмотрим разность модулей

 |4|=|-7|-|3| число -4 - отрицательное. Отсюда видно, что сумма двух чисел с разными знаками есть число, которое имеет тот же знак, что слагаемое с большим модулем. Чтобы нейти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меньший.

Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и вычитание положительных чисел: по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Например, вычесть из числа -6 число -2 значит найти такое число x, что x+(-2) = -6. Чтобы научиться вычитать любые числа, детям предлагают рассмотреть, например, сумму:  8+3 =11 . Чтобы найти слагаемое 8, надо из суммы 11 вычесть второе слагаемое 3, т.е. 11 -3=8, но этот же результат можно получить, если к 11 прибавить -3 (число, противоположное 3):

11+(-3) = 8

Проводя аналогичные рассуждения для других примеров, выводим правило: чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Умножение и деление целых сел.

Правило умножения чисел с разными знаками и правило умножения отрицательных чисел выводятся в учебнике из положения: если изменить знак одного из множителей, то изменится знак у произведения, а модуль произведения останется тем же. Правило умножения формулируется после решения двух задач, в одной из которых , раскрывается смысл умножения отрицательного числа на положительное, а в другой смысл умножения двух положительных чисел.

 Первая задача: фабрика выпускает в день 200 мужских костюмов.

Когда стали выпускать костюмы нового фасона,  расход  ткани на один костюм изменился на 0,4 м2. На сколько изменился расход ткани на костюмы за день? Вторая задача формулируется аналогично, только расход ткани на один костюм изменился на -0,4 м2, Заметим, что произведение

0,4 × 200 и (-0,4) × 200 различаются знаком первого множителя. Знаком различаются и результаты умножения.

Придерживаясь мнения учителей, хочу заметить, что эти задачи, приводимые в учебнике, недостаточно понятны для объяснения. Как правило учителя их стараются не использовать. Итак, вообще при изменении знака любого множителя знак произведения изменяется, а его модуль останется тем же:

5 × 3= 15

(-5)  × 3 = -15

5 × (-3) = -15

Если же меняются знаки обоих множителей, то произведение меняет знак дважды и в результате знак произведения не меняется. Рассматривая эти примеры, формулируют правило умножения положительных и отрицательных чисел: “Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное”. Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули сомножителей. Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули сомножителей. И наконец, произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хоть один из множителей равен нулю, и наоборот. Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел: но данным произведению и одному из сомножителей находят второй сомножитель. Зная, как работать со знаками при умножении, ученики должны уметь без труда ими пользоваться и при делении. Выполняя ряд примеров на деление, они сами могут прийти к правилам: частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя. Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя. Как и в случае натуральных чисел, для умножения целых чисел справедливы переместительный и сочетательный законы. Так, при доказательстве переместительного закона достаточно рассмотреть ряд примеров:

(-6) × 12 = 12 × (-6), т.к. -72 = -72 или (-4) ×(-2) = (-2) × (-4)

из которых учащиеся сами могут сделать вывод, что для любых чисел a и b верно равенство ab=ba. Аналогично поступают и с доказательством сочетательного закона. Важно заметить, что применение переместительного и сочетательного законов позволяет выполнять действие умножения в каком угодно порядке. Для целых чисел справедлив и распределительный закон умножения, то есть (a + b) × c = a × c + b × c.

Из всего, что было оказано выше, можно сделать вывод, что построение множества рациональных чисел заканчивается по существу в курсе математики 6 класса. В старших же классах происходит лишь совершенствование навыков выполнения операций над этими числами.

В курсе восьмого класса в связи с изучением темы “Квадратные корни” возникает необходимость расширить множество имеющихся чисел и ввести иррациональные числа. Но с такими числами в неявном виде школьники уже встречались в курсе математики шестого класса, когда рассматривали тему “Длина окружности”. Например, число "пи":  

Однако само  название "иррациональное число" впервые встречается в курсе алгебры восьмого класса. Так, рассматривая уравнение , устанавливают, что никакое целое число не является его решением. Почему? Пытаясь подобрать решение, видим, что  меньше 2.  больше 2. А между 1 и 2 целых чисел нет. Не существует  и дробного числа, квадрат которого равен 2. Доказательство мелким шрифтом приводится в учебнике. Докажем от противного, что среди положительных рациональных чисел не существует числа, квадрат которого равен двум. Предположим, что существует несократимая дробь (рациональное число)  квадрат которой равен 2, т.е. (a/b)2  = 2, иначе a2 = 2b2,  где a и b - взаимно простые натуральные числа. Из последнего равенства следует, что a2 делится на 2, т.к. 2b2 делится на 2. Представив a2 в виде произведения ,убеждаемся, что число  a делится на 2, т.е. a = 2c, где c - натуральное число.

Тогда (2с)2 = 2b2 и  2с2 = b2, откуда вытекает, что число b тоже делится на 2. Следовательно, дробь a/b сократима (её числитель и знаменатель делятся на 2),

что противоречит условию. Отсюда следует доказываемое утверждение. Таким образом, уравнение x2 = 2 не имеет рациональных корней. Однако , построив график функции у = x2 и прямую y = 2, мы видим, что прямая пересекает параболу в двух точках. Поэтому естественно считать, что уравнение имеет два решения. Но эти решения не являются рациональными числами. Корни уравнения у = x2 - числа новой природы. Действительно , сколько бы знаков в десятичном приближении мы не взяли, какую бы громоздкую дробь мы не испытывали, все разно ни для одного из этих чисел его квадрат не будет в точности равняться двум - точно также, как не всегда удавалось выполнить вычитание во множестве натуральных чисел или деление во множестве целых чисел. Корни уравнения x2  = 2 - числа иррациональные. Обозначим их так:  и  -  ( - положительное иррациональное число, квадрат которого равен 2; - - число, ему противоположное).

С помощью графика числа  и - мы можем приближенно выразить рациональными числами:   -

Итак, уравнение x2  = a при a > 0 имеет два решения: ,  которые могут быть рациональными или иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа в совокупности составляют множество действительных чисел. Каждому действительному числу соответствует точка на  координатной  прямой. Справедливо и обратное: каждой точке числовой прямой соответствует некоторое действительное число.

Для любых действительных чисел a, b, c имеют место следующие равенства:

а) a + b = b + a (переместительный закон сложения);

б)        (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения) ;

в) (a × b) = (b × a) (переместительный закон умножения) ;

г) (a × b) × c  = a × (b × c) (сочетательный закон умножения)

д) (a + b) × c = a × c + b × c (распределительный закон).

Одной из особенностей ныне действующих учебников математики в школьном курсе следует считать индуктивный характер изложения материала, подход к общим понятиям, исходя из конкретных примеров. Во многих случаях мотивом для введения нового материала служит практическая задача, которая помогает создать представление о важности новых знаний, решение которой служит основой для последующих обобщений.

Литература

«Математика,1», «Математика,2», «Математика,3», «Математика,4» авт.М.И.Моро, М.А.Бантов и др.

«Математика,5», «Математика,6»

авт. Н.Я.Виленкин,В.И.Жохов, А.С.Чесноков,С.И.Шварцбурд.

«Алгебра,7», «Алгебра,8», «Алгебра,9»,

авт.Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова.

«Алгебра и начала анализа,10-11»

 авт.А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.