Метод интервалов
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

Тема: Метод интервалов

Цели:   1. Выработать у учащихся умение решать методом интервалов квадратные неравенства

2. Развивать потребность к познавательной деятельности, устойчивое внимание учащихся в процессе изучения данной темы.

                     Ход урока: 

I. Организационный момент.

II. Повторение:

1). Решить неравенство с помощью графика:

3х(2х-1) <2x2- 10x+2,                                                                          6x2-3x-2x2+10x-2<0 (сравнение с нулём);                                  4х2+7х-2 <0,

Задаём функцию:

у=4х2=7х-2,                                                 У доски работает                                                                                       а) а=4 – ветви вверх,                              ученик – консультант.                                                                              б) 4х2+7х-2=0;                                         работает молча, класс                                             а=4;  в=7;  с=-2.                                      самостоятельно решает                                                  Д=81.                                                        в тетрадях. Затем сообща                                                х1=-2                                                         проверяют, ищут ошибки                                                      х2=1/4                                                      на доске, исправляют.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                -2 < x < ¼

Ответ:  -2 < x < ¼.

2). Устные упражнения.

Верно ли отмечены числа на числовой прямой:                                а)  - 2 и 3                    б)  - 5 и – 7                          в) 2/3 и 1/5 

3). На числовой прямой укажите множество чисел х, удовлетворяющих неравенству:

а)  х<7                     б) х≥ -5                в) х≤ 1/3               г) х>-0,9

     7                                                -5                                                         1/3                                          -0,9

4). Выяснить, какой знак имеет данное выражение при х=-5, выбрать верный ответ и обосновать его:

а)  х+6 > 0, +               б)  х-5 > 0,                    в)  (х+6)(х-5) > 0,                                                                x+6 < 0,                             x-5 < 0,  +                     (x+6)(x-5) < 0,  +                                                              х+6=0                                x-5=0                             (x+6)(x-5)=0

III. Объяснение:  (компактный метод)

1. решим неравенство  х2+х-2>0,

1-ый шаг: разложим на линейные множители:

                х2+х-2>0

х1,2= -1 ±2 √1 + 8 = -1 ±2 3   ;   х1= -2;   х2= 1.

х2+х-2=(х+2)(х-1),

(х+2)(х-1)>0,

2-ой шаг: наносим на числовую ось точки х=-2, х=1,которые разбивают её на интервалы (х < -2;  -2 > x < 1;  x > 1)

                             -2                                             1                            х

3-ий шаг: исследуем знак произведения на каждом из получившихся интервалов числовой оси. На каждом из этих интервалов каждый множитель сохраняет постоянный знак, а при переходе через корень меняет знак один из множителей. Начнём с крайнего правого: х > 1. На нём оба множителя положительны.

              +               -                     +

                  -2                             1                          х

При         переходе справа налево через точку 1 множитель (х-1) стал отрицательным, значит, всё произведение приобрело знак  ,, - “. При переходе через точку  -2 изменяют свой знак второй множитель и всё произведение стало положительным. Рассмотренный способ решения называется методом интервалов. 

2. Комментированное письмо, у доски 1 учащийся:

1). (х-2(х+1/2) < 0,                                  2).   x2+х > 0,                                                (х-2)(х+1/2)=0,                                                x2+x=0,      

а) х-2=0          б) х+1/2=0,                              x(x+1)=0,                                                                       х=2                            х= -1/2.                               x1=0;  x+1=0;   x2=-1.        

+              -              +                                       +               -              +

       -1/2                   2                   х                                         -1                        0            х

       -1/20                                              Ответ: -1/20.

3). №763(1) ребята делают самостоятельно.

IV.Домашнее задание:  § 42 (задание 1 и 2); №675(2,4)

V. Предложить учащимся составить алгоритм решения методом интервалов и следуя строго этому алгоритму, выполнить самостоятельную работу:

            В – I                                                       В – II

         Решить неравенства методом интервалов:

1) (х-1)(х+1) ≤ 0,                                   1) х(7-х)>0,                            2) х2+х+1<0,                                          2) х-х2+2≥0,                           3) х х --2  4   ≤0,                                      3) х-х   2     ≤0.