Уравнения в курсе математики средней школы"
методическая разработка по алгебре по теме

Департамент науки и образования Пермского края

Из опыта работы по теме:

«Уравнения в курсе математики средней школы»

(В помощь начинающему учителю)

                                                                         Выполнила:

                                                                                                 Четина Таисия Филипповна

                                                                                                 учитель математики

                                                                                   МОУ «СОШ № 64» города Перми

СОДЕРЖАНИЕ

I   Введение………………………………………………………………..3

II основная часть………………………………………………………5

    1.   Уравнения в курсе математики (5-6 класс)…………...5

          1.1  Нахождение неизвестных компонентов……………………..…..5    

          1.2  Раскрытие скобок и приведение подобных……………………..8

          1.3  Простейшие уравнения с модулем………………………….…...9

          1.4  Произведение множителей, равное нулю……………………….9

          1.5  Решение задач на составление уравнения………………………9

          1.6  Пропорции………………………………………………………...11

    2.   Уравнения в курсе алгебры (7-9 класс)…………………12

          2.1  Линейные уравнения с одной переменной……………………..12

          2.2  Разложение на множители………………………………………14

          2.3  Линейные уравнения с двумя переменными…………………...15

          2.4  Системы линейных уравнений………………………………….17

          2.5  Квадратные уравнения…………………………………………..21

          2.6  Дробно рациональные уравнения………………………………26

          2.7  Биквадратные уравнения………………………………………..27

    3.  УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА……….29

         3.1  Тригонометрические уравнения ………………………………..29  

         3.2  Уравнения с модулем……………………………………………32

         3.3  Показательные уравнения……………………………………….34

         3.4  Логарифмические уравнения……………………………………35

         3.5  Иррациональные уравнения……………………………………..38

         3.6  Уравнения с параметром…………………………………………39

111. ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………...43

IV. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………….45

V.ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………………46

        Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнения  (или систему уравнений для определения неизвестной величины). Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z и т.д., а известные величины (параметры) – первыми а, b, с и т.д. идет от французского ученого Р. Декарта.

        Как научить детей решать уравнения? Этот вопрос волнует практически всех учителей-математиков и естественников в силу огромной значимости метода уравнений, как для самого курса математики, так и для его практических  приложений. Умение решать уравнения настолько важно, что для его формирования нужно привлекать все средства, в том числе  и правила, и примеры, и житейские образы. Вооруженные различными приемами, учащиеся всегда смогут помочь себе сами, с какими бы трудностями они ни встретились.

        В течении более чем 30 лет педагогической работы, я убедилась в том, что к теме «Уравнения» нужен «особый» подход, исходя из возрастных и психологических особенностей учащихся; их уровня подготовленности.

Я преподаю математику во всех классах средней и старшей школы, в классах общеобразовательных и классах 7-вида. Поэтому я считаю возможным поделиться своим опытом преподавания темы «Уравнения» с учителями, испытывающими затруднения в методике преподавания этой темы и начинающими учителями.

В своей работе тему «Уравнения» я рассматриваю в развитии, от простейших до трансцендентных. Еще в начальной школе учащиеся знакомятся  с компонентами арифметических действий и учатся находить неизвестные компоненты по известным. В основной школе вводятся основные понятия и термины; в центре внимания – овладение алгоритмами решения основных видов рациональных уравнений. На старшей ступени обучения расширяется класс изучаемых уравнений в связи с введением новых видов функций; развиваются представления об общих приемах решения уравнений.  

Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

-решение простейших уравнений данного вида;

-анализ действий, необходимых для их решения ;

-вывод алгоритма решения и запоминание его;

-решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

-анализ действий, необходимых для их решения;

-формулировка частного приема решения;

-применение полученного частного приема по образцу

-работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе.

    Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения, его формулировки, отработки и применения.

Одной из основных целей, которые ставит перед собой учитель математики, является  научить учащихся решать уравнения и впоследствии применять эти навыки при сдаче ЕГЭ и в дальнейшей учебе.

I I. Уравнения в курсе математики

(5-6 класс)

Тема «Уравнение» проходит красной нитью в курсе математики с          1 класса по 11 класс. Именно поэтому данной теме уделяю особое внимание уже с 5 класса. Здесь акцентирую внимание на определении уравнения, корней уравнения, понятии «решить уравнение».

        Уравнением называется равенство с переменной.

        Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее данное уравнение в верное числовое равенство.

        Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

 1.1   В 5 классе рассматриваются уравнения вида а+х=в, а-х=в, х-а=в, ах=в, а:х=в, х:а=в, где а и в – это некоторые числа, х – переменная.

        При этом учащиеся решают уравнения, пользуясь правилами нахождения неизвестных компонентов: слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя, известных ученикам из курса математики начальной школы. Здесь учу детей делать неформальную проверку корней уравнения. Уместно сразу же научить детей решать задачи с помощью уравнения, правильно оформлять условие задачи, ее решение. Рассмотрим, например, такую задачу: « В вазе лежали сливы. Утром в нее добавили еще 20 слив, после чего в ней стало 38 слив. Сколько слив было в вазе?»

        Записываем условие:

Было - ? слив.

Добавили – 20 слив.

Стало – 38 слив.

        Записываем решение задачи:

        Пусть было х слив, тогда после добавления 20 слив стало (х+20) слив. Известно, что стало 38 слив. Составим и решим уравнение:

        х+20=38

        х=38-20

        х=18 ; 18 слив было.

При этом пользуемся правилом нахождения неизвестного слагаемого.

Ответ: 18 слив.

        При решении аналогичных задач отрабатываю алгоритм решения: Пусть…., тогда….. Известно, что….

Составим  и решим уравнение.

        Дети легко запоминают этот алгоритм и, пользуясь им, быстрее, а главное, обдуманно, решают задачи.

Детям, которые забывают правила нахождения неизвестных компонентов, можно помочь вспомнить правило или, лучше сказать, изобрести нужное правило, если приучить их придумывать простой числовой пример в тех случаях, когда возникают сомнения в том, какое действие надо вспомнить для решения уравнения. Этот способ полезно рассказать подробно, оформив его в виде правила из трех пунктов.

Рассмотрим это для решения уравнения:

119:х=17

Придумав пример на такое же действие, как и в уравнении, но с числами, которые не больше 10 (6:2=3).

Запишите пример точно над уравнением так, чтобы знаки действий и знаки равенства располагались друг над другом.

Выделите в примере число, стоящее над неизвестным в уравнении, и определите действия, которыми можно найти это выделенное число, пользуясь другими числами примера. Тем же действием следует найти и неизвестное в уравнении.

                                        6:2=3  →  2=6:3

    199:х=17 → х=119:17  

        После изучения распределительного закона умножения рассматриваем уравнения вида ах+вх+с=d, где а, в, с, d – некоторые числа, х – переменная, уравнение вида (ахвх)∙с=d, (ахвх):с=d и т.д., сводящиеся к рассмотренным ранее.

        При решении уравнений вида (ах+в):с=d, часто пользуются образом клубочка, который необходимо размотать. Для этого надо сначала найти конец нити, то есть определить «последнее» действие в одной из частей уравнения, и потом, ухватившись за эту нить, сделать в другой части «все наоборот», подобно тому, как мы поступаем, перематывая нить с одной катушки на другую.

        Например, дано уравнение вида (ах+b):с=d. В левой части сначала х умножаем на а, потом прибавляем в и делим на с. Значит «последнее» действие в левой части – деление на с. Тогда первым действием в правой части должно быть умножение на с. Имеем ах+b=d∙с. Разматываем клубочек дальше. Теперь «последним» действием в левой части должно быть вычитание: ах=dс – b. Осталось в левой части действие умножение, а в правой оно заменяется делением. Итак, х=(d∙с-b):а.

        При изучении темы «Проценты» обращаю внимание на то, что процент – это сотая часть числа, а часть числа находится действием умножения. Здесь рассматривают 2 типа задач:

а) нахождение числа по его проценту:

Задача 1. В соревнованиях по легкой атлетике приняло участие 20             девочек, что составило 40%  всех участников. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях?

Запишем условие:

Всего – 100% - 7 чел.                  40% =0,4

Девочек – 40% - 20 чел.

        Пусть всего х спортсменов участвовало в соревнованиях, тогда 0,4х было девочек. Известно, что девочек было 20 человек. Составим уравнение:

                0,4х=20,

                х=20:0,4,

                х=200:4,

                х=50; 50 спортсменов было всего.

Ответ: 50 спортсменов.

б) нахождение процентов от числа:

    Задача 2. Туристы должны были пройти 220 км. В первый день надо пройти 33 км. Сколько процентов пути надо пройти туристам в первый день?

Всего: 100% - 220 км.

1 день: ? % - 33 км.

        Пусть х% пройдено в 1 день. 1% составляет 220:100=2,2 (км), тогда х% составляют 2,2х км. Известно, что это равно 33 км.

Составим уравнение:

                2,2х=33,

                х=33:2,2,

                х=330:22,

                х=15; 15% пройдено в первый  день.

Ответ: 15% пути.

        Эти задачи решаем и по действиям.

        К концу 5 класса ученики достаточно быстро оформляют условие задачи, ее решение, грамотно записывают ответ, сводя при этом задачу к решению уравнения.

1.2  В 6 классе после введения отрицательных чисел уравнения решаются  с использованием нескольких тем: раскрытием скобок, переносом слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведением подобных, а также делением или умножением обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число.

Пример:  5(х+2)-11=3(х-4),

                5х+10-11=3х-12,

                5х-3х=-12-10+11,

                    2х=-11,

                      х=-5,5

 Ответ: х=-5,5  

Нужно отметить, что не все уравнения имеют решения.

      7(х-1)+3х=5(2х+3),                                   5(х-4)+28=4(х+2)+х,

      7х-7+3х=10х+15,                                       5х-20+28=4х+8+х,

      7х+3х-10х=15+7,                                       5х-4х-х=8+20-28,

        0х=22,                                                            0х=0,

                                                                                х - любое

Ответ: нет корней.                                          Ответ: х - любое число.      

1.3 После изучения темы «Модуль» мы встречаемся с решением уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.

Например: а)  |х|=5                   б) |х|=0                         в) |х|=-10

                х1=5, х2=-5                       х=0                          Ǿ

                  Ответ: 5                 Ответ: 0                 Ответ: Ǿ

        Считаю, что здесь же уместно рассмотреть уравнения, содержащие под знаком модуля выражения с неизвестной.

Например:

а) |х-5|=3                        б) |3х-7|=0                в) |4х+15|=-4

х-5=3 или х-5=-3                   3х-7=0                             Ǿ

х=8            х=2                   3х=7                   Ответ: Ǿ

Ответ: 2;8                           х =

                                Ответ:

1.4        Целесообразно уже с 6 класса научить учеников решать уравнения вида (ахb)(схd)=0, то есть когда произведение нескольких множителей равно нулю. При этом пользуемся правилом: «Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю». О том, что другие множители при этом не теряют смысла, еще не упоминаю, так как считаю, что это еще нецелесообразно.

Пример:         у(15у-24)(3у-0,9)=0

                у=0 или 15у-24=0 или 3у-0,9=0

                               15у=24            3у=0,9

                             у=24:15           у=0,9:3

                             у=1,6                 у=0,3

Ответ: 0; 1,6; 0,3.

1.5 В конце 6 класса встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения, когда условие задачи удобно оформить в виде таблицы. Покажем это на примере следующей задачи: «В одной корзине было в 3 раза меньше яблок, чем в другой. Когда в первую корзину добавили еще 25 яблок, а из второй взяли 15 яблок, то в обеих корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

Пусть х (яблок) было в корзине 1, тогда 3х (яблок) было во 2 корзине. Стало в 1 корзине (х+25) яблок, а во 2 корзине – (3х-15) яблок. Известно, что яблок стало в обеих корзинах поровну.

Составим уравнение:         х+25=3х-15,

                                х-3х=-15-25,

                                -2х=-40,

                                х=-40:(-2),

                                х=20; 20 яблок было в 1 корзине,

20∙3=60 яблок было во 2 корзине.

Ответ: 20 яблок и 60 яблок.

        Думается, что здесь, кстати, будет следующая задача: «Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?».

        - Вот сколько, - отвечает Пифагор, - половина изучает математику, четверть – природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще 3 женщины.

        Сколько учеников у Пифагора?

Пусть х учеников у Пифагора, тогда (1/2)х учеников изучает математику, (1/4)х учеников изучает природу, (1/7)х учеников проводит время в размышлении. Известно, что есть еще 3 женщины. Составим уравнение:

       Ответ: 28 учеников.

1.6  При изучении темы «Пропорции» мы снова встречаемся с решениями уравнений.   Пропорцией называется равенство отношений, которые можно записать              а : в = с : d    или      .

     Для пропорции справедливы следующие утверждения:

  - Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов,       a ∙ d = b ∙ c.

  - Крайние члены пропорции можно поменять местами, т.е.   .

  - Средние члены пропорции можно поменять местами, т.е. .

   С помощью пропорций решают различные задачи. Например:

 Из 2000 зерен пшеницы взошло 1800 зерен. Чему равен процент всхожести семян?

                 2000 зерен составляют 100%,

                 1800 зерен составляют  х %.

         Составляем и решим пропорцию:          2000:1800=100:х

                                                                             2000∙х=1800∙100

                                                                             х=1800∙100:2000

                                                                              х=90; 90%- процент всхожести.

              Ответ: 90%.

(7-9 класс)

         Таким образом, к 7 классу у учащихся формируются навыки решения рассмотренных уравнений и задач.

2.1  В 7 классе вводится понятие «линейное  уравнение с одной переменной». Им называется уравнение вида ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа.

          Исследуется вопрос о количестве корней уравнения. С учащимися в процессе обсуждения этого вопроса заполняется таблица.

        Решение линейного уравнения с одной переменной:

     Делаем вывод, что  линейное уравнение с одной переменной может не иметь корней, иметь один корень или иметь бесконечное множество корней.

        Показываем, что решение всех ранее рассмотренных уравнений сводится к решению линейного уравнения с одной переменной. Здесь же вводится понятие равносильных уравнений.

        Для решения задач с помощью уравнений сопоставляются полученные результаты с условием задачи, отбрасываются посторонние корни, если таковые появились, ученики осмысленно подходят к решению задачи. Это видно на примере такой задачи: «Можно ли расположить 158 книг на трех полках так, чтобы на 1 полке было на 8 книг меньше, чем на 2, и на 5 книг больше, чем на 3».

        1 полка - ?, на 8 книг меньше,     на 5 книг больше

        2 полка - ? книг.                                                                158 книг

        3 полка - ? книг.

Пусть х книг на 1 полке, тогда (х+8) книг на 2 полке и (х-5) книг на 3 полке. Известно, что всего 158 книг. Оформим эти условия в таблицу:

Составим уравнение:

                х+х+8+х-5=158,

                3х+3=158,

                3х=155,

                х=51,2/3.

        По смыслу задачи х – натуральное число, а корень уравнения – дробное число. Значит, расставить книги таким образом невозможно.

      Ответ: такая расстановка книг невозможна.

Учащиеся в своей работе используют алгоритм решения задач с помощью уравнения:

Обозначим неизвестную величину переменной;

Выразим через нее другие величины;

Найдем зависимость между ними и на основании  этой зависимости составим уравнение;

Решим уравнение;

Найдем ответ на вопрос задачи;

Проверим правильность решения задачи;

Запишем ответ.

  При изучении темы «Многочлены» рассматриваем следующие уравнения.

8-5х(х-7)=1-5х2,                        2)        0,5(2у-1)-(0,5-0,2у)+1=0,

8-5х2+35х=1-5х2,                                у-0,5-0,5+0,2у+1=0,

-5х2+35х+5х2=1-8,                        1,2у=0,

35х=-7.                                        у=0

х=-0,2                                        Ответ: у=0.

Ответ: х=-0,2.

3)               При решении этого уравнения обе его                                                                        части  домножим  на Н.О. К. (9;6)=18. Оформляем решение.

Таким образом:

        2(2х-10)-3(х+5)=36,

        4х-2-3х-15=36,

        х=36+17,

        х=53.

Ответ: х=53.

2.2 Впервые решаем неполные квадратные уравнения, пока можно и не называть их так, а только показать способы решения их с помощью разложения на множители.

Приемы разложения на множители:

-вынесение общего множителя за скобки;

-способ группировки;

-использование формул сокращенного умножения.

Иногда добавляются искусственные приемы: представление одного из слагаемых в виде некоторой суммы.

Например, рассмотрим следующие уравнения:

х-10х2=0,

х(1-10х)=0,

х=0 или 1-10х=0

                х=0,1

Ответ: 0; 0,1.

(х-5)2-4х2=0,                                

(х-5х-2х)(х-5+2х)=0,

(-х-5)(3х-5)=0,

-х-5=0 или 3х-5=0

х=-5            х=5/3

Ответ: -5; 5/3.

3)        (6х-1)(6х+1)-4х(9х+2)=-1,                        4)     81х2+4=0

        36х2-1-36х2-8х=-1,                                         81х2=-4

        -8х=0                                                                Ǿ 

        х=0                                                          Ответ: Ǿ 

        Ответ: 0.

   Как видно, в рассмотренных уравнениях используются формулы сокращенного умножения. Обращаю внимание, что, кроме линейных уравнений, существуют квадратные и кубические уравнения, которые легко решаются при знании всех ранее изученных способов решения уравнений.

Например, решим уравнение:

х3-х=0,                                2) 5х4-20х2=0

х(х2-1)=0,                            5х2(х2-4)=0

х(х-1)(х+1)=0                            5х2(х-2)(х+2)=0

х=0 или х-1=0 или х+1=0            х2=0 или х-2=0 или х+2=0

                  х=1           х=-1           х=0         х=2               х=-2

Ответ: 0; 1                                Ответ: 0; 2.

3)  х3-2х2-х+2=0                        4) 2а3+3а2=2а+3        

(х3-2х2)-(х-2)=0                      а2(2а+3)-(2а+3)=0        

х2(х-2)-(х-2)=0                            (2а+3)(а2-1)=0

(х-2)( х2-1)=0                            (2а+3)(а-1)(а+1)=0        

(х-2)(х-1)(х+1)=0                    2а+3=0 или а-1=0 или а+1=0

х-2=0 или х-1=0 или х+1=0      а=-1,5         а=1            а=-1

х=2           х=1            х=-1           Ответ: -1,5; 1.

Ответ: 2; 1.

2.3 Вслед за линейными уравнениями с одной переменной рассматривается линейное уравнение с двумя переменными.        

         Линейным уравнением с 2 переменными называется уравнение вида ах+bу=с, где а, b, с – некоторые числа, х и у – переменные.

        Решением уравнения с 2 переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Показываю, что с помощью свойств уравнений можно решить такое уравнение, выразив одну переменную через другую. При этом можно найти бесконечное множество решений такого уравнения. Рассмотрим уравнение:

        5у-2х=1,

        5у=1+2х,

        у=0,2+0,4х

если х=10, то у=0,2+0,4∙10=4,2

если х=5, то у=0,2+0,4∙5=2,2

Ответ: (10; 4,2), (5;2,2),…-решения уравнения.

        Обычно при изучении этой темы предлагаются задачи на:

определение, является ли данная пара чисел решением уравнения;

составление линейного уравнения, если известно какое-нибудь решение этого уравнения;

нахождение определенного количества решений.

        Впервые в 7 классе мы встречаемся с графиком линейного уравнения    с 2 переменными. Им называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Так как ученики к этому моменту уже знакомы с линейной функцией и ее графиком, то достаточно в таком уравнении выразить переменную «у» через переменную «х» и показать равносильность исходного и полученного уравнений. Далее делаем вывод, что графиком линейного уравнения с переменными х и у; в котором коэффициент при «у» не равен нулю, является прямая.

 Рассматриваем частные случаи уравнения ах+bу=с, делаем  выводы:

Если а=0, b≠0, то графиком является прямая у=с/b, параллельная оси Ох.

2) Если b=0, а≠0, то графиком является прямая х=с/а, параллельная оси Оу.

3) Если а=0, b=0 и с=0, то любая пара чисел (х,у) является решением уравнения, а графиком является вся координатная плоскость.

Если а=0, b=0, а с≠0, то уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки.

        Здесь уместно вспомнить все о графике линейной функции и применить все эти знания при работе с графиком уравнения. Считаю, что здесь надо обратить внимание на различие графика функции уравнения, так как в дальнейшем ученики путают эти понятия и делают ошибки при работе с ними.

2.4 После этого можно создать проблемную ситуацию, решение которой приведет к системе двух линейных уравнений с двумя переменными.

        Задача: Сумма двух чисел равна 60, а разность равна 10. Найти эти числа. Пусть х – первое число, у – второе число. Известно, что их сумма равна 60, то есть х+у=60, а разность равна 10, то есть х-у=10. Для решения задачи найдем такие числа х и у, которые удовлетворяют каждому  уравнению одновременно, то есть надо найти общее решение этих уравнений. Говорят, что надо решить систему уравнений:

        х+у=60,

        х-у=10

Пара значений (35,25) служит решением каждого уравнения, так как 35+25=60 и 35-25=10 – верные равенства.

Эта пара чисел является одновременно решением системы, а одновременно – и решением задачи.

        Решение системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

        Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

        Показываю, что существуют различные способы решения системы:

Графический способ – с использованием графиков уравнений.

        При этом записываем с учениками алгоритм графического способа решения системы:

выразить в каждом уравнении системы переменную «у» через переменную «х»;

в одной системе координат построить графики уравнений системы;

найти точку пересечения графиков и в ответе записать ее координаты.

Из курса геометрии вспоминаем различные случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости: 2 прямые могут

а) совпадать, то есть иметь бесконечное множество общих точек,

б) пересекаться, то есть иметь одну общую точку,

в) быть параллельными, то есть не иметь общих точек вообще.

Исходя из этого делаем с учениками вывод о том, что система 2х линейных уравнений с 2 переменными может иметь единственное решение, не иметь решений, иметь бесконечное множество решений. Уместно полученные результаты оформить в таблицу.

        Решение системы линейных уравнений с 2 переменными

        у=k1х+b1,

        у=k2х+b2,

        Напоминаю, что k есть угловой коэффициент прямой, и от него зависит положение прямой в координатной плоскости.

Кроме  графического способа решения систем существуют алгебраические. К ним относится способ подстановки:

        2х+у=12,

        7х-2у=31        

Выразим из 1 уравнения «у» через «х»:

                у=12-2х

подставим полученное значение «у» во 2 уравнение системы:

                7х-2(12-2х)=31

решим полученное уравнение с 1 переменной:

                7х-24+4х=31

                11х=31+24

                11х=55

                х=5

подставим в равенстве у=12-2х вместо х число 6, получим:

                у=12-2∙5

                у=2

пара (5;2) есть решение данной системы.

     Ответ: (5;2)

Записываем алгоритм решения систем способом подстановки:

выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

подставить полученное выражение вместо этой переменной во второе уравнение системы;

решить полученное уравнение с 1 переменной;

найти соответствующее значение второй переменной;

записать в ответе полученную пару чисел, учитывая, что на первом месте ставится переменная, стоящая в алфавите впереди другой.

Например, (а;b), (m;n), (р;q), (х;у) и т.д.

3. Следующий способ решения систем – способ сложения.

При решении системы этим способом мы переходим от данной системы к равносильной ей системе. Рассмотрим систему(1):

    х-6у=17,

       5х+6у=13;                

Замечаем, что в данной системе коэффициенты –6 и 6 при у являются противоположными числами. Сложим почленно левые и правые части уравнений и  получим уравнение с 1 переменной: 6х=30. Заменив на это уравнение одно из уравнений  системы, (обычно это бывает то уравнение,  которое имеет большие коэффициенты), получим систему (2):

х-6у=17,

6х=30;

Эта система равносильна данной.

Решим эту систему следующим х способом:

 х-6у=17,        5-6у=17,        -6у=12,        у=-2,        

 х=5                х=5                х=5                х=5

Пара (5;-2) - решение 2 системы, а значит, и данной системы.

Ответ: (5;-2).

Рассмотрим еще системы:

2)  3х+2у=5,

     -5х+2у=45;

Замечаем, что в этой системе коэффициенты при «у» равны. Вычтем почленно из 1 уравнения 2, получим: 8х=-40.

Заменим 2 уравнение системы на полученное, получим новую систему:

 3х+2у=5,        которая равносильна данной. Решим ее:

 8х=-40

 3х+2у=5,                -15+2у=5,                2у=20,                у=10,        

 8х=-5;                х=-5;                        х=-5;                        х=-5.

Ответ: (5;-10).

5х+11у=8,        ∙(-2)                -10х-22у=-16,  

10х-7у=74                        10х-7у=74

                                        -29у=58

 5х+11у=8,                 <=>        5х-22=8,        <=>          5х=30,         <=>        х=6,

 -29у=58;                        у=-2;                        у=-2;                        у=-2.

Ответ: (6;-2).

7а+4b=90,         ∙3        <=>        +        21а+12b=270,

5а-6b=20;        ∙2                        10а-12b=40;

                                                31а=310

 5а-6b=20,         <=>         5а-6b=20,         <=>        -6b=-30,         <=>   b=5,

 31а=310;                 а=10;                        а=10;                            а=10.

Ответ: (10;5).

         Записываем с учащимися алгоритм решения системы двух линейных уравнений способом сложения:

умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

сложить почленно левые и правые части полученных уравнений системы;

решить полученное уравнение с 1 переменной;

найти соответствующее значение второй переменной;

записать в ответе полученную пару чисел.

        При решении задач с помощью систем уравнений поступаем таким образом: обозначаем некоторые неизвестные числа буквами и, используя условие задачи, составляем систему уравнений, решаем эту систему, истолковываем результат в соответствии с условием задачи.

1.5  В курсе алгебры 8 класса мы встречаемся с квадратными уравнениями.

        Квадратным называется уравнение вида ах2+bх+с=0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа (а≠0).

        Если в данном уравнении  хотя бы один из коэффициентов в или  с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Исследуем все возможные случаи для неполного квадратного уравнения и выводы оформляем в таблицу. Решение неполного квадратного уравнения:

Рассматриваем на конкретных примерах все 3 случая:

6х2-24=0,        2) 3х2-16х=0,                        3) –8х2=0,

6х2=24,                     х(3х-16)=0,                              х2=0,

х2=4,                     х1=0 или 3х-16=0                         х=0

х1,2=2                                 х2=

Ответ: 2          Ответ: 0;                        Ответ: 0

        После решения неполных квадратных уравнений показываю учащимся, как решаются квадратные уравнения выделением квадратного трехчлена, представленного в виде квадрата двучлена. Для успешного усвоения этой темы необходимо повторить с учащимися формулы сокращенного умножения. Рассмотрим следующие уравнения:

х2+8х+16=0,             2) х2+8х+12=0,

(х+4)2=0,                        (х2+8х+16)-16+12=0,

х+4=0,                              (х+4)2-4=0;

х=-4.                     1 способ: ((х+4)-2)((х+4)+2)=0

Ответ: -4.                               (х+2)(х+6)=0

                                              х+2=0 или х+6=0

                                              х1=-2 или х2=-6

                            2 способ: (х+4)2=4                    

                                             х+2=±2

                                        1) х+4=2 или 2) х+4=-2

                                              х=-2                      х=-6

                              Ответ: -2;-6.

3)   х2-6х+12=0,                        4) х2-10х+19=0,                

(х2-6х+9)-9+12=0,                    (х2-10х+25)-25+19=0

(х-3)2+3=0,                            (х-5)2=6,

                                                         х-5=±,

                                                    х=5,

Ответ:                                х=5- или х=5+

                                               Ответ: 5.

        Далее показываю на конкретных примерах, что решать квадратное уравнение выделением квадрата двучлена не всегда бывает рационально, а поэтому появляется необходимость найти формулу, дающую возможность решить любое уравнение вида ах2+bх+с=0, где а0. Поделим обе части уравнения на а, получим: , выделим квадрат двучлена:

;     ,  т.е.

  или  .

Выражение b2-4ас договорились называть дискриминантом и обозначать буквой D, то есть D=b2-4ас. Так как D оказался под корнем четной кратности, то от его знака зависит существование корней исходного квадратного уравнения.

    Рассмотрим все возможные случаи и оформим полученные результаты в   таблицу. Решение квадратного уравнения ах2+bх+с=0:

Таким образом, делаем вывод, что квадратное уравнение может иметь не более двух корней.

        Считаю необходимым доказать формулу корней квадратного уравнения для случая, когда b – четное число и когда а=1, то есть уравнение является приведенным.

Пусть b – четное число, то есть b=2к, тогда уравнение примет вид ах2+2кх+с=0, тогда D=4к2-4ас=4(к2-ас).

        Если D0, то х1,2=.                                         

        В этом случае к2-ас=D1, поэтому проще вычислять не D, а D1, получаем следующие формулы:

D1=к2-ас;   ,   если D1>0       и       х =, если   D1=0.              

Пусть а=1, то есть получим приведенное уравнение, х2+рх+q=0.

Тогда D=р2-4q,  и  х1,2=   ,  если D0  и  х =, если D=0                                      

        Многие задачи в физике, технике, математике решаются с помощью квадратных уравнений. Вновь повторяем, что к решению задачи надо подходить осмысленно и сопоставлять ответ  с условием задачи. Еще раз обращаю внимание на рациональное решение квадратных уравнений.            Часто многие квадратные уравнения можно решить устно, применяя теорему Виета и следствия из нее.

Теорема Виета: 1. Если квадратное уравнение ах2+bх+с=0 имеет корни, то их сумма х1+х2=-b/а, а произведение х1х2=с/а, и наоборот.

                     2. Если приведенное квадратное уравнение х2+рх+q=0 имеет корни, то х1+х2=-р, х1х2=q, и наоборот.

Следствия из теоремы Виета:

10. Если а+b+с=0, то х1=1, х2=с/а.

Доказательство:

b= -(а+с); -b=а+с;

D=b2-4ас=(-(а+с))2-4ас=а2+2ас+с2-4ас=а2-2ас+с2=(а-с)20;

х1,2= (-bD)/2а=(а+с(а-с))/2а;

х1=(а+с+а-с)/2а=1;

х2=(а+с-а+с)/2а=с/а.

Например:         2х2+51х-53=0;

                2+51+(-53)=0;

                х1=1; х2=-53/2;

20. Если а-b+с=0, то х1=1, х2=-с/а.

     Доказательство аналогично.                                

При изучении теоремы Виета в 8 классе и при повторении в 11 классе ученики с удовольствием слушают знаменитое стихотворение:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова?

В числителе с, в знаменателе а,
И сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе в, в знаменателе а.

Однако, этот способ становится уже практически неприменимым, если уравнение имеет дробные корни: не так просто подобрать два числа, сумма которых равна  -, а  произведение . Для преодоления возникающей трудности используется известный прием, позволяющий свести задачу к нахождению целых корней вспомогательного уравнения.

Используемый прием состоит в следующем. Пусть требуется решить квадратное уравнение ах2+вх+с=0. Умножив обе части данного уравнения на а, перепишем его в виде (ах)2+в(ах)+ас=0, ах=у. В полученном уравнении

у2+ву+ас=0,    у1+у2=-в, т.е. у1+у2=(х1+х2)а, а у1∙у2=ас, т.е. у1у2=(х1х2)а2. Теперь видно, что для решения исходного уравнения ах2+вх+с=0 достаточно решить вспомогательное квадратное уравнение у2+ву+ас=0 и его корни разделить на а.

Для практического применения этого приема сформулируем его как инструкцию: «перебросить» коэффициент в свободный член, найти корни нового уравнения и разделить их на а. Покажем это на конкретном примере:

1)                  6х2+х-15=0,

Запишем вспомогательное уравнение   у2+у-90=0.Это уравнение имеет корни у1=-10 и у2=9. Следовательно, исходное уравнение имеет корни х1= и х2=.                   Ответ:  .

2)                 12х2+13х+3=0,

                    у2+13у+36=0,

                    у1=-4   и   у2=-9

                    х1=         и   х2=.

Ответ:  

 2.6 В 8 классе мы впервые встречаемся с дробно-рациональными уравнениями. Ими называются уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями.

        Рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями, называется целым рациональным уравнением.

        Рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются дробными выражениями, называется дробно-рациональным уравнением.

Объясняю решение таких уравнений на следующем примере:

                         ОДЗ: (у+2)(у2-2у+4)≠0

                                                               у≠-2

            3у2-6у+12-4у-8=2,                3у2-10у+2=0,                        

                                                      D1=25-3∙2=19                                         

       Ответ:

Затем записываем алгоритм решения дробно-рациональных уравнений:

найди общий знаменатель всех дробей;

заменить данное уравнение целым, умножая обе его части на общий знаменатель.

3. решить полученное целое уравнение.

4. исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

        Так же, как и в предыдущих классах применяем уравнения при решении задач, тождественных преобразований выражений, еще раз показываем, что уравнения есть средство для решения более сложных задач.

  Начало 9 класса посвящено изучению квадратичной функции. При рассмотрении квадратного трехчлена вспоминаем выделение квадрата двучлена, а затем учимся разлагать квадратный трехчлен на множители по формуле ax2+bx+c=a(x-x1) (x-x2), где x1 и x2 – корни данного квадратного трехчлена. При этом пользуемся решением квадратного уравнения. Полученные знания затем используем при решении неравенств методом интервалов. С помощью квадратного уравнения учимся решать уравнения 3,4 и т.д. степеней. При этом используем метод  введения новой переменной:

 (x2-5x+4) (x2-5x+6)=120,

Пусть x2-5x+4=y, тогда x2-5x+6=y+2

Получим уравнение y(y+2)=120,

у2+2у-120=0. По Т.Виета y1=10, у2=12

Делаем обратную замену:

Если у=10, то х2-5х+4=10, х2-5х-6=0, по теореме Виета х1=6. х2=-1

Если у=-12, то х2-5х+4=-12, х2-5х+16=0, но это уравнение корней не имеет.

Ответ: х=6;х=-1

2.7  Биквадратные уравнения – это уравнения вида ax4+bx2+c=0 (а≠0), которое является квадратным относительно х2.  Решаем это уравнение, делая замену.

 Например,         5х4-8х2+3=0.

Пусть х2=у, причем у0, тогда получим уравнение 5у2-8у+3=0. По следствию из теоремы Виета получаем у1=1, у2=3/5. Делаем обратную замену: 1) х2=1            2) х2=0,6

х1,2=1            х3,4=

     Ответ: 1, 

Расширяется понятие системы уравнений с двумя неизвестными, так как в системе присутствуют уравнения не только линейные. Однако, способы решения этих систем те же: а) графический; б) подстановка; в) сложение.

        На новый виток по уровню сложности “поднимаются” задания, “растут” и ученики, расширившие за 5 лет свои познания об уравнениях, системах уравнений, способах их решений и применении своих знаний при решении других задач, в том числе, и на других предметах.

   I I I Уравнения в курсе алгебры                                                       и начал анализа (10-11 класс).

3.1        В начале 10 класса мы встречаемся с тригонометрическими уравнениями .

        Уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a называются тригонометрическими уравнениями.

        Решение этих уравнений в удобном виде позволяют записывать рассмотренные функции у=arcsinх, у=arccosх, у=arctgх, у=arcctgх. В результате решения тригонометрических уравнений выделяем общий и частный случаи, которые оформляем в таблицу.

При решении тригонометрических уравнений делаем следующие выводы, что проверка найденных решений необходима, если:

1) в процессе решения произошло расширение области определения уравнения в результате некоторых преобразований (освобождение от знаменателя, сокращение дроби, приведение подобных членов);

2) в процессе решения уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень;

3) при решении применялись тригонометрические тождества, левая и правая части которых имеют одинаковые области определения.

При решении уравнений используем следующие методы: 1) разложение на множители; 2) введение новых переменных.

В результате разложения на множители решение заданного уравнения сводится к решению совокупности уравнений. Это, в свою  очередь, означает, что после решения всех уравнений совокупности найденные семейства (множества) решений следует объединить. Объединяя семейства решений, иногда добиваются более компактной записи ответа. Объединение решений всегда удобно выполнить с помощью единичной окружности, на которую наносят семейства решений совокупности уравнений.

         При решении уравнений методом введения новых переменных следует помнить, что важную роль играет выбор функции, через которую выражаются остальные функции. Обращаю внимание, что при одном выборе такой функции получается иррациональное уравнение, а при другом рациональное. Показываю некоторые правила, облегчающие выбор подстановки: 1) если cosx входит в уравнение лишь в четных степенях, то, заменяя всюду cos2x на 1-sin2x, получим рациональное уравнение относительно sinx. 2) если sinx входит в уравнение лишь в четных степенях, то, заменяя sin2x на 1- cos2x, получим рациональное уравнение относительно cosx .

      --    2cos2x+5sinx=4.

После замены  cos2x  на 1-sin2х  получим квадратное уравнение                  2sin2x-5sinx+2=0. а это уравнение равносильно объединению уравнений:

    <=>    

               Ответ:    

Уделяю особое внимание однородным уравнениям.

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называется уравнение вида аsinx +bcosx =0.

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называется уравнение вида аsin2x +bsinx cosx +сcos2x =0.

Показываю, что такие уравнения решаются следующим образом:

1) показываем, что значения х, при которых cosx=0, не является решениями этих уравнений;

2) делим  обе части уравнения на cosx≠0 в 1-ом случае и на cos2x≠0 во втором случае;

3) в результате получим такие рациональные уравнения:

аtgx +b=0 и аtg2x +btgx+с=0;

эти уравнения решаются заменой у=tgx.

Кроме того, полезно познакомить учащихся с подстановкой, позволяющей свести к рациональному любое уравнение вида R(cosx; sinx)=0.

Эта подстановка U= tgx/2.

Если x≠ +2n, где nєZ, то  ,  .

Эта подстановка называется универсальной. Но после этой подстановки необходимо проверять, не являются ли числа вида х=+2n, где nєZ, решениями данного уравнения.

    --     sinx+7cosx=5. На примере этого уравнения показываю, что уравнения  можно решать различными способами.

       1 способ   Решим его с помощью универсальной подстановки.

                   , решив это уравнение, находим

Теперь нужно решить объединение двух  уравнений:

Проверка показывает, что значение х =π+2πm не удовлетворяет уравнению.

       2способ  Разделим обе  части уравнения на , получим

Так как   то существует такое значение α, что , где    -вспомогательный угол. Теперь уравнение можно переписать следующим образом:

        , откуда  

Так как   то окончательно получаем решение уравнения:

     3 способ  Используем формулы двойного угла:

     sin2x=2sinx∙cosx,   cos2x=cos2x-sin2x, а так же sin2x+cos2x=1.

Получим однородное уравнение: .

Делим обе части уравнения на 2cos2≠0.  И решаем получившееся квадратное уравнение:     И опять получаем объединение двух уравнений            

      Ответ:        .

2.2  Имея в старших классах 6 часов в неделю, я включаю в учебный план тему «Функции и их графики». В разделе «Линейная функция» рассматриваются уравнения с модулем. При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы:

  -раскрытие модуля по определению;

  -возведение обеих частей уравнения в квадрат;

  -метод разбиения на промежутки.

По определению:    

Решим несколько уравнений.  

      1. ‌│2х-3│=х+1.       Это уравнение равносильно объединению двух систем:

           Ответ:       х=4, х=2/3.

     2.  │2х-3│ =х-2.       Применим для решения второй способ.

     Ясно, что если х-2<0, то уравнение не имеет корней, так как │2х-3│≥0. В случае, когда х-2≥0, обе части уравнения неотрицательны и поэтому, возводя обе части в квадрат и освобождаясь таким образом от модуля, получим следующую систему:          или    А эта система решений не имеет.                  Ответ: корней нет.

  3.  │3-х│-│х+2│=5.       В данном случае более предпочтительным является метод разбиения на промежутки.

     Нанесем на числовую прямую значения х, при которых 3-х=0 и х+2=0, т. е. х=3 и х=-2.                   -2                          3

 Числовая прямая при этом  разобьется на промежутки (-∞;-2), [-2;3], (3;∞). Решим уравнение на каждом из этих промежутков.

        или          

Решением первой системы является промежуток (-∞;-2), из второй системы х=-2, а третья система не имеет решения. Объединяя решения трех систем, получаем решение уравнения.

    Ответ: (-∞;-2]     

 3.3        В 11 классе при рассмотрении темы “Показательная и логарифмическая функции” после знакомства учащихся со свойствами этих функций учу решать показательные и логарифмические уравнения.

         При решении показательных уравнений удобно использовать два основных метода:

переход от уравнения аf(х)=аg(х) к уравнению f(х)=g(х).

Введение новых переменных. Иногда применяются искусственные приемы.

Например, решим уравнение:        

 1)      <=>х2-2х=3х-6        <=>        х2-5х+6=0

Ответ: 2;3                                         по теореме Виета х1=2, х2=3.

2)  ,                ,                          ,

-х=-2х+3,

х=3

Ответ: 3

По основному логарифмическому тождеству  получим уравнение, равносильное данному:

Ответ:

51+2х+61+х=30+150х,

5∙52х +6∙6х=30+6х ∙25х,

5∙25х+6∙6х-6х∙25х-30=0, 5∙25х+6∙6х-6х∙25х-5∙6=0,

5(25х-6)+6х(6-25х)=0,

(25х-6)(5-6х)=0,

Ответ: 2log56, log65.

5). 4х+2х+1-24=0,

    22х+2∙2х-24=0. Пусть у=2х, причем, у>0, получим уравнение:

    у2+2у-24=0. По теореме Виета у1=-6, у2=4.

    у1=-6 – посторонний корень, значит, у=4.

   Делаем обратную замену

   2х=4, отсюда х=2.

   Ответ: 2.

6) 27х-2∙9-9=0,

(3х)3-2∙ (3х)2-9=0. Пусть у=3х, причем у>0, получим уравнение:

у3-у2-9=0.

Так как все его коэффициенты – целые числа, то целые корни этого уравнения являются делителями числа -9. Находим, что у=3, тогда у3-у2-9=(у-3)(у2+у+3)=0,

  ,              у=3, делаем обратную замену 3х=3, т.е. х=1.                

Ответ: х=1.

7). 6∙32х-13∙6х+6∙22х=0        6х=3х∙2х,

    6∙32х-13∙2х∙3х+6∙22х=0, так как 6х≠0, то поделим обе части уравнения на 6х, получим:

     Пусть (3/2)х=у, причем у>0, получим уравнение:

    6у-13+6∙1/у=0                ∙у≠0,

    6у2-13y+6=0,  где    у=3/2 и у=2/3.

Делаем обратную замену:

(3/2)х=2/3,        2) (3/2)х=3/2,

х=-1                     х=1

Ответ: 1.

3.4        При решении логарифмических уравнений во многих случаях используем свойства логарифма произведения, частного, степени, корня. При этом необходимо помнить и об области определения логарифмической функции.

 Рассматриваем с учениками уравнения вида logаf(x)=logаg(x) и уравнения, сводящиеся к этому виду. Такие уравнения удобно решать следующим образом:                                          

    Решить уравнение f(x)= g(x), являющееся следствием данного уравнения, и выполнить проверку полученных корней.

3 основных метода:

а) метод потенцирования, то есть переход от уравнения logаf(x)=logаg(x) к уравнению следствию f(x)= g(x);

б) метод введения новых переменных;

в) метод логарифмирования, то есть переход от уравнения f(x)=g(x) к уравнению logаf(x)=logаg(x).

        Рассмотрим  решение таких уравнений  на  примерах:

log3(7-2х)= log3(х2-3х-5)

   ,<=>        то есть х1=-3.                                                                   

Ответ: х=-3.

2) lg(х+4)+lg(2х+3)=lg(1-2х)

    lg(х+4)(2х+3)=lg(1-2х)

Ответ: -1.

lg(х/10)= lgх –1, значит, получим уравнение: lg2х+lgх+1=, причем, lgх≠1, то есть х≠10.

Пусть у=lgх, получим у2+у+1=, у3+у2+у-у2-у-1=7, у3=8, у=2.

Делаем обратную замену: lgх=2, х=100.

Ответ: 100.

 Обращаю внимание учеников, что встречаются логарифмические уравнения вида logа(х)f(x)=logа(х)g(x) и уравнения, сводящиеся к этому виду. При решении таких уравнений можно пользоваться теми же методами.  Обращаю внимание, что к ОДЗ уравнения добавляются два условия: а(х)>0, а(х)≠1.

Тогда:

Рассмотрим уравнения:

logх+4(x2-1)=logх+4(5-х)

Ответ: х=2.

2)      

ОДЗ: х>0, х≠10, х≠5                  

1-logх5+1- logх10=0,

2- logх50=0,

logх50=2,

х2=50, х1,2=5. Кроме того, при х=1 получаем верное равенство.

Ответ: х1=5, х2=1.

В школьном курсе математики иррациональные уравнения встречаются очень часто. Поэтому при подготовке к выпускным экзаменам обращаю внимание на этот  вид уравнений.

        Иррациональными называются уравнения, в которых переменная стоит под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень. Основные методы их решения: 1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 2) метод введения новых переменных. Иногда применяются некоторые искусственные приемы. Обращаю внимание на то, что при решении могут появиться посторонние корни за счет того, что при возведении обеих частей данного уравнения в четную степень, мы получаем уравнение, которое не равносильно данному.

        Рассмотрим решение этих уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

1          ОДЗ    

1 способ:     ;

                      ;

                8х2+16х-24=961-186х+9х2;

                х2-202х+985=0;

                D1=9216, х1,2=101964

                х1=5, х2=197 – посторонний корень.

Ответ: х=5.

2 способ:         подбором получаем, что х=5, далее замечаем, что функция                   у= возрастает, а функция у=6- убывает на их области определения, значит, если они имеют общую точку, то она – единственная, то есть других корней у исходного уравнения нет.

Ответ: х=5.

        Покажем решения уравнений методом введения новых переменных на таких примерах:

х2+3-=1,5(х+4);

     х2+3-6-1,5х-=0;

     2х2-6-3х-2=0;

     2х2-3х+2-2-8=0;

        Пусть =у, причем, у≥0, тогда получим у2-2у-3=0. По теореме      Виета: у1=-2, у2=4.

у=-2 – посторонний корень, то есть у=4.

Делаем обратную замену: =4,        2х2-3х+2=16,

Заменим его уравнением t2-3t-28=0, t1=-4, t2=7, тогда х1=-4/2=-2, х2=7/2=3,5.

Ответ: х=-2; х=3,5.

        Системы показательных, логарифмических, иррациональных уравнений решаются с помощью рассмотренных ранее методов.

3.6  Так как на ЕГЭ часто встречаются задания с параметрами, то на спецкурсе я рассматриваю тему  « Уравнения  с параметрами».

  Пусть дано равенство с переменными х и а: f(x)=0. Если ставится задача для каждого действительного  значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f(х)=0 называется уравнением с переменой х и параметром а. Решить уравнение с параметром а – это значит для каждого значения а найти значение х, удовлетворяющее этому уравнению.

--   Линейные уравнения и приводимые к ним.

       (а2-9)х=а2+2а-3.

Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем уравнение в виде:     (а-3)(а+3)х=(а+3)(а-1)

     Если а=-3, то уравнение примет вид:   0∙х=0. Отсюда следует, что хR, т.е. решением уравнения является любое действительное число.

     Если а≠-3, то уравнение примет вид : (а-3)х=а-1, т.е. х=.

     Если а=3, то имеем 0∙х=2. Уравнение решения не имеет.

     Если а≠3, то уравнение имеет корень х=.

         Ответ:  а=-3,хR;  а=3, хØ; а≠-3;а≠3,х=

-- Квадратные уравнения и приводимые к ним.

      (а-5)х2+3ах-(а-5)=0

   Если а=5 ,то имеем линейное уравнение 15х=0, т .е. х=0.

   Если а≠5, то имеем квадратное уравнение, D=9а2+4(а-5)2>0 для любых а.

   И тогда уравнение имеет корни:  

         Ответ: а=5,х=0;  а≠5, х=

-- Иррациональные уравнения.

  Корень этого уравнения должен удовлетворять условиям: (1) х2+ах-2а≥0,

(2)   х+1≥0.

Возводим в квадрат обе части уравнения: х2+ах-2а=(х+1)2. Как видно, любой корень этого уравнения удовлетворяет условию (1), так как (х+1)2≥0. Следовательно, с учетом условия (2) имеем:    т.е. .

Если а=2, то 0∙х=5, т.е. хR. Если а≠2, то  При каких же а выполнено?    Решаем это неравенство:   (3а-1)(а-2)≥0, а≠2,

т.е.  (а-2)(а-⅓)≥0                                 +           ⅓           –          2    +    а

                                               Следовательно,  а≤-⅓ и а>2.

  Ответ: а≤⅓ и а>2 х=   ⅓<а≤2, хØ.

 --Показательные уравнения.

         ах+1=b3-х.    По определению показательной функции а>0, b>0.

  Если а=1, b=1, то хR.                Если а=1, b≠1, то b3-х=1, значит х=3.

  Если а≠1, b=1, то ах+1=1, значит х=-1.

  Пусть а≠1 и b≠1. Тогда прологарифмируем данное равенство по основанию а:

               х+1=(3-х)∙logab. т.е.     (1+logab)x=3logab-1.

  Если 1+logab=0, т.е. b=1/a (b≠1), то имеем 0∙х=-4, т.е. хØ.

  Если 1+logab≠0, т.е. b≠1/a (b≠1), то х=

 Ответ:  хR   при а=b=1;                              х=-1   при а≠1, b=1, а>0              х=3    при а=1, b≠1, b>0;                  х=   при

   -- Логарифмические   уравнения.

               logax2+2loga(x+2)=1

    ОДЗ:  а>0, а≠1, х>-2, х≠0, т.е. х.

  Преобразуем данное уравнение:  logax2+loga(x+2)2=logaa. Отсюда х2(х+2)2=a, т.е. │х│(х+2)=.

    Если -2<х<0, то уравнение примет вид –х(х+2)= т.е. х2+2х+=0. Отсюда

      при , т.е. 0<а<1. Оба корня лежат в промежутке (-2;0).            

    Если х>0, то уравнение принимает вид  х(х+2)=, т.е. х2+2х-=0.  Отсюда

   . Корень . Корень  при условии, что а>0.

     Ответ:   при 0<а<1 ;

                   при а>1.

  -- Тригонометрические уравнения.

         tg│x-2│=a

   ОДЗ:  cos│x-2│≠0.  т.е. │x-2│≠  т.е.  

  Решаем исходное уравнение:   │х-2│=arctga+πn, n€Z.

  Так как │х-2│>0, то arctga+πn≥0.

    Если а≥0, то n=0,1,2,3,…             Если а<0, то n=1,2,3,4,…

   Из │х-2│=arctga+πn следует, что х=2±(arctga+πn). Найденное решение входит в ОДЗ.

     Ответ:   х=2±(arctga+πn). n=0,1,2,3,…   при a≥0;

                   х=2±(arctga+πn). n=1,2,3,…      при a≥0.

        В данной работе были рассмотрены различные виды уравнений из школьного курса математики. Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что основными общими методами, используемыми при решении уравнений любого вида являются следующие:

а) замена уравнения h(f(x))=h(g(x))  уравнением f(x)=g(x).

Данный метод применяется:

при решении показательных уравнений, когда переходим от уравнения      аf(x)= аg(x) (а>0, а≠1) к уравнению f(x)=g(x).

при решении иррациональных уравнений, когда переходили от уравнения

       к уравнению f(x)=g(x).

при решении логарифмических уравнений, когда переходили от уравнения logaf(x)= logag(x)  к уравнению f(x)=g(x).

Этот метод можно применять только в том случае, когда у=h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу.

Если у=h(x) – немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней.

б) метод разложения на множители:

        Суть этого метода заключается в следующем: уравнение f(x)∙g(x)∙h(x)=0 можно заменить совокупностью уравнений:

f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0.

Решив уравнение этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения  исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

в) метод введения новой переменной:

        Суть метода проста: если уравнение f(x)=0 удалось преобразовать к виду p(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную u=g(x), решить уравнение  p(u)=0, а затем решить совокупность уравнений:

g(x)=u1; g(x)=u2;… g(x)=un, где u1, u2,… un – корни уравнения p(u)=0.

        Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но “ощущается”, а иногда проявляется лишь в процессе преобразований. Следует помнить, что, решая уравнение, не нужно торопиться начинать преобразования, сначала надо подумать, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. Если же ввели новую переменную, то следует решить полученное уравнение относительно новой переменной до конца, то есть до проверки корней (если это необходимо), и только потом возвратиться к исходной переменной.

г) функционально-графический метод:

        Идея графического метода решения уравнения f(x)=g(x) проста и понятна: нужно построить графики функций у= f(x), у=g(x) и найти точки их пересечения – корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней.  В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие-либо свойства функции. Если, например, одна из функций у=f(x), у=g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.

   В результате изучения курса математики учащиеся должны:

-- понимать, что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики;

-- правильно употреблять термины «уравнение», «система», «корень уравнения», «решение системы»,  понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить  уравнение, систему»;

-- решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы уравнений с двумя переменными;

--  решать текстовые задачи с помощью составления уравнений.

IV   СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др. Математика/Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений, 6-е издание. М.: Мнемозина, 1998.

 Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др. Математика/Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений, 5-е издание. М.: Мнемозина, 1997.

 А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа/Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений, 2-е издание. М.: Мнемозина, 2001.

 Алгебра и начала анализа/Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений, 8-е издание. Под редакцией А.Н. Колмогорова    М.: Просвещение, 1998.

 Алгебра/Учебник для 7 кл. средней школы. Под редакцией    С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1989.

 Алгебра/Учебник для 8 кл. средней школы. Под редакцией    С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1994.      

 Алгебра/Учебник для 9 кл. средней школы. Под редакцией    С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1997.

 Программы общеобразовательных учреждений/Математика. М.: Просвещение, 1994.

 Г.П. Бурдина. Размотай математический клубочек. // Математика в школе. 1992. № 2-3. Стр. 28.

М.Н. Зенина. Эта разноликая теорема Виета. // Математика в школе. 1992. № 2-3. Стр. 29.

В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович / Практикум по элементарной математике. Москва: Просвещение, 1991.

Д.Т.Письменный / Готовимся к экзамену по математике. Москва: Айрис,1996.

                                              V ПРИЛОЖЕНИЕ  № 1                                                                      

         ТЕСТ К ЗАЧЕТУ ПО ТЕМЕ «ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

            ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА».

1.Решить уравнение:           .

       а) –2               б) 3             в) 6               г) нет верного ответа

2.Решить уравнение:        

       а) 6                 б) 1             в) –1            г)-6

3.Решить уравнение:         .

       а)1,5               б)-3             в)-3/4           г)-8/9

4.Решить уравнение:    

        а)1                 б)-1             в)3                г)                                                                              

5.При каких значениях х значения выражений       и х+1 равны.

        а)-2               б)2               в)1               г)  нет верного ответа

6.При каких значениях х значения выражений х+2 и   равны.

        а) 3                б)-3             в)-1               г)1

7.Найдите наибольший корень уравнения:    

        а)-5                б)5              в)4                г)-4

8.Найдите наименьший корень уравнения:    

         а)6                 б)-6             в)3                г)-3

9.Решите неравенство:            

         а)(-∞;0)          б)(1;∞ )         в)(-∞ ;0|      г) [0;1]

10Решите неравенство:          

          а)(-3;3)          б)(3;∞)         в)(-∞;-3) (3;∞)     г) нет верного ответа

11.Решите уравнение:    3 2х+1 +3х-4=0

                а)-1                б)1               в)0              г)1/3

12.Решите уравнение:         -8  3 х-1 – 9х=0

          а)-1                 б)1               в) 3/2          г) нет верного ответа

                                               ПРИЛОЖЕНИЕ № 2                

                    Презентация по теме «Уравнения в курсе средней школы».

                                             ПРИЛОЖЕНИЕ № 3                          Самостоятельная работа «Решение простейших тригонометрических уравнений»    

             1 вариант                                                 3 вариант        

1.    sin3x=                                            1.   sin4x=

2.   sin=1                                         2.   sin

3.    cosx=                                             3.   cosx=-1

4.    cos2x=-                                            4.   cos2x=1

5.    cos=1                                      5.   cos

6.    cos=0                                    6.   cos

7.    tg4x=-1                                              7.   tg3x=-

8.    tg                                    8.   tg=0

9.    tg                               9.   tg

             2 вариант                                            4 вариант

1.    sin4x=                                           1.   sin3x=-1

2.    sin=1                                       2.   sin=1

3.    cosx=                                               3.   cosx=

4.   cos3x=                                        4.   cos3x=0

5.   cos=1                                      5.   cos=-1

6.  cos=0                                     6.   cos

7.  tg2x=-1                                                7.   tg2x=-

8.   tg                                    8.   tg

9.   tg                                 9.    tg

                                   Ответы (проверяются с помощью перфокарты).

1)                                         19)  

2)                                              20)  

3)                                                    21)    

4)                                                  22)    

5)                                       23)  

6)                                       24)  

7)                                                   25)  

8)                                      26)  

9)                                                27)  

10)                                                 28)  

11)                                              29)  

12)                                              30)    

13)   πк                                                      31)  

14)                                           32)            

15)                                                 33)  

16)                                                34)    

17)                                        35)  

18)                                              36) , где к