Повторение. Логарифмические уравнения, выражения.
методическая разработка (алгебра, 11 класс) по теме
Курсовая работа написана после прохождения курсов повышения квалификации "Методика подготовки учащихся к сдаче экзамена в форме ЕГЭ" при МИОО в 2008-2009уч. году. Работа представляет собой методическую разработку для повторения материала при подготовке к экзамену в 11 классе.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
Повторение.Логарифмические уравнения,неравенства | 62.04 КБ |
Предварительный просмотр:
Департамент образования города Москвы
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ОТКРЫТОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Факультет повышения квалификации
педагогических кадров
слушателя факультета повышения квалификации
педагогических кадров отделения «Математика»
Группа МА -3
Киселёва Наталия Константиновна
Тема: «Итоговое повторение по теме «Логарифмические выражения , уравнения , неравенства» »
Заведующий кафедрой математики
к.ф.-м.н. Ященко Иван Валериевич
«_______»__________200__г.
____________________________
г. Москва – 2009г.
Содержание
1. Общие сведения 3
2.Справочные материалы 3
3. Дидактические материалы
3.1Логарифмические выражения 6
3.2Логарифмические уравнения 9
3.3Логарифмические неравенства 12
4.Задания высокого уровня сложности 15
5. Литература 17
1. Общие сведения.
Задания по теме «Логарифмы » занимают постоянное место в экзаменационных работах за курс полного общего образования . Так было при проведении экзамена в классической форме , такое же положение сохраняется и при проведении экзамена в форме ЕГЭ . В части 1 могут находиться задания на преобразование логарифмических выражений с помощью основного логарифмического тождества и основных свойств логарифмов . Часть 2 может содержать простые логарифмические уравнения, неравенства, ещё могут присутствовать задания на упрощение логарифмических выражений с использованием формул перехода к новому основанию . В части 3 некоторые из перечисленных заданий могут встречаться как один из этапов решения комбинированного задания . В части 1 демоверсии этого года ещё участвует задание с графиком логарифмической функции . Таким образом, с темой «Логарифмы» связано около 20% всего объёма материалов экзаменационной работы в 11 классе . А значит и на итоговое повторение этого материала необходимо отвести достаточное количество времени .
2.Справочные материалы
Определение. Пусть а>0 ,b >0 , а≠1 . Тогда logab есть такое число с , что ас = b.
Основное логарифмическое тождество :
.
Свойства логарифмов :
loga1=0 , a>0, a≠1
logaa = 1 , a>0, a≠1
loga(bc) = logab + logac , a,b,c >0, a≠1
loga = logab + logac , a,b,c >0, a≠1
loga(bx) = xlogab , a,b >0, a≠1
b = logab , a,b >0, a≠1, x≠1
loga = - logab, a,b >0, a≠1
Формулы перехода к новому основанию :
logab = , a,b,c > 0, a≠1, c≠1
logab = , a,b > 0, a≠1, b≠1
Пример1. Вычислить
Решение : = = 12
Пример2. Вычислить log636 + log232
Решение : log636 + log232 = 2 + 5 = 7
Пример3. Вычислить log354 – log32
Решение : log354 – log32 = log3 = log3 27 = 3
Пример4. Вычислить lg 2a + lg 5b , если lg (ab) = 3
Решение : lg 2a + lg 5b = lg (2a∙5b) = lg (10ab) = lg 10 + lg (ab) = 1 + 3 =4.
Логарифмические уравнения в части 1 решаются просто по определению логарифма . В конце обязательно нужна проверка полученных корней , т. к. под знаком логарифма должно стоять положительное число.
Пример 5. log4x = 3
x = 43
x = 64
Пример 6 . log4 ( 7 – x ) = 3
7 – x = 43
7 – x = 64
x = - 57
Часть 2 требует применения уже известных формул для преобразования логарифмических выражений , чтобы привести уравнение к простейшему виду и применить определение логарифма .
Пример 7. lg x + 2lg2 = 0,5 lg 49 – lg 5
lg x + lg22 = lg 490,5 – lg 5
lg x = lg 7 – lg 5 – lg 4
lg x = lg
x =
x = 0,35
Решение логарифмических неравенств всегда сводится к решению системы , т. к. под знаком логарифма всегда должно стоять положительное число . При переходе от логарифмического неравенства важно помнить , что знак неравенства меняется , если основание логарифма а меньше единицы :
х < ab , если 0<а<1 x>ab , если а>1
Пример 8. log2 ( 1 – 2x ) < 0
Ответ : ( 0 ; 0,5 )
Логарифмические выражения с переменной в основании логарифма в частях 1 и 2 КИМов практически не встречаются .
3. Дидактические материалы
Дальше в работе предлагаются несколько комплектов заданий , которые можно использовать и в качестве тренингов и в качестве проверочных работ на уроках данной темы.
3.1.Логарифмические выражения
Тест №1.
А1. Вычислите : ()3
1)8 2) 5 3)125 4) 512
А2. Вычислите :
1)6 2) -2 3) -23 4) 5
А3. Вычислите :
1)4 2) -3 3)2 4)
А4. Вычислите :
1)25 2) 5 3)3 4) 27
А5. Вычислите :
1)16 2) 2 3) 3 4) 4
А6. Вычислите :
1)0,5 2) 2 3) -2 4) – 0,5
Вычислите (№7- 11):
В7.
В8.
В9.
В10.
Ответы к Тесту № 1 - в конце раздела:
Тест №2
А1. Вычислите :
1)2,5 2) 4 3) 4,5 4) 6
А2. Вычислите :
1)2,5 2) -5,5 3) -6 4) 79,5
А3. Вычислите :
1)115 2) -30 3) -13 4) -7
А4. Вычислите : 5
1)56 2) 65 3)6 4) 30
А5. Вычислите :
1)5 2) 3) 20 4) 80
А6. Вычислите :
1) -16 2) -3 3) 4) 3
Вычислите (№7- 11):
В7.
В8.
В9.
В10.
Tест №3
Упростите :
1. -
2. (
3. ( lg 72 – lg 9 ) : ( lg 28 – lg 7 )
4.
5.
Вычислите :
6.
7.
8.
9. 5∙
Тест № 4.
Вычислите :
1.
2. 13)
3. 4
4. 0,5 -
5.
6.
7.
8.
9. 15∙
Ответы к Тесту № 1:
А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 | В7 | В8 | В9 | В10 |
2 | 2 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 | -8 | 2 | 3 |
Ответы к Тесту №2 :
А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 | В7 | В8 | В9 | В10 |
3 | 1 | 4 | 4 | 1 | 2 | 1 | 5 | 7 |
Ответы к Тесту № 3 :
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
3 | 19 | 1,5 | 6 | 10 | 864 | 30 | 0,5 | 17 |
Ответы к Тесту № 4 :
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
16 | 19 | 11 | 3,5 | 25 | 1 | 2 | -1,5 | 10 |
3.2. Логарифмические уравнения
Тест № 5
Решите уравнение:
1.
2. 3∙
3. 5∙
Назовите наибольший корень уравнения:
4.
5.
Решите уравнение:
6.
7.
8.
9.
Тест № 6
Назовите сумму корней уравнения:
1.
Решите уравнение:
2.
3.
4.
5.
6.
Назовите наименьший корень уравнения:
7.
Тест № 7
Решите уравнение:
1.
2.
Найдите произведение корней уравнения :
3.
Решите уравнение:
4.
5.
6.
Найдите произведение корней уравнения :
7.
Тест № 8
Найдите сумму корней уравнения:
1.
2.
3.
4.
5.
6. lg ( x + 3 ) = - lg ( 2x + 5 )
Ответы к Тесту № 5 :
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
36 | 1,3 | 14 | 5 | 3 | 2 | 5 | 2,75 | -2 |
Ответы к Тесту № 6 :
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | -1 | 2,5 | 17 | 16 | 7 | 0,1 |
Ответы к Тесту № 7 :
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
4,4 | 7 | - 4 | 1,5 | -1,4 | 0 | - 7,5 |
Ответы к Тесту № 8 :
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
6,5 | 12 | 14 | 6,5 | 28,5 | -2 |
3.3.Логарифмические неравенства
Тест № 9
A1. Укажите область определения функции у =
1) ( -∞; 5 ] 2) [5;+ ∞) 3) (0; 5] 4) (0;0,2]
A2. Решите неравенство
1) ( -17;+ ∞) 2) (-19;-17) 3) (-19;+ ∞) 4) (-∞;-17)
A3. Решите неравенство
1) ( 9;+ ∞) 2) (9;12) 3) (12;+ ∞) 4) (-∞;12)
A4. Решите неравенство
1) ( -∞;-24] 2) (-∞;8) 3) [-24;8) 4) [-24;+∞)
A5. Решите неравенство
1) ( 2;+ ∞) 2) (2;3) 3) (-∞;3) 4) (3;+∞)
A6. Решите неравенство
1) ( ;+ ∞) 2) (-∞; 3) (-1,5; 4) нет решений
А7. Найдите число целых отрицательных решений неравенства
lg(x+5) ≤ 2 – lg 2
1) 5 2) 4 3) 10 4) ни одного
А8 . Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства
1) 3 2) 0 3) 1 4) 4
Тест №10
Сколько целых решений имеет неравенство на [ -1; 4 ]:
1.
2.
3. Найдите наибольшее целое решение неравенства
Сколько натуральных решений имеет неравенство на [ 1; 6 ]:
4.
5.
6.
Тест № 11
Сколько натуральных решений имеет неравенство на [ 1; 6 ]:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Тест № 12
Сколько целых решений имеет неравенство на ( -5; 7)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ответы к Тесту № 9 :
A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | А6 | А7 | А8 |
3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 4 | 2 | 2 |
Ответы к Тесту № 10 :
A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | 6 |
4 | 0 | 2 | 2 | 0 | 1 |
Ответы к Тесту № 11 :
A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | 6 |
6 | 0 | 0 | 0 | 2 | 3 |
Ответы к Тесту № 12 :
A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | 6 |
4 | 9 | 0 | 0 | 6 | 2 |
4.Задания высокого уровня сложности
1. Решить уравнение
Решение:
х+3 =2х +5
х = -2
Проверяем подстановкой в исходное уравнение , получаем верное числовое равенство.
Ответ : -2
2. Решите уравнение
Решение :
1) Чтобы выражение имело смысл , должны выполняться условия:
2)
34-33х = (4-3х)2
9х2 + 9х - 18 = 0
х2 + х - 2 = 0
х1= -2 , х2 = 1
3) Проверяем корни подстановкой в систему (А) . Корень х2 = 1не подходит .
Ответ : -2
3. Найдите значение функции в точке максимума :
f(x) =
Решение:
1) D(f ) :
2)
3) Тогда на D(f ) выполняется
f(x) = =
4) Исследуем полученную функцию g(x) с помощью производной.
,
-4x(
х1= 0 , х2 = 1, х3= - 4
+ - + -
-4 0 1
Для функции g(x) получили xmax= - 4 и xmax= 1 .
5) Но xmax= - 4 не удовлетворяет D(f ) . Значит для функции f(x) существует единственный xmax= 1 .
6) Вычислим f(1) = g(1) = 8 - 4 -1 = 3 .
Ответ : 3
Литература .
1. Алгебра и начала анализа: сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы/ И.Р. Высоцкий , Л.И. Звавич, Б.П. Пигарев и др.; Под ред. С.А. Шестакова.- М.: Внешсигма-М, 2003.
2. Единый государственный экзамен 2008. Математика . Учебное –тренировочные материалыдля подготовки учащихся /ДенищеваЛ.О. и др . - ФИПИ-М.: Интеллект-Центр, 2007.
3.Математика . ЕГЭ шаг за шагом . ЕГЭ- 2009: учебно-методическое пособие/ Мальцев Д.А. , Мальцев А.А. , Клово А.Г. - Ростов н/Д : Издатель Мальцев Д.А.; - М.: НИИ школьных технологий, 2008.
4.Математика – абитуриенту. В.В. Ткачук. - 9-е издание., исправленное и дополненное. М.: МЦНМО , 2002.
5. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы. 11 класс/ Г.В. Дорофеев , Г.К. Муравин , Е.А. Седова . – 5-е изд.- М.: Дрофа , 2002.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Мастер-класс "Использование современных технологий на уроках повторения в 11 классе по теме "Логарифмы и логарифмические уравнения"
Обобщение и систематизация изученного материала по теме "Логарифмы и логарифмические уравнения " в 11 классе....
Тема 15. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМАМ 9-14: "Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения. Показательные неравенства. Преобразования и вычисления логарифмических выражений. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства".
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител...
Дидактический материал по темам: "Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы", "Показательная функция. Показательные уравнения, системы и неравества"
Тренировочные задания по темам:«Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и системы»«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы»Данный дидак...
Презентация к уроку: Повторение.Решение логарифмических уравнений
Материал данного урока может быть использован при закреплении материала , а также при заключительном повторении и подготовке к экзамену...
Повторение. Логарифмические и показательные выражения, уравнения и неравенства.
Презентация к уроку...
Контрольная работа по алгебре 10 класс за 1 полугодие "Логарифмические выражения, показательные и логарифмические уравнения и неравенства"
В работе содержится материал из Открытого банка заданий ЕГЭ...
Повторение 11 класс Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств
Рассматривается материал повторения решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств...