Элективный курс для 10-11 классов "Элементы теории игр".
элективный курс по алгебре (10, 11 класс)

Занятие №1.

Тема занятия. Игры со стратегиями, или как играть, чтобы не проиграть.

Цель занятия. Привлечь внимание учащихся к курсу и математике, развить интерес, научить находить выигрышные стратегии.

Оборудование. Полоски клетчатой бумаги с 15 – ю клетками для каждого ученика.

Ход занятия. 

1. Организационный момент.

2. Объяснение нового материала.

В начале занятия учитель рассказывает о курсе, его целях и задачах; говорит о форме отчётности после прохождения курса.

Учащиеся разбиваются на пары и играют в игру «Кто первым назовет число 100».

Играют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Второй прибавляет к названному числу любое целое число от 1 до 9 и называет сумму, к этой сумме первый вновь прибавляет любое целое число от 1 до 9 и называет новую сумму, и т. д. Выигрывает тот, кто первым назовет число 100.

Дать учащимся возможность поиграть, а затем поставить задачу: какие числа должен подбирать второй игрок, чтобы всегда выигрывать, независимо от числа, которое предлагает первый игрок.

Затем идёт обсуждение. Нетрудно обнаружить способ игры второго, иначе говоря, стратегию второго, которая обеспечивает ему победу: «добавлять до числа, кратного 10». Если, к примеру, первый назвал 4, второй прибавляет 6 и называет сумму 10. Если первый прибавит 9 и назовёт сумму 19, второй прибавит 1 и назовёт 20. Ясно, что как бы ни играл начинающий, второй при такой стратегии назовёт первым число 100. если он хоть раз ошибётся, то этой стратегией неминуемо воспользуется первый и победит.

Далее учащиеся записывают в тетрадях определение. Способ игры, обеспечивающий выигрыш одному из партнёров в любом случае, как бы ни играл его противник, называется выигрышной стратегией – это и есть секрет успеха, то есть «ключ к победе», обладая которым можно выиграть у любого сколь угодно сильного противника.

Игра №2. «Поставь на ноль».

Возьмём полоску клетчатой бумаги и занумеруем клетки числами 0, 1, 2, …, 14. На одной из 15 – ти клеток стоит фишка. Двое игроков по очереди передвигают фишку влево на 1, 2, 3 или 4 клетки. Проигрывает тот, кому некуда ходить.

Дать учащимся поиграть, затем предложить задание: при каком начальном положении фишки выигрывает начинающий, а при каком его партнёр?

Это задание идёт на дом.

4. Итоги занятия. 

Занятие №2.

Тема занятия. Игры со стратегиями.

Цель занятия. Научить находить выигрышные стратегии.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение нового материала.

Провести обсуждение игры «Поставь на ноль».

Начальное положение фишки, при котором начинающий выигрывает, назовём выигрышным и соответствующие ему клетки отметим знаком «+». Остальные клетки для начинающего назовём проигрышными и отметим знаком «−». Расставлять плюсы и минусы начнём с нуля. В этой клетке ставится знак «−», так как если фишка стоит на нуле, начинающему некуда ходить.

В клетках 1, 2, 3 и 4 ставим «+», так как если фишка стоит на этих клетках начинающий выигрывает одним ходом, ставя фишку на ноль.

Клетка 5. Если фишка стоит в этой клетке, то, как бы ни пошёл начинающий фишка после его хода окажется в клетках 1, 2, 3 или 4. Его партнёр пойдёт на ноль и выиграет. Значит клетка 5 проигрышная.

Клетки 6, 7, 8, 9 – выигрышные. Начинающий может передвинуть фишку в клетку 5 и тем самым поставить своего противника в проигрышное положение.

Точно так же клетка 10 – проигрышная, из неё начинающий может попасть в клетки 6, 7, 8, 9, выигрышные для противника.

Клетки 11, 12, 13 и 14 – выигрышные, а клетка 15 – проигрышная и так далее.

Ясно, что начинающий в любом случае выиграет, если каждый раз будет ставить фишку на клетку с номером, делящимся на 5. Он сможет это сделать, если вначале фишка стоит на клетке с номером не кратным 5. В противном случае этой стратегией может воспользоваться противник.

4. Итоги занятия.

Домашнее задание.

1. Игра Боше.

На столе лежат 15 спичек. Два игрока берут поочерёдно со стола спички. За один ход игрок может взять 1, 2 или 3 спички. Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку.

2. Игра дат.

Первый игрок сообщает какую–нибудь дату января. Каждый игрок на своём ходе называет более позднюю дату, увеличивая каждый раз или календарную дату в месяце, или порядковый номер месяца, но не то и другое одновременно. Первый, кто доберётся до 31 декабря, выигрывает.

Занятие №3

Тема занятия. Основные понятия теории  игр.

Цель занятия. Ввести основные понятия теории игр.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение нового материала.

Занятие проходит в форме диалога. Учащиеся с помощью учителя дают определения основным понятиям теории игр, записывают их в тетради.

Теория игр – математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых принятие решения зависит от нескольких участников, или математическая теория конфликтных ситуаций.

Конфликтная ситуация  - ситуация, где налицо две стороны, преследующие противоположные цели (столкновение, противоборство целей, интересов).

Отличие игры от конфликта – ведение счёта по определённым правилам.

Правила игры – система условий, регламентирующих возможные варианты действий обеих сторон; объем информации каждой стороны о поведении другой; последовательность, чередование ходов, а также результат или исход игры.

Игрок – участник конфликтной ситуации.

Ход игры – выбор одного из предусмотренных правилами игры вариантов.

Личный ход – сознательный выбор одним из игроков одного из возможных в данной ситуации ходов и его осуществление. Например, в шахматах, шашках – любой ход игрока зависит от предыдущих ходов.

Случайный ход – выбор из ряда возможностей, осуществляемых не решением игрока, а каким – либо механизмом случайного выбора. Например, бросание костей, монеты, раздача карт и т. д.

Игра с полной информацией – это игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает результаты всех предыдущих ходов, как личных, так и случайных. Например, «крестики - нолики».

Стратегия игрока – совокупность правил однозначно определяющих выбор при каждом личном ходе данного игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

Оптимальная стратегия – такая стратегия, которая обеспечивает игроку наилучшее положение в данной игре, то есть максимальный выигрыш.

Игра с нулевой суммой – это игра, в которой сумма выигрышей всех игроков равна нулю, то есть каждый игрок выигрывает только за счёт проигрыша других.

Антагонистическая игра – игра со строгим соперничеством, с противоположными интересами, это есть игра с нулевой суммой.

Коалиция – совокупность игроков (два и более), объединенная в игре по некоторому признаку.

Кооперация – это наличие, как коалиций, так и обмен информацией между игроками в процессе игры и (или) до её начала.

4. Итоги занятия.

Домашнее задание. Разобрать и выучить основные понятия теории игр.

Занятие №4.

Тема занятия. Классификация игр.

Цель занятия. Ввести классификацию игр, проконтролировать усвоение основных понятий теории игр.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Объяснение нового материала.

Классификация игр:

1. По количеству игроков. Различаются игры двух лиц (два участника игры) и игры n лиц (n>2).
2. По количеству стратегий. Если каждый из игроков имеет конечное число стратегий в игре, то игра называется конечной. В противном случае – бесконечной.
3. По соотношению интересов участников. Игры с нулевой суммой, игры с ненулевой суммой.
4. По возможности взаимодействия участников. Коалиционные, бескоалиционные и кооперативные игры.
5. По количеству ходов. Если после одного хода каждого игрока игра заканчивается и происходит распределение выигрышей, то игра называется одношаговой. В противном случае игра называется многошаговой.

Оставшуюся часть занятия посвятить контролю усвоения теоретического материала. Например, можно предложить такие задания:

Продолжить определение:

Теория игр – это математическая дисциплина, исследующая …

Конфликтная ситуация – это такая ситуация, где…

Задания с пропусками.

Правила игры – это система ___________, регламентирующих возможные варианты действий обеих сторон.

Отличие игры от конфликта – это _____________.

Чем отличается антагонистическая игра от игры с нулевой суммой?

Что такое игра с полной информацией?

3. Итоги занятия.

Домашнее задание. Выучить весь теоретический материал.

Занятие №5.

Тема занятия. Способы описания игры.

Цель занятия. Познакомить учащихся со способами описания игр, разобрать на примерах.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение нового материала.

Способ описания игры предполагает рассмотрение всех возможных стратегий каждого игрока и определение платежей, соответствующих различным возможным комбинациям стратегий всех игроков.

Игру, описанную таким образом, называют игрой в нормальной форме. Игра двух лиц с нулевой суммой задаётся следующими условиями:

1. Имеются два игрока, стратегии одного из которых расположены по строкам (первый игрок), а другого по столбцам (второй игрок).
2. Каждый игрок выбирает одну из своих стратегий, независимо от другого игрока: первый одну из m стратегий, второй одну из n.
3. Если первый игрок выбирает стратегию i, а второй стратегию j, то первый игрок получает выигрыш , который интерпретируется как платёж от второго игрока.

Такую игру описывают с помощью матрицы

                                           Игрок 2

                     Игрок 1.

Матрица содержит выигрыши первого или проигрыши второго игрока.

Для многошаговых (позиционных) игр существует ещё один способ описания – с помощью дерева игры, то есть конечной совокупности вершин (точек) и соединяющих их рёбер, не образующих замкнутых циклов, и имеющей (k + 1) вершину, одна из которых называется начальной позицией игры, а остальные - конечными позициями. В каждой конечной позиции определены выигрыши всех игроков. Каждый игрок имеет конечное число ходов и на каждом ходу осуществляет выбор из конечного числа альтернатив.

Пример. Первый и второй игроки одновременно и независимо друг от друга показывают 1, 2 или 3 пальца. Выигрыш или проигрыш (в денежных единицах) равен общему количеству показываемых пальцев. Если это количество чётное, то выигрывает первый игрок, а второй ему платит. Если же оно нечётное, то выигрывает второй игрок, а первый ему платит. Требуется построить платёжную матрицу.

У каждого игрока имеется 3 стратегии: показать 1, 2 или 3 пальца.

                      Игрок 2

 Игрок 1.    Вспомогательная таблица .

4. Итоги занятия.

Домашнее задание. Проанализировать игру и составить платёжную матрицу.

Задача. Два игрока А и В, не глядя друг на друга, кладут на стол по монете, вверх гербом или вверх цифрой, по своему усмотрению. Если игроки выбрали одинаковые стороны, то игрок А забирает обе монеты, иначе их забирает игрок В.

Решение. Игра состоит только из двух ходов, наш ход и ход противника, оба личные. Игра не принадлежит к играм с полной информацией, так как в момент хода, выполняющий его игрок не знает, что сделал другой. У каждого игрока две стратегии. Будем считать выигрыш равным 1.

              орёл  решка

Занятие №6.

Тема занятия. Способы описания игры.

Цель занятия. Научить составлять платёжные матрицы.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Решение задач.

Проанализировать игру и составить платёжную матрицу.

Задача №1. Два игрока А и В имеют по две карты: первый - красную и черную пятёрку; второй – черную и красную тройку. Игроки одновременно показывают одну из своих карт. Если же карты одинакового цвета, то игрок А выигрывает разность очков на картах; если же карты разного цвета, то разность очков выигрывает игрок В.

Решение.

               чер3  кр3

Задача №2. Скупой пассажир размышляет в салоне автобуса: купить билет или нет. Если пассажир купит билет, а проверки не будет, он считает себя потерявшим 7 рублей; если же будет проверка, то он удовлетворён и не чувствует материального ущерба. За безбилетный проезд пассажир должен заплатить контролёру 50 рублей; если же проверка не состоится, то безбилетник сэкономил 7 рублей и считает эту сумму прибылью.

Решение.

                            контролёр

                        проверяет  не проверяет

пассажир

Задача №3 (задача Вильямса).

После напряжённого трудового дня вы спешите домой и вдруг внезапно вспоминаете, что у Марины сегодня день рождения. А может быть, и нет. Все магазины уже закрыты, но торгуют цветочные лавки. Если её день рождения не сегодня, и вы не принесёте подарка, то положение будет нейтральным. Если у неё не день рождения, и вы примчитесь с букетом, то максимум, чем вы рискуете, - это подвергнуться проверке на трезвость. Если у неё действительно день рождения, и вы вовремя вспомнили об этом, то заслужите благодарность. Если же в этом случае вы не принесёте ничего – то вы человек пропащий. Как вам поступить?

Решение.

Оценим степень вашей удовлетворённости по пятибалльной шкале.

               Марина

            сегодня    нет

Вы  

4. Итоги занятия.

Домашнее задание.

Задача. Два игрока А и В по очереди называют целое число от 1 до 4 включительно. При этом игрок А выигрывает разность очков, если сумма чисел чётная. Если же сумма нечётная, то разность очков выигрывает игрок В. Выигрыш (в денежных единицах), игроки выплачивают друг другу.

Решение.

                            Игрок В

                              1     2       3      4

Игрок А    

Занятие №7.

Тема занятия. Способы описания игры.

Цель занятия. Закрепить навык составления платёжных матриц.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Решение задач.

Проанализировать игру и составить матрицу.

Задача №1. Дилемма заключённого.

Двух подозреваемых в тяжёлом преступлении берут под стражу и изолируют (во избежание сговора). Прокурор убеждён, что задержанные совершили тяжёлое преступление, но точных улик не имеет, поэтому каждый задержанный может либо признаться, либо не признаться.

1. Если оба не признаются, то им будет предъявлено обвинение в незначительном преступлении и оба получат незначительное наказание по одному году.
2. Если оба признаются, то они подлежат судебной ответственности, однако прокурор будет просить о смягчении наказания до 9 лет.
3. Если один признается, а другой – нет, то за сотрудничество ему смягчат наказание (даже простят), а другой будет наказан максимально.

Решение.

В качестве элементов платежной матрицы примем пары чисел (x, y).

                                          Первый заключённый

                                                               призн       нет

Второй заключённый  

Задача №2.

Энди увидел на противоположной стороне улицы человека, которому так неосмотрительно дал в долг до получки 50 долларов. С тех пор прошло много лет, и вот неожиданная встреча. Энди ринулся бы через дорогу наперерез должнику, но неподалёку маячила массивная фигура полисмена – блюститель порядка поглядывал то вправо, то влево: в этом месте переход улицы воспрещён. Энди быстро соображал, половина шансов за то, что удастся незаметно перебежать улицу. Но стоит ли бежать? Если полисмен заметит – 10 долларов штрафа. А должник тем временем уйдёт. Однако и долг неплохо бы получить. Как быть?

Решение.

                           Полисмен

                           заметил         нет

Энди  

Задача №3.

Торговый агент должен встретиться с иногородним клиентом и собирается лично вручить ему заказ на 3000 рублей. Если агент поедет поездом, то потеряет день на работе, который принёс бы ему 1500 рублей. Полет самолётом позволит сократить рабочий день, но если самолёт не полетит из–за тумана, то личная встреча с клиентом не состоится и день на работе будет потерян. В этом случае придётся говорить с клиентом по телефону, что уменьшит сумму заказа на 500 рублей. Какое решение должен принять агент?

Решение.

                                  погода  

                            туман      ясно

агент    

При полёте самолётом в случае тумана агент не потеряет день на работе, который принесёт ему 1500 рублей, и получит у иногороднего клиента заказ по телефону, что даст ещё 500 рублей, итого 2000 рублей.

Если при полёте самолётом будет ясная погода, то он успеет получить 1500 рублей дома и 3000 от иногороднего клиента, итого 4500.

В случае поездки поездом, независимо от погоды, он получит у иногороднего клиента заказ на 3000 рублей.

4. Итоги занятия.

Домашнее задание.

Задача. Студент готовится к зачёту. А на улице лето и друзья зовут на пляж. Если студент останется дома, и будет учить зачёт, то преподаватель поставит ему хорошую отметку, и можно идти на зачёт, ничего не боясь. Но преподаватель может поставить зачёт автоматом, и в этом случае пропускать поход на пляж было бы обидно. Как поступить бедному студенту?

Решение.

Оценим степень удовлетворённости студента по пятибалльной шкале.

                           преподаватель

                                автомат   нет

студент              

Если студент учит и преподаватель ставит зачёт автоматом, студент чувствует себя неудовлетворённым, так как на пляж он не пошел, хотя можно было и не учить.

Если же студент учит, а преподаватель не ставит ему автомат, то зачёт он получит, так как всё выучил, но на пляж не попадает, поэтому его настроение среднее.

Если студент не учит и преподаватель ставит зачёт автоматом, то это наилучший исход событий, и студент чувствует крайнюю степень удовлетворённости.

Ну а если студент не учит и преподаватель не ставит автомат, то зачёт он не получает, но зато хорошо отдохнёт с друзьями на речке.

Занятие №8.

Тема занятия. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса.

Цель занятия. Ввести новые понятия, проиллюстрировать их на примерах.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение нового материала.

Целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтных ситуациях, то есть определение оптимальной стратегии каждого из них. Оптимальной называется такая стратегия, которая при многократном повторе игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Сначала предположим, что мы выступаем на стороне первого игрока со стратегиями , 1≤i≤m, и делаем первый ход. Если мы выбираем стратегию, то второй игрок, являющийся разумным противником, будет стараться минимизировать наш выигрыш из множества возможных выигрышей, выбирая одну из стратегий, 1≤j≤n. Определим через =min.Здесь значком min (по j) обозначено минимальное значение данного параметра из всех возможных j. Выпишем числа  рядом с матрицей справа в виде добавочного столбца.

Естественно, из всех возможных стратегий  мы выберем ту, которая максимизирует наш гарантированный наименьший выигрыш

= max =maxmin .

 - называется нижней ценой игры; или максиминным выигрышем; или просто максимином. Та строка, где находится число , называется максиминной стратегией. При такой стратегии при любом поведении противника нам гарантирован выигрыш, во всяком случае, не меньше  - это гарантированный минимум.

Аналогичные рассуждения можно провести и за противника, так как противник заинтересован в том, чтобы обратить наш выигрыш в минимум. Он должен просмотреть каждую свою стратегию с точки зрения максимального выигрыша при этой стратегии. Поэтому внизу матрицы мы выпишем максимальные значения  по каждому столбцу. Определим через

=max .

Величина =min=minmax называется верхней ценой игры или минимаксом. Придерживаясь минимаксной стратегии, противник гарантирует себе следующее: чтобы мы ни предприняли против него, он, во всяком случае, проиграет сумму не большую, чем .

Пример. Дана матрица игры.

                            Игрок 2

Стратегия          №1  №2  №3  min

Игрок 1  

                   max   6     5     10

Как должен играть первый игрок? Если первый игрок выберет свою первую стратегию, то второй игрок, очевидно, выберет первую или вторую, поскольку в этом случае его потери будут минимальными – 4 единицы. Значение 4 является минимумом в первой строке. Легко видеть, что если первый игрок выбирает свою вторую стратегию, то второй выбирает третью, проигрывая при этом 1. Если первый игрок выбирает стратегию №3, то второй стратегию №2 с проигрышем равным 5. Первый игрок будет выбирать стратегию, обеспечивающую ему выигрыш максимального из этих значений. Мы показали, что первый игрок может гарантированно выиграть, по крайней мере, 5 единиц. Он понимает, что на большее он рассчитывать не может, так как, выбирая стратегию №2 , второй игрок обеспечивает выигрыш первого не более 5.

Если ==V, то V - называется ценой игры. Стратегии, на которых этот выигрыш достигается, называются оптимальными чистыми стратегиями, а их совокупность решением игры.

4. Итоги занятия.

Домашнее задание. Разобраться и выучить весь теоретический материал.

Определить цену и решение игры.

                             min

    1.

max  .

;(4;1) – решение игры.

                                min

    2.  

max

; (2;1) – решение игры.

Занятие №9.

Тема занятия. Цена игры. Чистые стратегии.

Цель занятия. Научить находить оптимальные стратегии.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Решение задач.

Задача №1. Вы решили поправить своё материальное положение и заняться торговлей фруктами (апельсинами, бананами и яблоками). Но на рынке у вас есть конкурент, торгующий теми же товарами. Вам известны возможные количества единиц каждого из его товаров, которые могут быть проданы при различных вариантах появления товаров конкурента на рынке. Эти данные образуют платёжную матрицу игры

.

Вам необходимы рекомендации по рациональному выбору вида товаров для продвижения их на рынок в условиях конкуренции, при котором обеспечивается получение наилучшего возможного результата – наибольшей вероятности продаж, что бы ни предпринимал конкурент.

Решение. Находим нижнюю и верхнюю цену игры:

==3. Следовательно, существует решение игры в чистых стратегиях – (2;2).

То есть вам необходимо применить свою вторую стратегию, тогда вы гарантируете себе продажи никак не меньше 3 единиц товара, независимо от действий конкурента.

Задание. Определить цену и решение игры.

1.  

     4   3   5   6

 Имеем ==3.

Оптимальная стратегия для первого игрока – вторая, для второго – тоже вторая. Решение игры - (2;2).

3.  ==7; (3;1) – решение игры.

4.  ==3; (3;1) – решение игры.

5.  ; ; . Следовательно, решения игры в чистых стратегиях нет.

6.  ; (1;4) – решение игры.

7.  ==2; (1;1) – решение игры.

8.  ==1; (1;1) – решение игры.

9.  ==2; (3;3) – решение игры.

10.  ==8; (3;3) – решение игры.

11.  ==7; (2;3) – решение игры.

4. Итоги занятия.

Домашнее задание. Определить оптимальные стратегии для игроков.

1.  [==3; (1;1) – решение игры.]

2.  [==2; (3;2) – решение игры.]

Занятие №10.

Тема занятия. Доминирование.

Цель занятия. Научить учащихся доминировать игры.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение нового материала.

Оптимальные стратегии легко находятся для небольших игр, но с ростом числа чистых стратегий вычисления становятся достаточно сложными. Доминирование строк и столбцов используется для уменьшения размерности игры.

Стратегия  игрока А называется доминирующей над стратегией, если в строке  стоят выигрыши не меньше, чем в соответствующих клетках строки .

Если все выигрыши строки  равны соответствующим выигрышам строки, то  называется дублирующей.

Если для какой-то стратегии есть доминирующая, то эту (доминируемую) стратегию (строку) можно отбросить, так как первый игрок стремится выиграть как можно больше.

Также доминирующие столбцы отбрасываются, так как второй игрок хочет отдать поменьше.

Пример. Выполнить доминирование платёжной матрицы

.

Решение. Первая строка доминирует четвёртую, значит, четвёртую можно отбросить. Получаем

.

Первый столбец доминирует второй, отбросим его (первый). Имеем

.

Первая строка доминирует последнюю .

Второй столбец доминирует третий .

Доминирование больше не выполняется.

Получили все стратегии недоминируемые. Вычислим верхнюю и нижнюю цену игры:=1, =2. Решения игры в чистых стратегиях нет. Доминирование чаще всего используют в играх с «природой».

Задание. Выполнить доминирование и где это возможно найти решение игры.

1.  =4, =5.

2. =2, =3.

3.=0, =2

4. =2, =3.

5. =1, =3.

6. =1, =3.

4. Итоги занятия.

Домашнее задание. Выполнить доминирование платёжных матриц, найти нижнюю и верхнюю цены игры

1. =3, =6.

2.  =2, =3.

Занятие №11.

Тема занятия. Самостоятельная работа.

Цель занятия. Проверить овладение учащимися понятийным аппаратом, умение решать задачи на пройденные темы.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Самостоятельная работа.

Вариант№1.

1. Постройте платёжную матрицу.

Новый прибор, разрабатываемый на одном из предприятий, предлагается оснастить предохранителем. Предохранитель гарантирует сохранность прибора на случай внезапного прекращения подачи электроэнергии. Стоимость предохранителя 50 рублей. Стоимость ремонта прибора при выходе его из строя (если не будет предохранителя) – 150 рублей. Стоит ли ставить предохранитель, ведь прекращения подачи электроэнергии может и не произойти?

Ответ.

                                          обстановка

                                           авария   нет  

2. Покажите существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий для матричной игры.

   6    5   9   10    10   10  

==5.  (3;2) – решение игры.

3. Выполните доминирование и найдите решение игры, если это возможно.

   = -3, = -2

Вариант №2.

1. Постройте платёжную матрицу.

Вы работаете и платите налоги, отдавая государству 1000 рублей. У государственной налоговой инспекции есть два возможных способа поведения. Один из них состоит в контролировании вашего дохода и взимании с него:

1. Налога в размере 1000 рублей, если доход заявлен и соответствует действительности.
2. Налога в размере 1000 рублей и штрафа в размере 500 рублей, если заявленный в декларации доход меньше действительного, или в случае сокрытия всего дохода.

Второй способ поведения инспекции – не контролировать доход налогоплательщика.

Ответ.

У вас есть три стратегии поведения:

1. Заявить о действительном доходе.
2. Заявить доход, меньше действительного, и, следовательно, налог будет меньше и составит 600 рублей.
3. Скрыть доход, тогда не надо будет платить налог.

                                                       Вы

                                               Действ. меньший скрываете

Инспекция        

2. Покажите существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий для матричной игры.

   5     4    8    9    9    9

==4; (3;2) – решение игры.

3. Выполните доминирование и найдите решение игры, если это возможно.

   = -1, = 0.

Домашнее задание. Повторить весь теоретический материал.

Занятие №12.

Тема занятия. Смешанные стратегии. Решение игры в смешанных стратегиях.

Цель занятия. Ввести новые понятия, показать решение игр в смешанных стратегиях.

Ход занятия.

1. Организационный период.

2. Объяснение нового материала.

Придерживаясь своей максиминной стратегии, мы при любом поведении противника заведомо гарантируем себе выигрыш, равный нижней цене игры . Возникает вопрос, нельзя ли гарантировать себе выигрыш больший, применять не одну единственную чистую стратегию, а чередовать случайным образом несколько стратегий?

Смешанные стратегии заключаются в случайном чередовании чистых стратегий.

Можно для каждой конечной игры получить решение, то есть пару таких (в общем случае смешанных) стратегий, что при применении их обоими игроками выигрыш будет равен цене игры.

Наша смешанная стратегия состоит в применении стратегий , ,  с вероятностями , , , причём ++=1. Будем обозначать эту стратегию = .

Аналогично смешанная стратегия противника =, где - вероятности, причём .

Любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение – пару оптимальных стратегий, в общем случае смешанных - (;) и соответствующую цену V. Пара (;) обладает следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Эта пара стратегий образует в игре некое положение равновесия: один игрок хочет обратить выигрыш в максимум, другой в минимум. Если V>0, то игра выгодна для нас, если V<0 – то для противника. Если V=0, то игра справедлива, одинаково выгодна для обоих участников.

Рассмотрим игру. Пусть решения игры в чистых стратегиях нет. Требуется найти оптимальную смешанную стратегию игрока А.

= .

Она отличается там, что каковы бы ни были действия противника, выигрыш будет равным V.

Пусть игра задана платёжной матрицей.

.

Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегию, а второй игрок – чистую стратегию, соответствующую первому столбцу платёжной матрицы, равен цене игры V

+=V.

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответствующую второму столбцу платёжной матрицы

+=V.

Учитывая, что +=1, получаем систему уравнений для определения оптимальных стратегий первого игрока и цены игры

Решая эту систему, находим , и V.

При определении смешанной стратегии второго игрока получаем, что при любой чистой стратегии первого игрока средний проигрыш второго равен V.

Пусть  =  - смешанная стратегия противника.

Решая , найдём  и V.

             3. Итоги занятия.

Домашнее задание. Разобрать и выучить новый материал; найти решение игры в смешанных стратегиях.

 []

Занятие №13.

Тема занятия. Смешанные стратегии.

Цель занятия. Научить учащихся решать игры в смешанных стратегиях.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Решение задач.

Задача. Банк заинтересован в покупке акций некоего акционерного общества. Стремясь сделать покупку как можно более выгодной, банк снабжает продавца информацией о реальной стоимости акций, которая может быть как правдивой, так и заведомо ложной. Продавец может, как поверить информации, так и не дать ей веры.

Условия задачи можно представить в виде платёжной матрицы, содержащей данные о величине возможной успешности сделки - приросте стоимости по отношению к вложенным средствам.

                        продавец акций

                          поверил   нет

Банк  

Необходимо выбрать такую стратегию банка, при которой результат окажется максимально возможным.

Решение.

=0,608, =1,000. Решение в чистых стратегиях невозможно. Составляем систему уравнений

Получим =0,588, =0,412; так как , =0,588,=0,412. Тогда V=0,769.

Смешанная стратегия банка = , то есть ему будет наиболее выгодно говорить правду.

Задание. Найти решение игр в смешанных стратегиях

1. [=0,5,=0,5, V=0,=0,5, =0,5].

2. [].

3.  [].

4.  [].

4. Итоги урока.

Домашнее задание. Найти решение игры в смешанных стратегиях

 [].

Занятие №14.

Тема занятия. Смешанные стратегии.

Цель занятия. Отработать навык нахождения смешанных стратегий.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Решение задач.

Задание. Найти решение игр в смешанных стратегиях.

1. [].

2. [].

3.[].

4.[].

5. []

4. Итоги занятия.

Домашнее задание. Найти решение игр в смешанных стратегиях.

1. []

2. []

Занятие №15.

Тема занятия. Игры с «природой».

Цель занятия. Научить находить оптимальные стратегии в условиях неопределённости.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение нового материала.

Ранее мы предполагали, что все участники игры имеют свои интересы. Однако так бывает далеко не всегда. Ситуации, когда нам либо ничего не известно об интересах второй стороны, либо эти интересы действительно отсутствуют (второй игрок – «природа»), характеризуются как ситуации принятия решений в условиях полной неопределённости (или игры с «природой»).

«Природа» понимается как некая действительность, мотивы проявления которой нам неизвестны.

Задача заключается в определении такой стратегии, которая при применении обеспечила бы первому игроку наибольший выигрыш. При этом большое значение имеет выбор специальных критериев, позволяющих оценивать то или иное действие.

Основные критерии выбора оптимальной стратегии рассматриваются на примерах.

Задача. Администрацией города получен целевой кредит на покупку пассажирских автобусов. Для его реализации был объявлен конкурс, в котором приняли участие пять фирм. Комиссия независимых экспертов провела исследование предложенных вариантов заказа автобусов по шести признакам. Эффективность использования вариантов с учётом баллов экспертов представлена матрицей

.

Решение.

Для выбора оптимальной стратегии варианта заказа автобусов рассмотрим следующие критерии.

1. Максиминный критерий Вальда.

Он отражает «принцип гарантированного результата», мы выбираем такую стратегию, которая максимизировала бы наш выигрыш в самой неблагоприятной для нас ситуации.

Вычислим минимальные значения по строкам (min), а далее из них выберем максимальное:

maxmin =max (3, 3, 2, 2, 4) =4,

то есть целесообразно использовать пятую стратегию. Иногда этот критерий называют «критерием крайнего пессимизма».

2. Критерий максимакса.

Этот критерий является в определённом смысле противоположным по своему смыслу предыдущему критерию. Он предполагает рассмотрение наиболее благоприятного для нас случая.

Вычислим максимальные значения по строкам (max), а далее из них выберем максимальное:

maxmax  =max (5, 4, 4, 5, 6) =6.

Рекомендуется пятая стратегия. Иногда этот критерий называют «критерием крайнего оптимизма».

3. Критерий Гурвица.

Он представляет собой целое семейство критериев, зависящих от некоторого параметра .

Вычислим максимальные и минимальные значения по строкам, а далее произведем их взвешивание с =0,5.

                               min   max               1-

Находим max (4; 3,5; 3; 3,5; 5) =5.

Рекомендуется применять пятую стратегию.

4. Критерий Сэвиджа.

Построим матрицу рисков. Для этого первоначально вычислим максимальные значения по столбцам.

  .

А теперь непосредственно матрицу рисков.

Далее вычислим максимальные значения по строкам и из них выбе-

рем минимальное:

minmax = min (3, 2, 4, 3, 1) =1.

Рекомендуется пятая стратегия.

5. Критерий Лапласа.

Вычислим среднее арифметическое по строкам:      

Теперь выберем максимальное значение среди средних арифметических:

max (4; 3,7; 3; 3; 4,5) = 4,5.

Рекомендуется пятая стратегия.

Рассматривая полученные результаты, эксперты пришли к заключению о необходимости рекомендовать администрации заказ автобусов пятой фирмы.

4. Итоги занятия.

Домашнее задание.

Найти оптимальные стратегии в условиях неопределённости

. .

Ответ. Рекомендуется одинаково часто применять вторую и четвёртую стратегии.

Занятие №16.

Тема занятия. Игры с «природой».

Цель занятия. Сформировать навык решения игр с «природой».

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания

3. Решение задач.

Задача. Строительство электростанции.

Возможно строительство четырёх видов электростанций: тепловые, приплотинные, бесшлюзовые, шлюзовые. Эффективность каждого из этих видов электростанций определяется сочетанием различных факторов, в том числе и факторов, зависящих от различных случайных явлений: погодных условий, режима рек, стоимости топлива и его перевозки, сейсмической обстановки района  и так далее. Экономическая эффективность каждого типа электростанций в зависимости от состояний природы задаётся платёжной матрицей.

Решение.

1. Критерий Вальда:max (2; 2; 3; 1) = 3  

Рекомендуются бесшлюзовые электростанции.

2. Критерий максимакса:max (5; 12; 10; 8) =12

Рекомендуются приплотинные электростанции.

3. Критерий Гурвица:

                       min      max

                     max = 7.

Рекомендуются приплотинные электростанции.

4. Критерий Сэвиджа:

       max                              

Матрица рисков . Находим min(8; 6; 5; 7) = 5.

Рекомендуются бесшлюзовые электростанции.

5. Критерий Лапласа.

      max = 6,25.

Рекомендуются бесшлюзовые электростанции.

Для строительства в данной местности рекомендуются бесшлюзовые электростанции, но вполне возможно и строительство приплотинных.

Задание. Найти оптимальные стратегии в условиях неопределённости.

1. Ответ. Рекомендуется применить третью стратегию.

 2. Ответ. Рекомендуется применить третью стратегию.

 3. Ответ. Рекомендуется применить первую стратегию.

4. Итоги занятия.

Домашнее задание. Найти оптимальные стратегии в условиях неопределённости.

1. Ответ. Рекомендуется применить третью стратегию.

2. Ответ. Рекомендуется одинаково часто применять вторую и третью стратегии.

Занятие №17.

Тема занятия. Повторение.

Цель занятия. Вспомнить весь пройденный материал, восполнить, если есть, пробелы в знаниях, подготовиться к зачётному занятию.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания

3. Решение задач.

На этом занятии обсуждаются вопросы восприятия математики как элемента общечеловеческой культуры, формирования элементов математического мышления, использования изученного математического аппарата для исследования окружающего мира, подводятся итоги.

№1. Составить платёжную матрицу.

Руководство универмага заказывает товар определённого вида. Известно, что спрос на товар данного вида лежит в пределах от 9 до 6 единиц. В случае если заказанного товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то имеется возможность срочно заказать и завезти недостающее количество. Если же спрос будет меньше наличного количества товара, то нереализованный товар придётся хранить на складе универмага. Требуется определить такой объём заказа на товар, при котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным завозом были бы минимальными. Расходы на хранение единицы товара составляют 1000 рублей, а по срочному заказу и завозу – 2000.

Решение.

                                   Спрос

                             1      2     3      4    

Универмаг    

№2. Покажите существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий для матричной игры.

1.  [, (1;2) – решение игры].

2.  [, (3;3) – решение игры].

№3. Выполнить доминирование.

№4. Выполнить доминирование и найти решение игры.

 [].

№5. Найти оптимальные стратегии в условиях неопределённости.

1. Ответ. Рекомендуется одинаково часто применять вторую и третью стратегии.

 2. Ответ. Рекомендуется одинаково часто применять вторую и третью стратегии.

4.Итоги занятия.

Домашнее задание. Повторить весь материал, подготовиться к зачёту.

Занятие №18.

Тема занятия. Зачёт.

Цель занятия. Проконтролировать усвоение пройденного материала.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Зачёт.

Каждый ученик получает по карточке с одним теоретическим вопросом и одной задачей. Например, карточки могут быть такими.

Карточка №1.

1. Классификация игр.

2. Найти оптимальные стратегии в условиях неопределённости.

.

Карточка №2.

1. Способы описания игр.

2. Выполнить доминирование и найти решение игры

.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 2

Элективный курс

«Элементы матричных игр».

Количество часов: 17

Учителя: Тонких Л. Н.

Рассмотрен  и рекомендован к утверждению на  заседании методического объединения учителей естественно-математического цикла

Протокол  от  «29» августа  2012 года   № 1

Руководитель методического объединения:                                         Голышкина Т.В.  

2012

Пояснительная записка.

Предлагаемый курс «Элементы матричных игр» рассчитан  на учеников 10 – 11 классов. Он опирается на базовый уровень владения математическими знаниями и требует дополнительно лишь введения понятия матрицы.

Данный курс достаточно универсален, имеет большую практическую значимость. Он рассчитан на учащихся, которые стремятся не только развивать свои навыки в применении математических преобразований, но, и рассматривают математику как средство получения дополнительных знаний о профессиях.

В рамках профильной подготовки учащихся 10 – 11 классов курс имеет целью в научно – популярной форме познакомить учеников с различными направлениями применения математических знаний, роли математики в общечеловеческой жизни культуре; ориентировать учеников в мире современных профессий, связанных с овладением и использованием математических умений и навыков; предоставить ученику возможность расширить свой кругозор в различных областях применения математики, реализовать свой интерес к предмету, проверить свои профессиональные устремления, утвердиться в сделанном выборе.

Особое внимание в курсе уделяется решению прикладных задач, чтобы учащиеся имели возможность самостоятельно создавать, а не только анализировать уже готовые математические модели. Эти задачи отличаются интересным содержанием, а также правдоподобностью описываемой в них жизненной ситуации. В них производственное содержание сочетается с математическим.

Данный курс имеет прикладное и образовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, намечает и использует ряд межпредметных связей.

Программа курса своим содержанием сможет привлечь учащихся 10 – 11 классов, которым интересна математика и её приложения и которым захочется познакомиться с применением методов и идей математики в практической жизни.

Основная цель курса состоит в формировании представления о математике как о теоретической базе, необходимой для применения во всех сферах общечеловеческой жизни. Выделяются следующие дополнительные цели:

1. обеспечить овладение учащимися знаниями по теме: «Элементы матричных игр»;
2. раскрыть роль матричных игр в современном мире.

Также необходимо привить учащимся навыки сознательного и рационального использования основ матричных игр в своей учебной и профессиональной деятельности.

Основные задачи курса:

1. Дать учащимся представление о возможном практическом применении матричных игр в современном мире;
2. Научить учащихся оперировать понятиями теории матричных игр и применять их при решении задач.

Исходя из задач курса определено содержание, которое представлено в тематическом планировании.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 2

Календарно-тематический  план

на   2012   учебный   год

             По  элективному курсу «Элементы матричных игр»

 Класс 10 уровень -  базовый

Учитель:_Тонких Людмила Николаевна

Количество  часов  в  неделю  по  учебному   плану -  1 час

Количество  часов  по  учебному   плану  на  учебный  год -  17 часов

Курс рассчитан на одно полугодие.

Рассмотрен  на  заседании   МО  естественно – математического цикла

Протокол  от  «29» августа  2012  года   № 1

Руководитель МО:                                       Голышкина Т.В.        

Календарно-тематическое планирование

Список использованной литературы

1. Фомина, Т. П. Элементы исследования операций и теории игр: Учебное пособие. 2-е издание, перераб. и доп. /Т. П. Фомина. ─М.:SPSL ─ «Русская панорама», 2006

2. Фомина, Т. П. Исследование операций и теория игр: Методические материалы для самостоятельной работы. /Т. П. Фомина. ─ Орел: Издательство ОРАГС, 2003

3. Лабскер, Л. Г. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: Учебное пособие. /Л. Г. Лабскер, Л. О. Бабешко. ─ М.: Дело, 2001

4. Абчук, В. А. Экономико-математические методы: элементарная математика и логика. Методы исследования операций / В. А. Абчук ─СПб.: Союз, 1999

5. Мулен, Э. Теория игр с примерами из математической экономики: Под ред. Н. С. Кукушкиной. Пер. с фр. О. Р. Меньшиковой. /Э. Мулен ─ М.: Мир, 1985

6. Шапкин, А. С. Математические методы и модели исследования операций: Учебник для студентов вузов / А. С. Шапкин, Н. П. Мазаева, 2-е изд. ─ М.: Изд.- торговая компания «Дашков и К», 2005

7. Афанасьев, М. Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: Учебное пособие для студентов вузов / М. Ю. Афанасьев, Б. П. Суворов. ─ М.: ИНФРА-М, 2003

8. Вентцель, Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология / Е. С. Вентцель. ─ М.: «Высшая школа», 2001

9. Протасов, И. Д. Теория игр и исследование операций: Учебное пособие / И. Д. Протасов. ─ М.: «Гелиос АРВ», 2003

10. Петросян, Л. А. Теория игр: Учебное пособие для студентов университетов / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. А. Семина. ─ М.: «Высшая школа»: «Книжный дом»: «Университет»,1998

11. Пономарев, Ю. П. Игровые модели: Математические методы, психологический анализ / Ю. П. Петросян ─ М.: Наука, 1991

12. Писарева, С. А. Образовательная среда профильного обучения: Учебно-методическое пособие для учителей / С. А. Писарева. Под ред. А. П. Тряпицыной. ─ СПб.: КАРО, 2005

13. Авво, Б. В. Социальное партнерство в условиях профильного обучения: Учебно-методическое пособие для администрации и учителей общеобразовательных учреждений / Б. В. Авво. Под ред. А. П. Тряпицыной. ─ СПб.: КАРО, 2005

14. Акулова, О. В. Информационная работа в условиях профильного обучения: Учебно-методическое пособие для учителей / О. В. Акулова. Под ред. А. П. Тряпицыной. ─ СПб.: КАРО, 2005

15. Гладкая, И. В. Основы профильного обучения и предпрофильной подготовки: Учебно-методическое пособие для учителей / И. В. Гладкая. Под ред. А. П. Тряпицыной. ─ СПб.: КАРО, 2005

16. Гутник, И. Ю. Организация педагогической диагностики в профильном обучении: Учебно-методическое пособие для учителей / И. Ю. Гутник. Под ред. А. П. Тряпицыной. ─ СПб.: КАРО, 2005

17. Крылова, О. В. Технологии работы с учебным содержанием в профильной школе: Учебно-методическое пособие для учителей / О. В. Крылова. Под ред. А. П. Тряпицыной. ─ СПб.: КАРО, 2005

18. Роботова, А. С. Элективный курс в профильной школе как введение в науку: Учебно-методическое пособие для учителей / А. С. Роботова. Под ред. А. П. Тряпицыной. ─ СПб.: КАРО, 2005

19. Степанова, М. В. Учебно-исследовательская деятельность школьников в профильном обучении: Учебно-методическое пособие для учителей / М. В. Степанова. Под ред. А. П. Тряпицыной. ─ СПб.: КАРО, 2005

20. Дымарская О. К вопросу о профилизации школы: О профильных школах // Высшее образование в России, 2002, №5, С. 46-54

21. Жафяров А. Ж. Вариант одиннадцатилетней профильной школы // Педагогика, 2000, №9, С. 46-49

22. Зубарева Е. Мультипрофильная школа // Народное образование, 2005, №7, С. 117-126

23. Короткова М. В. Становление профильной школы: Что можно взять из прошлого? // Преподавание истории и обществознания в школе, 2006, №3, С. 54-59

24. Арсланьян В. Психологические аспекты профильного обучения // Математика, 2007, №2, С. 14-15

25. Бусев В. Элективные курсы: вопросы и ответы // Математика, 2007, №2, С. 2-5

26. Дорофеев Г. В., Седова Е. А., Троицкая С. Д. Концепция профильного курса математики // Математика в школе, 2006, №7, С. 14-29