Программа элективного курса по математике для учащихся 10-11-х классов<<Методы решеня тригонометрических уравнений>>
элективный курс по алгебре (11 класс) по теме

Автор

Авторская программа элективного курса по математике для учащихся 10-11-х классов << Методы решения тригонометрических уравнений >>,

автор Толкачева Л.В.

Умения решать уравнения являются одним из показателей уровня математического развития, глубины изучения учебного материала. Тригонометрические уравнения имеют важное значение  в общем ряду всех видов алгебраических уравнений относительно тригонометрических функций неизвестного аргумента. Умение осуществлять поиск решения уравнения способствует формированию математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках . Важную  роль при  решении уравнений  имеет формирование алгоритмического мышления, воспитание умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые .

1. Пояснительная записка.

Элективный курс, с одной стороны поддерживает изучение основного курса математики. С другой  стороны направлен  на систематизацию знаний, в том числе и общих методов решения уравнений, реализацию внутри предметных связей. Способствует лучшему освоению базового курса математики,  служит для  внутри профильной дифференциации и раскрытия основных  закономерностей  построения  поиска решения математической задачи.

Основная функция учителя в данном курсе состоит в сопровождении учащегося  в его познавательной  деятельности, коррекции, помощи в извлечении из полученных ранее знаний тех, которые актуализируют в данном курсе .

Курс целесообразно изучать параллельно с изучением тригонометрии по основной программе, после изучения или при повторении и подготовке   к  единому государственному экзамену .

Цели курса :

- знакомство с различными методами и приёмами решения тригонометрических уравнений;

-формирование соответствующих умений при решении нестандартных тригонометрических  уравнений;

-систематизация опыта приобретенного при решении уравнений, обобщение различных подходов к поиску способов решений уравнений.

Задачи курса:

-интеграция знаний по разнообразию методов решения тригонометрических уравнений ;

-активизация познавательной деятельности учащихся ;

-повышение информационной и коммуникативной компетентности  школьников;

-решать нестандартные уравнения, используя специальные методические методы;

-производить прикидку и оценку результатов вычислений ;

-работать с различными источниками информаций;

-обосновать свою точку зрения ;

-демонстрировать свои личные достижения .

2.Учебно-тематический  план

3.Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий                       

3.Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий

3.1Простейшие тригонометрические уравнения Решение типовых заданий(2часа)

На первом занятии повторяются основные формулы корней простейших тригонометрических уравнений вида cosх=a ,  sinх=a , tgх=a , ctgх=а .В качестве расширения знаний учащихся предлагаются уравнения с дополнительными заданиями:

--найти наименьший ( наибольший) положительный  (отрицательный) корень уравнения;

--указать ближайший к заданному числу корень уравнения ;

--найти наибольшую длину отрезка ,внутри которого не содержится ни одного корня ;

--между какими корнями уравнения заключено заданное число .

Учащимся предлагаются различные способы выполнения дополнительных заданий; арифметический, алгебраический, геометрический .

Рассматриваются уравнения вида Т (f(х))=0,где Т означает одну из тригонометрических функций.

Для организации групповой, индивидуальной, домашней работы  можно использовать предлагаемый  дидактический материал.

Решить тригонометрические уравнения ,значит найти все его корни-все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению.

Все тригонометрические уравнения решаются сведением к одному из четырёх простейших .

3.2Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной(2часа)

На занятиях обобщаются и расширяются знания учащихся по решению тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

Путём преобразования тригонометрических  уравнений к виду ,удобному для обозначения отдельных тригонометрических функций (или их комбинаций) новой переменной .

Наряду со знакомыми подстановками сводящими, тригонометрическое уравнение к квадратному(T(f(x))=t,универсальная тригонометрическая подстановка) рассматриваются подставки:

-в уравнениях вида f(sinx±cosx, sinx× cosx)вводится подстановка cosx±sinx=t

-T(f(x)) ± =1

-обозначение аргумента одной из функций новой переменной.

К предложенному дидактическому материалу можно использовать задания из других учебных пособий.

3.3Использование метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений(2часа)

Cметодом разложения на множители учащиеся ознакомились в основной школе, решая алгебраические уравнения.

Суть этого метода состоит в следующем: если уравнениеf(x)=0 удаётся преобразовать к виду:f1(x)f2(x)…..fn(x)=0,то задача сводится  к решению совокупности уравнений с учетом области определения исходного уравнения .При решении тригонометрических уравнений данным методом используют: вынесения общего множителя за скобки, формулы сокращенного умножения, выделения полного квадрата, группировку, комбинирование различных приёмов. Так как все приёмы разложения на множители знакомы учащимся, то занятие можно провести в форме семинара ,опираясь на имеющиеся у учащихся знания, актуализируя их и  применяя в новой ситуации.

3.4 Уравнения,  решаемые понижением степени(2часа)

Если в уравнении содержатся функции sinx , cosx в четной  степени, то часто бывает удобным использовать формулы понижения степени .

sin²x=(1-cos2x);  cos²x=(1+cos2x).

Использование этих формул позволяет понизить любую четную степень относительно sinx и соsx и, применяя  при необходимости другие способы решения тригонометрических  уравнений , привести  его к простейшим. В учебных  пособиях можно найти достаточное количество  тригонометрических уравнений, решаемых с использованием данного метода .На занятии целесообразно рассмотреть уравнения, содержащие sinxcosxв четвёртой или  шестой степени, где наряду с формулами понижения степени используются формулы сокращённого умножения.

3.5.Однородные уравнения и приводимые к ним(2часа)

В учебных пособиях ,,Алгебра и начала анализа”для средней общеобразовательной школы рассматриваются однородные уравнения не выше второй степени .Поэтому, опираясь на  опыт решения однородных  уравнений не выше второй степени с повторением алгоритма решения , можно сформулировать определение однородного уравнения степени nи выработать общий приём решения таких уравнений.

3.6.Введение вспомогательного угла(2часа)

Суть данного метода состоит в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента φ ,а затем производят тригонометрические преобразования. Рассмотрим уравнения вида asinx+bcosx=c.

Решить данное уравнение можно тремя способами.

1СПОПОБ

asinx+bcosx=с

2asincos+b(cos²sin²)=c(cos²+sin²)  получим уравнение второй степени.

2СПОСОБ

Используя универсальную подстановку sinx=;

 cosx=, если tg=t,то получим a+b=c.

3 СПОСОБ 

Введение вспомогательного угла .Вынесем за скобки множитель.

Получим

(sinx+cosx)=с .

Так как ()²+()²=1,то первое число можно принять за косинус некоторого угла, а второе за синус того же угла, то есть , sin.

Тогда имеем:

(cossin+sincos)=с

Sin(+x)=

Это уравнение имеет решение, если a+bc

x+=(-1) arcsin+, n

x=(-1)arcsin+

так  как tgто  n

Ответ: (-1)arcsin+, n

3.7.Уравнения ,решаемые с помощью формул сложения и умножения При изучении основ тригонометрии на базовом уровне формулы :синуса , косинуса ,тангенса суммы  и разности двух углов  изучаются на обязательном уроке, а формулы преобразования суммы тригонометрических  функций в произведение  и произведения в сумму выделены курсивом . Требования , выделенные курсивом в стандарте , не предъявляются выпускникам .

Поэтому , при необходимости , на первом занятии  по этой теме уделить внимание формулам сложения , показать их применение при решении тригонометрических уравнений .Второе занятие посвятить формулам преобразования произведения тригонометрических  функций в сумму и решению уравнений  с их помощью .

Можно использовать групповую работу или самостоятельную работу с дополнительной  литературой .

Cучащимися, хорошо владеющими теоретическими знаниями , организовать индивидуальную практическую работу .

3.8.Умножение  обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию(2часа)

Иногда решение тригонометрического  уравнения существенно облегчается, умножить обе его  части на некоторую тригонометрическую функцию. 

При этом надо помнить, что возможно появление посторонних корней,   корней функции, на которую умножали уравнение. Поэтому либо надо умножить на функцию, не имеющую корней,  и  получать равносильное уравнение, либо умножить на функцию, имеющую корни, но каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это его корнем .

С приемом умножения одной части уравнения на тригонометрическую единицу

( sin² x+cos²x=1),учащиеся уже встречались при изучении темы ,, Однородные  уравнения и приводимые к ним “.

Поэтому учащимся надо предложить вначале выявить характерную особенность этого уравнения и вывести на прием . Отметить , что в данном случае не появляются посторонние корни .При решении заданий учащиеся знакомятся с различными способами  отбора корней .  

Материалы для домашней самостоятельной работы можно пополнить из других учебных пособий .

3.9.Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений(2часа)

Решение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению системы уравнений .Примером таких уравнений могут служить следующие:

Sinαx×Sinßx=±1,

Sinαx×Cosßx=±1        А(sinαx)+B(cosαx)=±(|A|+|B| )  (1)

                                     A(sinαx)+B(sinßx)=±(|A|+|B| ) ,где α ,ß, A, B-данные действительные числа , nи m- данные натуральные числа. При  решении таких уравнений  используется следующее свойство синуса : если для некоторого числа х справедливо строгое неравенство |sinx|<1, то такое число х не может быть корнем  ни одного из уравнений (1).  Аналогично ,  при решении уравнений вида

CosαxCosßx=+1

A(cosαx)+B(cosßx)=±(|A|+|B|)       (2)

используется свойство косинуса : если  для некоторого числа х справедливо строгое неравенств ΙcosαxΙ‹1 , то такое число х не может быть корнем ни одного  из уравнений  вида (2) . Примером таких уравнений может быть уравнение sinx×cos4x=1,  которое равносильно совокупности  двух систем уравнений:

Sinx=1                  sinx=-1

Cos4x=1                Cos4x=-1    

Уравнение 3cosx-2sinx=1 равносильно системе

Sinx=-1

|cos2x|=1

На занятии рассматриваются также другие виды уравнений , где используются свойства синуса и косинуса .

4.Дополнительный материал

4.1Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа ,одной и той же тригонометрической функции

4.2Тождественные преобразования одной из частей уравнения

4.3Метод рассуждения с числовыми значениями

Данные рассуждения применяются при решении уравнений и их систем, для каждого из которых нет готового метода решения .

Пусть надо решить систему уравнений

 f(x;y)=0

g(x;y)=0

Предположим, что она имеет решение, т.е. предположим, что существует пара чисел (х;y) такая, что для неё справедливы числовые равенства f(x; y)=oи в g(x; y)=0.

Из этого предположения вытекает , что , все выражения, входящие  и в выражение f(x; y) и в g(x; y) ,определены для этой пары чисел (x; y ) Для решения системы надо найти все пары (x.; y)и показать , что  других ,, претендентов “ на роль решения системы нет. После чего остаётся сделать последний шаг :  проверить, какие же из найденных пар  действительно являются решениями системы,  а какие нет .

Список литературы 

1. Алимов Ш.А. Колягин Ю.М. и др.Алгебра и начала анализа ; Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений-М; Просвещение 2004
2. Бородуля И.Л . Тригонометрические уравнения и неравенства .-М; Просвещение.1989
3. Виленкин Н.Я.и др. Алгебра и математический анализ :Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики.-М:Просвещение.2005.

4 . Галицкий М.Л. и др.Сборник задач по алгебре для учащихся школ и классов  с                     углублённым      изучением         математики .-М:          Просвещение,          1994.

5.  Дорофеев Г.В. ,Кузнецова Л.В. Седова Е.А. Алгебра и начала анализа : Учебник для общеобразовательных  учреждений .-М: Дрофа.2005.

6.   Колмогоров А.М. и др. Алгебра и начала анализа . Учебник  для 10-11 классов средней школы .-М .:Просвещение , 2005.

7.  Колягин Ю.М. и др.Алгебра и начала анализа: Учебник для общеобразовательных  учреждений  .-М.: Мнемозина  , 2004 .

8.  Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа .-М .: Просвещение, 1990.

9.  Кутепов А.К.,  Рубанов А.Т.Задачник по алгебре и элементарным функциям: Учебное пособие  для учебных заведений .-М: Высшая школа , 1974.

10. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г., Семёнов П.В.  Практикум  по элементарной  математике.  Алгебра . Тригонометрия .-М; Просвещение ,1991

11. Мордкович А.Г. ,Семёнов П.В. Алгебра  и начала анализа  для 10 класса общеобразовательных учреждений  ( профильный  уровень ).-М: Мнемозина  ,2005.

12. Никольский С.М. и др.Алгебра и начала  анализа : Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень)-М: Мнемозина , 2005.

13. Самусенко А.В., Казаченок В.В. Математика :типичные  ошибки абитуриентов .- Минск : Высшая школа .1995

14. Столин А.В. Комплексные упражнения по математике с решениями .7-11 кл. Харьков.1995 .

15. Интерактивный курс подготовки к ЕГЭ по математике .-ООО ,, Медиахауз” . ООО

 Издательство  ,, Экзамен “ , разработка,2007/

17. Журналы  ,,  Математика в школе  “ .

ская программа элективного курса по матем

Авторская программа элективного курса по математике для учащихся 10-11-х классов << Методы решения тригонометрических уравнений >>,

автор Толкачева Л.В.

Умения решать уравнения являются одним из показателей уровня математического развития, глубины изучения учебного материала. Тригонометрические уравнения имеют важное значение  в общем ряду всех видов алгебраических уравнений относительно тригонометрических функций неизвестного аргумента. Умение осуществлять поиск решения уравнения способствует формированию математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках . Важную  роль при  решении уравнений  имеет формирование алгоритмического мышления, воспитание умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые .

1. Пояснительная записка.

Элективный курс, с одной стороны поддерживает изучение основного курса математики. С другой  стороны направлен  на систематизацию знаний, в том числе и общих методов решения уравнений, реализацию внутри предметных связей. Способствует лучшему освоению базового курса математики,  служит для  внутри профильной дифференциации и раскрытия основных  закономерностей  построения  поиска решения математической задачи.

Основная функция учителя в данном курсе состоит в сопровождении учащегося  в его познавательной  деятельности, коррекции, помощи в извлечении из полученных ранее знаний тех, которые актуализируют в данном курсе .

Курс целесообразно изучать параллельно с изучением тригонометрии по основной программе, после изучения или при повторении и подготовке   к  единому государственному экзамену .

Цели курса :

- знакомство с различными методами и приёмами решения тригонометрических уравнений;

-формирование соответствующих умений при решении нестандартных тригонометрических  уравнений;

-систематизация опыта приобретенного при решении уравнений, обобщение различных подходов к поиску способов решений уравнений.

Задачи курса:

-интеграция знаний по разнообразию методов решения тригонометрических уравнений ;

-активизация познавательной деятельности учащихся ;

-повышение информационной и коммуникативной компетентности  школьников;

-решать нестандартные уравнения, используя специальные методические методы;

-производить прикидку и оценку результатов вычислений ;

-работать с различными источниками информаций;

-обосновать свою точку зрения ;

-демонстрировать свои личные достижения .

2.Учебно-тематический  план

3.Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий                       

3.Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий

3.1Простейшие тригонометрические уравнения Решение типовых заданий(2часа)

На первом занятии повторяются основные формулы корней простейших тригонометрических уравнений вида cosх=a ,  sinх=a , tgх=a , ctgх=а .В качестве расширения знаний учащихся предлагаются уравнения с дополнительными заданиями:

--найти наименьший ( наибольший) положительный  (отрицательный) корень уравнения;

--указать ближайший к заданному числу корень уравнения ;

--найти наибольшую длину отрезка ,внутри которого не содержится ни одного корня ;

--между какими корнями уравнения заключено заданное число .

Учащимся предлагаются различные способы выполнения дополнительных заданий; арифметический, алгебраический, геометрический .

Рассматриваются уравнения вида Т (f(х))=0,где Т означает одну из тригонометрических функций.

Для организации групповой, индивидуальной, домашней работы  можно использовать предлагаемый  дидактический материал.

Решить тригонометрические уравнения ,значит найти все его корни-все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению.

Все тригонометрические уравнения решаются сведением к одному из четырёх простейших .

3.2Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной(2часа)

На занятиях обобщаются и расширяются знания учащихся по решению тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

Путём преобразования тригонометрических  уравнений к виду ,удобному для обозначения отдельных тригонометрических функций (или их комбинаций) новой переменной .

Наряду со знакомыми подстановками сводящими, тригонометрическое уравнение к квадратному(T(f(x))=t,универсальная тригонометрическая подстановка) рассматриваются подставки:

-в уравнениях вида f(sinx±cosx, sinx× cosx)вводится подстановка cosx±sinx=t

-T(f(x)) ± =1

-обозначение аргумента одной из функций новой переменной.

К предложенному дидактическому материалу можно использовать задания из других учебных пособий.

3.3Использование метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений(2часа)

Cметодом разложения на множители учащиеся ознакомились в основной школе, решая алгебраические уравнения.

Суть этого метода состоит в следующем: если уравнениеf(x)=0 удаётся преобразовать к виду:f1(x)f2(x)…..fn(x)=0,то задача сводится  к решению совокупности уравнений с учетом области определения исходного уравнения .При решении тригонометрических уравнений данным методом используют: вынесения общего множителя за скобки, формулы сокращенного умножения, выделения полного квадрата, группировку, комбинирование различных приёмов. Так как все приёмы разложения на множители знакомы учащимся, то занятие можно провести в форме семинара ,опираясь на имеющиеся у учащихся знания, актуализируя их и  применяя в новой ситуации.

3.4 Уравнения,  решаемые понижением степени(2часа)

Если в уравнении содержатся функции sinx , cosx в четной  степени, то часто бывает удобным использовать формулы понижения степени .

sin²x=(1-cos2x);  cos²x=(1+cos2x).

Использование этих формул позволяет понизить любую четную степень относительно sinx и соsx и, применяя  при необходимости другие способы решения тригонометрических  уравнений , привести  его к простейшим. В учебных  пособиях можно найти достаточное количество  тригонометрических уравнений, решаемых с использованием данного метода .На занятии целесообразно рассмотреть уравнения, содержащие sinxcosxв четвёртой или  шестой степени, где наряду с формулами понижения степени используются формулы сокращённого умножения.

3.5.Однородные уравнения и приводимые к ним(2часа)

В учебных пособиях ,,Алгебра и начала анализа”для средней общеобразовательной школы рассматриваются однородные уравнения не выше второй степени .Поэтому, опираясь на  опыт решения однородных  уравнений не выше второй степени с повторением алгоритма решения , можно сформулировать определение однородного уравнения степени nи выработать общий приём решения таких уравнений.

3.6.Введение вспомогательного угла(2часа)

Суть данного метода состоит в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента φ ,а затем производят тригонометрические преобразования. Рассмотрим уравнения вида asinx+bcosx=c.

Решить данное уравнение можно тремя способами.

1СПОПОБ

asinx+bcosx=с

2asincos+b(cos²sin²)=c(cos²+sin²)  получим уравнение второй степени.

2СПОСОБ

Используя универсальную подстановку sinx=;

 cosx=, если tg=t,то получим a+b=c.

3 СПОСОБ 

Введение вспомогательного угла .Вынесем за скобки множитель.

Получим

(sinx+cosx)=с .

Так как ()²+()²=1,то первое число можно принять за косинус некоторого угла, а второе за синус того же угла, то есть , sin.

Тогдаимеем:

(cossin+sincos)=с

Sin(+x)=

Это уравнение имеет решение, если a+bc

x+=(-1) arcsin+, n

x=(-1)arcsin+

так  как tgто  n

Ответ: (-1)arcsin+, n

3.7.Уравнения ,решаемые с помощью формул сложения и умножения При изучении основ тригонометрии на базовом уровне формулы :синуса , косинуса ,тангенса суммы  и разности двух углов  изучаются на обязательном уроке, а формулы преобразования суммы тригонометрических  функций в произведение  и произведения в сумму выделены курсивом . Требования , выделенные курсивом в стандарте , не предъявляются выпускникам .

Поэтому , при необходимости , на первом занятии  по этой теме уделить внимание формулам сложения , показать их применение при решении тригонометрических уравнений .Второе занятие посвятить формулам преобразования произведения тригонометрических  функций в сумму и решению уравнений  с их помощью .

Можно использовать групповую работу или самостоятельную работу с дополнительной  литературой .

Cучащимися, хорошо владеющими теоретическими знаниями , организовать индивидуальную практическую работу .

3.8.Умножение  обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию(2часа)

Иногда решение тригонометрического  уравнения существенно облегчается, умножить обе его  части на некоторую тригонометрическую функцию. 

При этом надо помнить, что возможно появление посторонних корней,   корней функции, на которую умножали уравнение. Поэтому либо надо умножить на функцию, не имеющую корней,  и  получать равносильное уравнение, либо умножить на функцию, имеющую корни, но каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это его корнем .

С приемом умножения одной части уравнения на тригонометрическую единицу

( sin² x+cos²x=1),учащиеся уже встречались при изучении темы ,, Однородные  уравнения и приводимые к ним “.

Поэтому учащимся надо предложить вначале выявить характерную особенность этого уравнения и вывести на прием . Отметить , что в данном случае не появляются посторонние корни .При решении заданий учащиеся знакомятся с различными способами  отбора корней .  

Материалы для домашней самостоятельной работы можно пополнить из других учебных пособий .

3.9.Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений(2часа)

Решение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению системы уравнений .Примером таких уравнений могут служить следующие:

Sinαx×Sinßx=±1,

Sinαx×Cosßx=±1        А(sinαx)+B(cosαx)=±(|A|+|B| )  (1)

                                     A(sinαx)+B(sinßx)=±(|A|+|B| ) ,где α ,ß, A, B-данные действительные числа , nи m- данные натуральные числа. При  решении таких уравнений  используется следующее свойство синуса : если для некоторого числа х справедливо строгое неравенство |sinx|<1, то такое число х не может быть корнем  ни одного из уравнений (1).  Аналогично ,  при решении уравнений вида

CosαxCosßx=+1

A(cosαx)+B(cosßx)=±(|A|+|B|)       (2)

используется свойство косинуса : если  для некоторого числа х справедливо строгое неравенств ΙcosαxΙ‹1 , то такое число х не может быть корнем ни одного  из уравнений  вида (2) . Примером таких уравнений может быть уравнение sinx×cos4x=1,  которое равносильно совокупности  двух систем уравнений:

Sinx=1                  sinx=-1

Cos4x=1                Cos4x=-1    

Уравнение 3cosx-2sinx=1 равносильно системе

Sinx=-1

|cos2x|=1

На занятии рассматриваются также другие виды уравнений , где используются свойства синуса и косинуса .

4.Дополнительный материал

4.1Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа ,одной и той же тригонометрической функции

4.2Тождественные преобразования одной из частей уравнения

4.3Метод рассуждения с числовыми значениями

Данные рассуждения применяются при решении уравнений и их систем, для каждого из которых нет готового метода решения .

Пусть надо решить систему уравнений

 f(x;y)=0

g(x;y)=0

Предположим, что она имеет решение, т.е. предположим, что существует пара чисел (х;y) такая, что для неё справедливы числовые равенства f(x; y)=oи в g(x; y)=0.

Из этого предположения вытекает , что , все выражения, входящие  и в выражение f(x; y) и в g(x; y) ,определены для этой пары чисел (x; y ) Для решения системы надо найти все пары (x.; y)и показать , что  других ,, претендентов “ на роль решения системы нет. После чего остаётся сделать последний шаг :  проверить, какие же из найденных пар  действительно являются решениями системы,  а какие нет .

Список литературы 

1. Алимов Ш.А. Колягин Ю.М. и др.Алгебра и начала анализа ; Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений-М; Просвещение 2004
2. Бородуля И.Л . Тригонометрические уравнения и неравенства .-М; Просвещение.1989
3. Виленкин Н.Я.и др. Алгебра и математический анализ :Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики.-М:Просвещение.2005.

4 . Галицкий М.Л. и др.Сборник задач по алгебре для учащихся школ и классов  с                     углублённым      изучением         математики .-М:          Просвещение,          1994.

5.  Дорофеев Г.В. ,Кузнецова Л.В. Седова Е.А. Алгебра и начала анализа : Учебник для общеобразовательных  учреждений .-М: Дрофа.2005.

6.   Колмогоров А.М. и др. Алгебра и начала анализа . Учебник  для 10-11 классов средней школы .-М .:Просвещение , 2005.

7.  Колягин Ю.М. и др.Алгебра и начала анализа: Учебник для общеобразовательных  учреждений  .-М.: Мнемозина  , 2004 .

8.  Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа .-М .: Просвещение, 1990.

9.  Кутепов А.К.,  Рубанов А.Т.Задачник по алгебре и элементарным функциям: Учебное пособие  для учебных заведений .-М: Высшая школа , 1974.

10. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г., Семёнов П.В.  Практикум  по элементарной  математике.  Алгебра . Тригонометрия .-М; Просвещение ,1991

11. Мордкович А.Г. ,Семёнов П.В. Алгебра  и начала анализа  для 10 класса общеобразовательных учреждений  ( профильный  уровень ).-М: Мнемозина  ,2005.

12. Никольский С.М. и др.Алгебра и начала  анализа : Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень)-М: Мнемозина , 2005.

13. Самусенко А.В., Казаченок В.В. Математика :типичные  ошибки абитуриентов .- Минск : Высшая школа .1995

14. Столин А.В. Комплексные упражнения по математике с решениями .7-11 кл. Харьков.1995 .

15. Интерактивный курс подготовки к ЕГЭ по математике .-ООО ,, Медиахауз” . ООО

 Издательство  ,, Экзамен “ , разработка,2007/

17. Журналы  ,,  Математика в школе  “ .

атике для учащихся 10-11-х классов << Методы решения тригонометрических уравнений >>,

автор Толкачева Л.В.

Умения решать уравнения являются одним из показателей уровня математического развития, глубины изучения учебного материала. Тригонометрические уравнения имеют важное значение  в общем ряду всех видов алгебраических уравнений относительно тригонометрических функций неизвестного аргумента. Умение осуществлять поиск решения уравнения способствует формированию математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках . Важную  роль при  решении уравнений  имеет формирование алгоритмического мышления, воспитание умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые .

1. Пояснительная записка.

Элективный курс, с одной стороны поддерживает изучение основного курса математики. С другой  стороны направлен  на систематизацию знаний, в том числе и общих методов решения уравнений, реализацию внутри предметных связей. Способствует лучшему освоению базового курса математики,  служит для  внутри профильной дифференциации и раскрытия основных  закономерностей  построения  поиска решения математической задачи.

Основная функция учителя в данном курсе состоит в сопровождении учащегося  в его познавательной  деятельности, коррекции, помощи в извлечении из полученных ранее знаний тех, которые актуализируют в данном курсе .

Курс целесообразно изучать параллельно с изучением тригонометрии по основной программе, после изучения или при повторении и подготовке   к  единому государственному экзамену .

Цели курса :

- знакомство с различными методами и приёмами решения тригонометрических уравнений;

-формирование соответствующих умений при решении нестандартных тригонометрических  уравнений;

-систематизация опыта приобретенного при решении уравнений, обобщение различных подходов к поиску способов решений уравнений.

Задачи курса:

-интеграция знаний по разнообразию методов решения тригонометрических уравнений ;

-активизация познавательной деятельности учащихся ;

-повышение информационной и коммуникативной компетентности  школьников;

-решать нестандартные уравнения, используя специальные методические методы;

-производить прикидку и оценку результатов вычислений ;

-работать с различными источниками информаций;

-обосновать свою точку зрения ;

-демонстрировать свои личные достижения .

2.Учебно-тематический  план

3.Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий                       

3.Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий

3.1Простейшие тригонометрические уравнения Решение типовых заданий(2часа)

На первом занятии повторяются основные формулы корней простейших тригонометрических уравнений вида cosх=a ,  sinх=a , tgх=a , ctgх=а .В качестве расширения знаний учащихся предлагаются уравнения с дополнительными заданиями:

--найти наименьший ( наибольший) положительный  (отрицательный) корень уравнения;

--указать ближайший к заданному числу корень уравнения ;

--найти наибольшую длину отрезка ,внутри которого не содержится ни одного корня ;

--между какими корнями уравнения заключено заданное число .

Учащимся предлагаются различные способы выполнения дополнительных заданий; арифметический, алгебраический, геометрический .

Рассматриваются уравнения вида Т (f(х))=0,где Т означает одну из тригонометрических функций.

Для организации групповой, индивидуальной, домашней работы  можно использовать предлагаемый  дидактический материал.

Решить тригонометрические уравнения ,значит найти все его корни-все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению.

Все тригонометрические уравнения решаются сведением к одному из четырёх простейших .

3.2Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной(2часа)

На занятиях обобщаются и расширяются знания учащихся по решению тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

Путём преобразования тригонометрических  уравнений к виду ,удобному для обозначения отдельных тригонометрических функций (или их комбинаций) новой переменной .

Наряду со знакомыми подстановками сводящими, тригонометрическое уравнение к квадратному(T(f(x))=t,универсальная тригонометрическая подстановка) рассматриваются подставки:

-в уравнениях вида f(sinx±cosx, sinx× cosx)вводится подстановка cosx±sinx=t

-T(f(x)) ± =1

-обозначение аргумента одной из функций новой переменной.

К предложенному дидактическому материалу можно использовать задания из других учебных пособий.

3.3Использование метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений(2часа)

Cметодом разложения на множители учащиеся ознакомились в основной школе, решая алгебраические уравнения.

Суть этого метода состоит в следующем: если уравнениеf(x)=0 удаётся преобразовать к виду:f1(x)f2(x)…..fn(x)=0,то задача сводится  к решению совокупности уравнений с учетом области определения исходного уравнения .При решении тригонометрических уравнений данным методом используют: вынесения общего множителя за скобки, формулы сокращенного умножения, выделения полного квадрата, группировку, комбинирование различных приёмов. Так как все приёмы разложения на множители знакомы учащимся, то занятие можно провести в форме семинара ,опираясь на имеющиеся у учащихся знания, актуализируя их и  применяя в новой ситуации.

3.4 Уравнения,  решаемые понижением степени(2часа)

Если в уравнении содержатся функции sinx , cosx в четной  степени, то часто бывает удобным использовать формулы понижения степени .

sin²x=(1-cos2x);  cos²x=(1+cos2x).

Использование этих формул позволяет понизить любую четную степень относительно sinx и соsx и, применяя  при необходимости другие способы решения тригонометрических  уравнений , привести  его к простейшим. В учебных  пособиях можно найти достаточное количество  тригонометрических уравнений, решаемых с использованием данного метода .На занятии целесообразно рассмотреть уравнения, содержащие sinxcosxв четвёртой или  шестой степени, где наряду с формулами понижения степени используются формулы сокращённого умножения.

3.5.Однородные уравнения и приводимые к ним(2часа)

В учебных пособиях ,,Алгебра и начала анализа”для средней общеобразовательной школы рассматриваются однородные уравнения не выше второй степени .Поэтому, опираясь на  опыт решения однородных  уравнений не выше второй степени с повторением алгоритма решения , можно сформулировать определение однородного уравнения степени nи выработать общий приём решения таких уравнений.

3.6.Введение вспомогательного угла(2часа)

Суть данного метода состоит в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента φ ,а затем производят тригонометрические преобразования. Рассмотрим уравнения вида asinx+bcosx=c.

Решить данное уравнение можно тремя способами.

1СПОПОБ

asinx+bcosx=с

2asincos+b(cos²sin²)=c(cos²+sin²)  получим уравнение второй степени.

2СПОСОБ

Используя универсальную подстановку sinx=;

 cosx=, если tg=t,то получим a+b=c.

3 СПОСОБ

Введение вспомогательного угла .Вынесем за скобки множитель.

Получим

(sinx+cosx)=с .

Так как ()²+()²=1,то первое число можно принять за косинус некоторого угла, а второе за синус того же угла, то есть , sin.

Тогдаимеем:

(cossin+sincos)=с

Sin(+x)=

Это уравнение имеет решение, если a+bc

x+=(-1) arcsin+, n

x=(-1)arcsin+

так  как tgто  n

Ответ: (-1)arcsin+, n

3.7.Уравнения ,решаемые с помощью формул сложения и умножения При изучении основ тригонометрии на базовом уровне формулы :синуса , косинуса ,тангенса суммы  и разности двух углов  изучаются на обязательном уроке, а формулы преобразования суммы тригонометрических  функций в произведение  и произведения в сумму выделены курсивом . Требования , выделенные курсивом в стандарте , не предъявляются выпускникам .

Поэтому , при необходимости , на первом занятии  по этой теме уделить внимание формулам сложения , показать их применение при решении тригонометрических уравнений .Второе занятие посвятить формулам преобразования произведения тригонометрических  функций в сумму и решению уравнений  с их помощью .

Можно использовать групповую работу или самостоятельную работу с дополнительной  литературой .

Cучащимися, хорошо владеющими теоретическими знаниями , организовать индивидуальную практическую работу .

3.8.Умножение  обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию(2часа)

Иногда решение тригонометрического  уравнения существенно облегчается, умножить обе его  части на некоторую тригонометрическую функцию. 

При этом надо помнить, что возможно появление посторонних корней,   корней функции, на которую умножали уравнение. Поэтому либо надо умножить на функцию, не имеющую корней,  и  получать равносильное уравнение, либо умножить на функцию, имеющую корни, но каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это его корнем .

С приемом умножения одной части уравнения на тригонометрическую единицу

( sin² x+cos²x=1),учащиеся уже встречались при изучении темы ,, Однородные  уравнения и приводимые к ним “.

Поэтому учащимся надо предложить вначале выявить характерную особенность этого уравнения и вывести на прием . Отметить , что в данном случае не появляются посторонние корни .При решении заданий учащиеся знакомятся с различными способами  отбора корней .  

Материалы для домашней самостоятельной работы можно пополнить из других учебных пособий .

3.9.Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений(2часа)

Решение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению системы уравнений .Примером таких уравнений могут служить следующие:

Sinαx×Sinßx=±1,

Sinαx×Cosßx=±1        А(sinαx)+B(cosαx)=±(|A|+|B| )  (1)

                                     A(sinαx)+B(sinßx)=±(|A|+|B| ) ,где α ,ß, A, B-данные действительные числа , nи m- данные натуральные числа. При  решении таких уравнений  используется следующее свойство синуса : если для некоторого числа х справедливо строгое неравенство |sinx|<1, то такое число х не может быть корнем  ни одного из уравнений (1).  Аналогично ,  при решении уравнений вида

CosαxCosßx=+1

A(cosαx)+B(cosßx)=±(|A|+|B|)       (2)

используется свойство косинуса : если  для некоторого числа х справедливо строгое неравенств ΙcosαxΙ‹1 , то такое число х не может быть корнем ни одного  из уравнений  вида (2) . Примером таких уравнений может быть уравнение sinx×cos4x=1,  которое равносильно совокупности  двух систем уравнений:

Sinx=1                  sinx=-1

Cos4x=1                Cos4x=-1    

Уравнение 3cosx-2sinx=1 равносильно системе

Sinx=-1

|cos2x|=1

На занятии рассматриваются также другие виды уравнений , где используются свойства синуса и косинуса .

4.Дополнительный материал

4.1Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа ,одной и той же тригонометрической функции

4.2Тождественные преобразования одной из частей уравнения

4.3Метод рассуждения с числовыми значениями

Данные рассуждения применяются при решении уравнений и их систем, для каждого из которых нет готового метода решения .

Пусть надо решить систему уравнений

 f(x;y)=0

g(x;y)=0

Предположим, что она имеет решение, т.е. предположим, что существует пара чисел (х;y) такая, что для неё справедливы числовые равенства f(x; y)=oи в g(x; y)=0.

Из этого предположения вытекает , что , все выражения, входящие  и в выражение f(x; y) и в g(x; y) ,определены для этой пары чисел (x; y ) Для решения системы надо найти все пары (x.; y)и показать , что  других ,, претендентов “ на роль решения системы нет. После чего остаётся сделать последний шаг :  проверить, какие же из найденных пар  действительно являются решениями системы,  а какие нет .

Список литературы 

1. Алимов Ш.А. Колягин Ю.М. и др.Алгебра и начала анализа ; Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений-М; Просвещение 2004
2. Бородуля И.Л . Тригонометрические уравнения и неравенства .-М; Просвещение.1989
3. Виленкин Н.Я.и др. Алгебра и математический анализ :Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики.-М:Просвещение.2005.

4 . Галицкий М.Л. и др.Сборник задач по алгебре для учащихся школ и классов  с                     углублённым      изучением         математики .-М:          Просвещение,          1994.

5.  Дорофеев Г.В. ,Кузнецова Л.В. Седова Е.А. Алгебра и начала анализа : Учебник для общеобразовательных  учреждений .-М: Дрофа.2005.

6.   Колмогоров А.М. и др. Алгебра и начала анализа . Учебник  для 10-11 классов средней школы .-М .:Просвещение , 2005.

7.  Колягин Ю.М. и др.Алгебра и начала анализа: Учебник для общеобразовательных  учреждений  .-М.: Мнемозина  , 2004 .

8.  Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа .-М .: Просвещение, 1990.

9.  Кутепов А.К.,  Рубанов А.Т.Задачник по алгебре и элементарным функциям: Учебное пособие  для учебных заведений .-М: Высшая школа , 1974.

10. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г., Семёнов П.В.  Практикум  по элементарной  математике.  Алгебра . Тригонометрия .-М; Просвещение ,1991

11. Мордкович А.Г. ,Семёнов П.В. Алгебра  и начала анализа  для 10 класса общеобразовательных учреждений  ( профильный  уровень ).-М: Мнемозина  ,2005.

12. Никольский С.М. и др.Алгебра и начала  анализа : Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень)-М: Мнемозина , 2005.

13. Самусенко А.В., Казаченок В.В. Математика :типичные  ошибки абитуриентов .- Минск : Высшая школа .1995

14. Столин А.В. Комплексные упражнения по математике с решениями .7-11 кл. Харьков.1995 .

15. Интерактивный курс подготовки к ЕГЭ по математике .-ООО ,, Медиахауз” . ООО

 Издательство  ,, Экзамен “ , разработка,2007/

17. Журналы  ,,  Математика в школе  “ .