Решение иррациональных уравнений в 9 классе
презентация урока для интерактивной доски по алгебре (9 класс) по теме

                                                     МОУ ФМЛ

«Решение иррациональных уравнений»

Урок- практикум.

9 класс.

Учитель: Маслова Г.Ю.

Решение иррациональных уравнений

Цель урока:

Выработать навык в решении простейших иррациональных уравнений и записи ответов в бланках ГИА;

Сформировать умение в решении иррациональных уравнений методом замены переменной и записи решения в бланках  С ГИА;

Воспитывать внимание, аккуратность, терпимость по отношению к поступкам и убеждениям одноклассников.

Тип урока: урок-практикум

Ход урока:

I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

II. Повторение. Теоретический опрос.

Вопросы:

1.Какое уравнение называется иррациональным?

2.В чем состоит основная идея решения иррационального уравнения?

3.Какие два основных приема решения иррациональных уравнений вам известны?

4.Записать на доске равносильные переходы при решении типовых иррациональных уравнений.

Учитывая, что подход к решению уравнений с корнями любой четной степени одинаков  (а именно о таких уравнениях мы сегодня и говорим), будем говорить об уравнениях с квадратными корнями.

1.√f(x)=a           <=>        f(x)=a2

    a≥0                          a≥0

2. .√f(x)=g(x)    <=>        f(x)=g2(x)

                                        g(x)≥0

3. .√f(x)=√g(x)   <=>         f(x)=g(x)

                                          f(x)≥0   (g(x)≥0)        

4. .√f(x)* g(x)=0 <=>     ОДЗ

                                f(x)=0

                                g(x)=0

5. .√f(x)* √g(x)=a  <=>          f(x*g(x)=a2

     a≥0                                f(x)≥0   (g(x)≥0)

III. Самостоятельная работа по изученному материалу

Решить уравнение, выбрать верный вариант ответа.

Слайд 1

А1  √2х-7=3

1)8  2)5  3)3,5  4)Ø

А2 √2х-1=√х+3

1. 2)1  3)1/2; -3  4) Ø

А3 √х+5=-3

1)4  2)-8  3)2  4) Ø

А4 √2х-1=х

1)1  2)-1  3)0  4)(1±√5)/2

А5 √2х2+3х-5=х-1

1. 2)-6  3)1;-6  4)-1;6

А6 √х+2*(х+7)=0

1)-2  2)-7  3)-2;7  4) Ø

А7 √х+1*√х+2=0

1)-1  2)-2  3)-1;-2  4) Ø

А8 √х+1*√х+2=√6

1. 2)-4  3)1;-4  4)4;1

Перечислить варианты правильных ответов

Слайд 2

Отметить варианты верных ответов в бланке АВ.

Напомнить, что бланк заполняется только в прямоугольнике 4х8.

Слайд 3

Проверить справедливость заполнения бланков. Бланки собрать.

Перейдем к решению более сложных задач. Решение уравнений методом замены. Задание такого уровня может встретиться во второй части заданий ГИА. Поэтому оформлять решение будем в бланке С2 (на мультимедийной доске).

Что сделать, если бланка не хватает?

Слайд 4;5.

х2-х+√х2-х+9=3 <=> √x2-x+9=3+x-x2 <=> √x2-x+9=-(x2-x-3)

√x2-x+9=t, t≥0

x2-x+9=t2

x2-x-3= t2-12

-(x2-x-3)=12-t2

t=-(t2-12)

t2-12+t=0  <=>  t2+t-12=0   <=>    t=-4  <=>  t=3

t≥0                      t≥0                     t=3

                                              t≥0

√x2-x+9=3  <=> x2-x+9=9  <=>  x2-x=0  <=> x(x-1)=0  <=>  x=0

                                                                                  x=1

Ответ: 0;1.

Запись слова «ответ» - обязательна.

Замена в решении уравнений не всегда бывает столь очевидна. Сначала нужно выполнить тождественные преобразования, особое внимание уделить равносильности переходов. Равносильность нарушается при применении формул, выражающих свойства корня.

На доске: объяснить изменение ОДЗ. Исправить запись, чтобы переход был равносильным.

√f(x)* √g(x)=      √f(x)* g(x)                Расширение ОДЗ

                         f(x)≥0

√f(x)* g(x) =      √‌‌‌‌‌|f(x)‌|*√|g(x)|                Сужение ОДЗ

                       f(x)*g(x) ≥0

√f2(x)  =  |f(x)‌|

. f(x)* √g(x)=   √ f2(x)* g(x), . f(x)≥0

                    -√ f2(x)* g(x), . f(x)< 0

При решении уравнений с применением этих формул особенно строго надо следить за изменением ОДЗ уравнения.

Предварительное задание 3.

Внести множитель под знак корня. Указать ОДЗ выражения.

Слайд 6

1. (х-3)*√(х+1)/(х-3);

ОДЗ:

(х+1)/(х-3)≥0     х≤-1

                             х>3

хЄ(-∞;-1] U (3; +∞).

(х-3)*√(х+1)/(х-3)=  √(х+1)*(х-3)2/(х-3) =  √(х+1)*(х-3), х>3

                            - √(х+1)*(х-3), х≤-1

2)х2*√3/х;

ОДЗ: х>0

х2*√3/х= √3х4/х=√3х3, х>0

3)х*√3/х2

ОДЗ: х≠0

х*√3/х2= √3х2/х2=√3, х>0

              -√3, х<0

Решим уравнения, где используются данные преобразования.

Слайд 7

Решить уравнение.

(х-2)(х+1)-(х-2)* √(х+1)/(х-2) =2

ОДЗ: (х+1)/(х-2)≥0 <=>  х>2

                                    х≤-1

хЄ(-∞;-1] U(2; +∞).

(x-2)* √(х+1)/(х-2)=  √(х+1)/(х-2), x>2

                             -√(х+1)/(х-2), х≤-1

Два ученика к доске.

1 ученик с объяснением

x>2

(х-2)(х+1)- √(х+1)/(х-2)=2

√(х+1)/(х-2)=t,t≥0

t2-t-2=0  <=>   t=-1         <=>  t=2

t≥0                      t=2

                  t≥0

√(х+1)/(х-2)=2  <=>  x2-x-2=4  <=>  x2-x-6=0  <=>  x=3   <=> x=2

x>2                                 x>2                   x>2                     x=-2

                                                                    x>2

1. ученик (самостоятельно) с последующей проверкой.

 х≤-1

(х-2)(х+1)+ √(х+1)/(х-2)=2

√(х+1)/(х-2)=t,t≥0

t2+t-2=0  <=>  t=1         <=>  t=1

t≥0                      t=-2

                  t≥0

√(х+1)/(х-2)=1  <=>  x2-x-2=1  <=>  x2-x-3=0  <=>  x=(1±√13)/2  <=>

х≤-1                            х≤-1                  х≤-1

x=(1-√13)/2  

Ответ: 3;   (1-√13)/2  

Представляю для обсуждения следующее уравнение

Слайд 8

√х2-4=(х+10)* √(х+2)/(х-2)

Заметим, что перед корнем есть множитель с переменной. Означает ли это, что применим тот же метод решения. Внесение множителя под знак корня не приводит к замене и не упрощает решения.

Какие иные предложения по решению будут?
1) Найдем ОДЗ уравнения

2)Воспользуемся формулой корня из произведения и частного

3)Заполним слайд 8

√х2-4=(х+10)* √(х+2)/(х-2)

1)ОДЗ:

(х+2)/(х-2) ≥0    <=>   x>2

 х2-4≥0                       х≤-2

хЄ(-∞;-2] (2; +∞).

2)√х2-4=  √|x-2|*√|x+2|

              |x|≥2

3) √(х+2)/(х-2) = √x+2/√x-2

                            х≤-2

                            x>2

Дальше возможен вариант 1 способа (с модулями)

√|x-2|*√|x+2|=(х+10) *√|x-2|/√|x+2|

ОДЗ

√|x+2|*(|х-2|-10-х)/ √|x-2|=0

ОДЗ

√|x+2|=0          <=>       x=-2                    <=>     x=-2         <=>    x=-2

√|x-2|=10+х                   x-2=10+x                       x=-4                    x=-4

ОДЗ                                    x-2=-10-x                      ОДЗ

                                  ОДЗ

2способ.

Работаем, как в предыдущем примере.

ОДЗ разобьем на 2 промежутка и решим уравнение

x>2        

 √x+2*√x-2- (10+х)*√x+2/√x-2=0 (*)

(*)  √x+2( √x-2- (10+х)/ √x-2)=0

√x-2- (10+х)/ √x-2=0

(х-2-10-х)/ √x-2=0     -Ø

х≤-2

√2-х * √-2-х – (10+х)* √-2-х/√2-х=0

√-2-х *(√2-х-(10+х)/ √2-х)=0

 х=-2

 (2-х-10-х)/ √2-х=0       <=>  x=-2

х≤-2                                       x=-4

Ответ: -2;-4.

IV. Подведем итог урока.

1. Мы повторили решение типовых иррациональных уравнений с внесением результата в бланк ответа АВ.
2. Рассмотрели метод замены в решении иррациональных уравнений и оформление бланка ответов части С.
3. Рассмотрели решение иррациональных уравнений с применением формул, выражающих свойства квадратных корней, где необходимо более тщательно следить за изменением ОДЗ уравнения, и более рациональным является раздробление ОДЗ на части.
4. На сколько вы это усвоили, будет понятно по выполнении вами домашнего задания.

Слайд 9

(Раздать карточки с домашним заданием)

На следующем уроке мы разберем решение уравнений с кубическими корнями и нестандартные методы решения, основанные на свойствах функции корня и теореме о единственности корня (повторить).

Всем спасибо за работу.

Все свободны.

Слайд 10.