ТРИГОНОМЕТРИЯ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Основные тригонометрические формулы

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

Sin²a+cos²a=1.              (1)

              (2)

               (3)

tga^.ctga=1.                    (4)

.         (5)

.        (6)

Формулы сложения:

Sin(a+b)=sinacosb+ cosasinb.     (7)

Sin(a-b)=sinacosb- cosasinb.      (8)

Cos(a+b)=cosacosb- sinasinb.     (9)

 Cos(a-b)=cosacosb+ sinasinb.     (10)

.              (11)

.              (12)

Формулы кратных аргументов:

Sin2a=2sina^.cosa.                                          (13)

Cos2a= cos²a- sin²a=2cos²a-1=1-2sin²a.      (14)

.                                            (15)

Sin3a=3sina- 3sin³a.                                    (16)

Cos3a=4cos³a-3cosa.                                    (17)

Формулы преобразования сумм или разностей в произведения:

.        (18)

.        (19)

.        (20)

.        (21)

                               (22)

                               (23)

Преобразование произведений в суммы или разности:

      (24)

      (25)

        (26)

Формулы понижения степени:

.                     (27)

.                     (28)

.                    (29)

.                     (30)

Формулы половинного аргумента:

.                 (31)

.                 (32)

.                 (33)

В этих формулах знак «+» или «-«   выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол .

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

.                     (34)

.                    (35)

.                     (36)

Формулыприведения:

Sin(-a)=-sina;

sin(p+a)=-sina;                                          sin(p-a)=sina;

cos(-a)=cosa;

cos(p-a)=-cosa;                                        cos(p+a)=-cosa;  

tg(-a)=-tga;

ctg(-a)=-ctga;

Значения тригонометрических функций основных углов:

Обратные тригонометрические функции

О п р е д е л е н и е  1.      a=arcsina,   если:

                        1)   sin a=a;       2) aÎ[-90^o;90^o].

Например, arcsin0=0^o, arcsin1=90^o, arcsin(-1)=-90^o, arcsin=30^o, arcsin=-30^o.

О п р е д е л е н и е  2.      a=arccosa,   если:

                        1)   cos a=a;       2) aÎ[0^o;180^o].

Например, arccos0=90^o, arccos1=0^o, arccos(-1)=180^o, arccos=60^o, arccos=120^o.

О п р е д е л е н и е  3.      a=arctga,   если:

                        1)   tg a=a;       2) aÎ(-90^o;90^o).

Например, arctg0=0^o, arctg1=45^o, arctg(-1)=-45^o.

Радианная и градусная меры углов

       Если величина угла выражена в градусах, то для вычисления ее в радианах следует пользоваться формулой

a  радиан = .

Отсюда можно получить формулу:

Градусную меру угла  a= вычисляют так:

                            .

                    Для быстрого решения простых задач целесообразно запомнить, что ,  ,  ,  ,  , , p=180^о, 2p=360^о.

Период тригонометрических функций

Напомним, что периодом функции y=sinx и y=cosx является число Т=2p. Периодом функции y=tgx является число Т=p.

           Известно,  что периоды функций       y=Asin(wx+j)   и      y=Acos(wx+j) вычисляются по формуле Т=, а период функции y=Atg(wx+j) по формуле Т=.

Если   период   функции  y=f(x)  равен Т₁,  а период функции  y=g(x)   равен

 Т₂ , то период фукций y=f(x)+g(x) и y=f(x)-g(x) равен наименьшему числу,    при делении которого на Т₁ и Т₂ получаются целые числа.

Пример 1. Вычислить cos840^o.

Решение. cos840^o=сos(2^.360^o+120^o)=cos120^o=cos(180^o-60^o). Применяя формулу приведения, легко получить cos(180^o-60^o)=- cos60^o=-0,5.

Ответ: -0,5.

Пример 2. Вычислить tga, если  и < a< .

Решение. Воспользуемся определением тангенса

Для вычисления cosaвоспоьзуемся формулой (1) sin²a+cos²a=1:

cos²a=1-sin²a=1-

             Отсюда cosa= или cosa=. Так как aÎ, то cosa=.

              Теперь вычисляем tga:

               Ответ: 0,75.

Пример 3. Вычислить arccos

Решение. )=0,5. Отсюда arccos

Ответ: 

Пример 4.  Упростить   

Решение. В числителе раскроем скобки:

=

Применяя в числителе формулы (1) и (13), а в знаменателе формулу (14), получим

Ответ: 1.

 Пример 5. Упростить .

Решение. Заметим, что 65^о=90^о-25^о, тогда

=.

Применяя формулу приведения, получим

=.

Применяя формулу (13), имеем

=.

Используя формулу приведения, получим окончательный ответ

Ответ: 2.

Пример 6. Вычислить

Решение. Применяя формулы (28) и (24), получим

Ответ 1.

Пример 7. Вычислить cos15^о-sin15^o.

Решение.Обозначим cos15^о-sin15^o=а.  Тогда а² =( cos15^о-sin15^o)²=

= cos²15^о-2 cos15^osin15^o+sin²15^o. Применяя формулы (1) и (13), получим

cos²15^о-2 cos15^osin15^o+sin²15^o=1-0,5=0,5,т.е. а²=0,5.

Отсюда  или

Из условия ясно, что а>0.

Ответ: .

Пример 8. Вычислить:

      
Решение: Применяя формулы (13) и (14)  получим 

Применяя еще раз формулу (13), имеем

.

Ответ 0,25

Пример 9. Вычислить

;

.

Итак, исходное выражение принимает вид      

Ответ 2.

Пример 10. Вычислить tga, если

Решение. Если назвать угол 2a аргументом, то угол a следует назвать половинным аргументом. Воспользовавшись формулой (35),
вместо исходного уравнения будем иметь
 

Отсюда , т.е.  или
  С учетом того что   имеем

Ответ 1,5.

Пример 11. Вычислить , если

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на cosa(это можно сделать, так как cosa¹0):

Ответ:

Пример 12. Вычислить  sina, если

Решение. Возведем в квадрат равенство, данное в условии:

 или 

Воспользовавшись формулами (1)  и (13), получим 1-sina=1,96.

Отсюда sina= - 0,96.

Ответ: -0,96.

Пример 13. Вычислить tgb, если tga=1  и tg(a-b)= - 2.

Решение. Воспользовавшись формулой (12)

Второе из равенств, данных в условии, можно переписать в виде     или

Отсюда tgb= -3.

Ответ: -3.

Пример 14. Вычислить

Решение.

Применяя формулу (13), а затем формулу приведения, окончательно получим

Ответ 0,25.

Пример 15. Упростить

Решение. Применяя формулу разности квадратов, получим

Применяя формулу  (14) для первой скобки и формулу (1) – для второй скобки, имеем

Ответ: -1.

Пример 16. Упростить  cosg+sin(g+30^o)sin(g-30^o).

Решение. Применяя формулу, получим

Ответ 0,5.

Пример 17. Упростить

Решение. Применяя формулу, согласно которой

получим 

Ответ: 1.

Пример 18. Упростить

Решение. Упростим вначале первую дробь. Применяя в числителе формулу (14), а в знаменателе  - (13), получим

.

Используя формулу (1), последнее выражение можно переписать в виде

Применяя формулы сокращенного умножения, получим

Упростим теперь вторую дробь. Применяя формулу (2), получим

Итак, исходное выражение можно переписать в виде

Ответ 0.

Пример 19. Упростить   .

Решение. Применяя формулы 16 и 17, получим

=

=

=

=

Применяя формулы 13 и 14, окончательно имеем

=

Ответ. 0,75.

Пример 20. Упростить

Решение. Применяя формулы 9 и 10, получим

=

=

.

    Произведя почленное деление в первой дроби, получим

.

    Применяя формулу (3), окончательно имеем

    Ответ: 1.

Пример 21.  Найти период функции y=cosxcos6x.

Решение.  Воспользовавшись формулой (25), получим

y=cosxcos6x=

      Период функции y=cos5xравен Т₁₌ Период функции y=cos7xравен Т₂₌

          Наименьшее  число, при делении которого на Т₁₌ и Т₂₌ получаются целые числа, есть число 2p. Следовательно, период заданной функции равен Т=2p.

        Ответ. 2p.

Пример 22. Найти период функции y=3sin(x-2)+7cospx.

Решение. Период функции y=3sin(x-2) равен Т₁₌ Период функции y=7cospxравен Т₂₌

       Периода у функции y=3sin(x-2)+7cospxне существует, так как такого числа, при делении которого на 2pи на 2 получались бы целые числа, нет.

Ответ. Не существует.

Примеры для самостоятельного решения.

1.  Упростить     .                               Ответ: 5.

2.  Упростить     .                             Ответ: 2.

 Вычислить значения тригонометрических выражений   

3. , если tga=3.                                 Ответ:  .

4. tg²a+ctg²a,  если tga+ctga=2.                                   Ответ:  2.

5. ,  если sinxcosx=0,4   и х.      Ответ: 3.

6. sin⁴a+cos²a+ sin²acos²a.                                             Ответ: 1.

7. cos²2a+ 4sin²acos²a.                                                   Ответ: 1.

8..                                                   Ответ: 1.

9. .                                                          Ответ: 2.

9.     .                            Ответ: 0.

10.           .                                               Ответ: 4.

11.           4sin(30^o+a)cosa-2cos(60^o-2a).                                   Ответ: 1.

12.             cos²a+ cos²b-cos(a+ b)cos(a- b).                             Ответ: 1.

13.           tgatgb+( tga+tgb)ctg (a+b).                                       Ответ: 1.

14.           cos²a-2cosacosbcos(a+b)+cos²(a+b)-sin²b.              Ответ: 0.

15.           3(sin⁴a+cos⁴a)-2(sin⁶a+cos⁶a).                                   Ответ: 1.

16.           ctg70^o+4cos70^o.                                                             Ответ:

Решение.

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

10.          

11.          

12.

13.

14.

16. ctg70^o+4cos70^o=

=

=

ТРИГОНОМЕТРИЯ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Основные тригонометрические формулы

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

Sin²a+cos²a=1.              (1)

              (2)

               (3)

tga^.ctga=1.                    (4)

.         (5)

.        (6)

Формулы сложения:

Sin(a+b)=sinacosb+ cosasinb.     (7)

Sin(a-b)=sinacosb- cosasinb.      (8)

Cos(a+b)=cosacosb- sinasinb.     (9)

 Cos(a-b)=cosacosb+ sinasinb.     (10)

.              (11)

.              (12)

Формулы кратных аргументов:

Sin2a=2sina^.cosa.                                          (13)

Cos2a= cos²a- sin²a=2cos²a-1=1-2sin²a.      (14)

.                                            (15)

Sin3a=3sina- 3sin³a.                                    (16)

Cos3a=4cos³a-3cosa.                                    (17)

Формулы преобразования сумм или разностей в произведения:

.        (18)

.        (19)

.        (20)

.        (21)

                               (22)

                               (23)

Преобразование произведений в суммы или разности:

      (24)

      (25)

        (26)

Формулы понижения степени:

.                     (27)

.                     (28)

.                    (29)

.                     (30)

Формулы половинного аргумента:

.                 (31)

.                 (32)

.                 (33)

В этих формулах знак «+» или «-«   выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол .

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

.                     (34)

.                    (35)

.                     (36)

Формулыприведения:

Sin(-a)=-sina;

sin(p+a)=-sina;                                          sin(p-a)=sina;

cos(-a)=cosa;

cos(p-a)=-cosa;                                        cos(p+a)=-cosa;  

tg(-a)=-tga;

ctg(-a)=-ctga;

Значения тригонометрических функций основных углов:

Обратные тригонометрические функции

О п р е д е л е н и е  1.      a=arcsina,   если:

                        1)   sin a=a;       2) aÎ[-90^o;90^o].

Например, arcsin0=0^o, arcsin1=90^o, arcsin(-1)=-90^o, arcsin=30^o, arcsin=-30^o.

О п р е д е л е н и е  2.      a=arccosa,   если:

                        1)   cos a=a;       2) aÎ[0^o;180^o].

Например, arccos0=90^o, arccos1=0^o, arccos(-1)=180^o, arccos=60^o, arccos=120^o.

О п р е д е л е н и е  3.      a=arctga,   если:

                        1)   tg a=a;       2) aÎ(-90^o;90^o).

Например, arctg0=0^o, arctg1=45^o, arctg(-1)=-45^o.

Радианная и градусная меры углов

       Если величина угла выражена в градусах, то для вычисления ее в радианах следует пользоваться формулой

a  радиан = .

Отсюда можно получить формулу:

Градусную меру угла  a= вычисляют так:

                            .

                    Для быстрого решения простых задач целесообразно запомнить, что ,  ,  ,  ,  , , p=180^о, 2p=360^о.

Период тригонометрических функций

Напомним, что периодом функции y=sinx и y=cosx является число Т=2p. Периодом функции y=tgx является число Т=p.

           Известно,  что периоды функций       y=Asin(wx+j)   и      y=Acos(wx+j) вычисляются по формуле Т=, а период функции y=Atg(wx+j) по формуле Т=.

Если   период   функции  y=f(x)  равен Т₁,  а период функции  y=g(x)   равен

 Т₂ , то период фукций y=f(x)+g(x) и y=f(x)-g(x) равен наименьшему числу,    при делении которого на Т₁ и Т₂ получаются целые числа.

Пример 1. Вычислить cos840^o.

Решение. cos840^o=сos(2^.360^o+120^o)=cos120^o=cos(180^o-60^o). Применяя формулу приведения, легко получить cos(180^o-60^o)=- cos60^o=-0,5.

Ответ: -0,5.

Пример 2. Вычислить tga, если  и < a< .

Решение. Воспользуемся определением тангенса

Для вычисления cosaвоспоьзуемся формулой (1) sin²a+cos²a=1:

cos²a=1-sin²a=1-

             Отсюда cosa= или cosa=. Так как aÎ, то cosa=.

              Теперь вычисляем tga:

               Ответ: 0,75.

Пример 3. Вычислить arccos

Решение. )=0,5. Отсюда arccos

Ответ: 

Пример 4.  Упростить   

Решение. В числителе раскроем скобки:

=

Применяя в числителе формулы (1) и (13), а в знаменателе формулу (14), получим

Ответ: 1.

 Пример 5. Упростить .

Решение. Заметим, что 65^о=90^о-25^о, тогда

=.

Применяя формулу приведения, получим

=.

Применяя формулу (13), имеем

=.

Используя формулу приведения, получим окончательный ответ

Ответ: 2.

Пример 6. Вычислить

Решение. Применяя формулы (28) и (24), получим

Ответ 1.

Пример 7. Вычислить cos15^о-sin15^o.

Решение.Обозначим cos15^о-sin15^o=а.  Тогда а² =( cos15^о-sin15^o)²=

= cos²15^о-2 cos15^osin15^o+sin²15^o. Применяя формулы (1) и (13), получим

cos²15^о-2 cos15^osin15^o+sin²15^o=1-0,5=0,5,т.е. а²=0,5.

Отсюда  или

Из условия ясно, что а>0.

Ответ: .

Пример 8. Вычислить:

      
Решение: Применяя формулы (13) и (14)  получим 

Применяя еще раз формулу (13), имеем

.

Ответ 0,25

Пример 9. Вычислить

;

.

Итак, исходное выражение принимает вид      

Ответ 2.

Пример 10. Вычислить tga, если

Решение. Если назвать угол 2a аргументом, то угол a следует назвать половинным аргументом. Воспользовавшись формулой (35),
вместо исходного уравнения будем иметь
 

Отсюда , т.е.  или
  С учетом того что   имеем

Ответ 1,5.

Пример 11. Вычислить , если

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на cosa(это можно сделать, так как cosa¹0):

Ответ:

Пример 12. Вычислить  sina, если

Решение. Возведем в квадрат равенство, данное в условии:

 или 

Воспользовавшись формулами (1)  и (13), получим 1-sina=1,96.

Отсюда sina= - 0,96.

Ответ: -0,96.

Пример 13. Вычислить tgb, если tga=1  и tg(a-b)= - 2.

Решение. Воспользовавшись формулой (12)

Второе из равенств, данных в условии, можно переписать в виде     или

Отсюда tgb= -3.

Ответ: -3.

Пример 14. Вычислить

Решение.

Применяя формулу (13), а затем формулу приведения, окончательно получим

Ответ 0,25.

Пример 15. Упростить

Решение. Применяя формулу разности квадратов, получим

Применяя формулу  (14) для первой скобки и формулу (1) – для второй скобки, имеем

Ответ: -1.

Пример 16. Упростить  cosg+sin(g+30^o)sin(g-30^o).

Решение. Применяя формулу, получим

Ответ 0,5.

Пример 17. Упростить

Решение. Применяя формулу, согласно которой

получим 

Ответ: 1.

Пример 18. Упростить

Решение. Упростим вначале первую дробь. Применяя в числителе формулу (14), а в знаменателе  - (13), получим

.

Используя формулу (1), последнее выражение можно переписать в виде

Применяя формулы сокращенного умножения, получим

Упростим теперь вторую дробь. Применяя формулу (2), получим

Итак, исходное выражение можно переписать в виде

Ответ 0.

Пример 19. Упростить   .

Решение. Применяя формулы 16 и 17, получим

=

=

=

=

Применяя формулы 13 и 14, окончательно имеем

=

Ответ. 0,75.

Пример 20. Упростить

Решение. Применяя формулы 9 и 10, получим

=

=

.

    Произведя почленное деление в первой дроби, получим

.

    Применяя формулу (3), окончательно имеем

    Ответ: 1.

Пример 21.  Найти период функции y=cosxcos6x.

Решение.  Воспользовавшись формулой (25), получим

y=cosxcos6x=

      Период функции y=cos5xравен Т₁₌ Период функции y=cos7xравен Т₂₌

          Наименьшее  число, при делении которого на Т₁₌ и Т₂₌ получаются целые числа, есть число 2p. Следовательно, период заданной функции равен Т=2p.

        Ответ. 2p.

Пример 22. Найти период функции y=3sin(x-2)+7cospx.

Решение. Период функции y=3sin(x-2) равен Т₁₌ Период функции y=7cospxравен Т₂₌

       Периода у функции y=3sin(x-2)+7cospxне существует, так как такого числа, при делении которого на 2pи на 2 получались бы целые числа, нет.

Ответ. Не существует.

Примеры для самостоятельного решения.

1.  Упростить     .                               Ответ: 5.

2.  Упростить     .                             Ответ: 2.

 Вычислить значения тригонометрических выражений   

3. , если tga=3.                                 Ответ:  .

4. tg²a+ctg²a,  если tga+ctga=2.                                   Ответ:  2.

5. ,  если sinxcosx=0,4   и х.      Ответ: 3.

6. sin⁴a+cos²a+ sin²acos²a.                                             Ответ: 1.

7. cos²2a+ 4sin²acos²a.                                                   Ответ: 1.

8..                                                   Ответ: 1.

9. .                                                          Ответ: 2.

9.     .                            Ответ: 0.

10.           .                                               Ответ: 4.

11.           4sin(30^o+a)cosa-2cos(60^o-2a).                                   Ответ: 1.

12.             cos²a+ cos²b-cos(a+ b)cos(a- b).                             Ответ: 1.

13.           tgatgb+( tga+tgb)ctg (a+b).                                       Ответ: 1.

14.           cos²a-2cosacosbcos(a+b)+cos²(a+b)-sin²b.              Ответ: 0.

15.           3(sin⁴a+cos⁴a)-2(sin⁶a+cos⁶a).                                   Ответ: 1.

16.           ctg70^o+4cos70^o.                                                             Ответ:

Решение.

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

10.          

11.          

12.

13.

14.

16. ctg70^o+4cos70^o=

=

=