Элективный курс по математике "Универсальный метод решения неравенств"
элективный курс по алгебре (11 класс) по теме

Элективный курс по математике "Универсальный метод решения неравенств"

Автор программы: учитель математики Первутинская Любовь Сергеевна

Пояснительная записка

Целью профильного обучения является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к итоговой аттестации и продолжению образования.

В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В) и с выбором ответа, встречаются задания, в которых нужно решать неравенства. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Многообразие неравенств охватывает весь курс школьной математики. Но методу интервалов уделено мало внимания. Между тем, этот метод достаточно прост в применении и позволяет решать неравенства от очень простых до достаточно сложных. Владение приемами решения различных неравенств можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Универсальный метод решения неравенств».

Применение метода интервалов для решения неравенств высших степеней, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических, а также неравенств с модулем дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Актуальность и перспективность опыта, его практическая значимость

Данный элективный курс предназначен для учащихся 10-11 классов, причём его программа применима для различных групп школьников, независимо от выбранного профиля. Владение общими приемами решения неравенств различного типа можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Новизна опыта

Разработана и апробирована программа элективного курса. Систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.

Результативность

Учащиеся более уверенно решают неравенства различного типа, в том числе неравенства с модулями и с параметрами. Повысилось качество подготовки учащихся к итоговой аттестации и к сдаче ЕГЭ.

Адресная направленность

Разработанный элективный курс может быть использован при подготовке к ЕГЭ и вступительным экзаменам в вузы.

Универсальность метода интервалов состоит в том, что его можно применять для решения неравенств высших степеней, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических, а также неравенств с модулем и параметрами. Особое внимание при повторении следует обратить на неравенства, содержащие модули и параметры. В обязательном минимуме этот материал представлен, но в школьном курсе алгебры такие задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому вызывают трудности у школьников. Дело в том, что методы решения уравнений и неравенств с параметрами и модулями учащимся неизвестно. Поэтому, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю, а регулярно.

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно.

При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.

Разработанный курс направлен на решение следующих задач:

1. Вооружение учащихся общими методами и приёмами решения математических задач.
2. Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету.
3. Выявление и развитие их математических способностей.
4. Подготовка к ЕГЭ и к обучению в вузе.

Цель курса

Формировать у учащихся умения и навыки по решению неравенств для подготовки к ЕГЭ и к обучению в вузе.

Изучение курса предполагает

1. формирование у учащегося интереса к предмету;
2. развитие их математических способностей;
3. подготовку к ЕГЭ, централизованному тестированию и к вступительным экзаменам в вузы;
4. развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося;
5. обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

Ожидаемый результат изучения элективного курса

Изучение элективного курса «Универсальный метод решения неравенств» позволит:

1. усвоить алгоритм решения неравенств методом интервалов;
2. применять метод интервалов для решения неравенств высших степеней, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических, а также неравенств с модулем и параметрами;
3. проводить полное обоснование метода при решении неравенств;
4. овладеть исследовательской деятельностью.

Формы проведения

Основными формами проведения элективного курса являются изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, практикумов по решению задач, зачётов и рефератов учащихся.

Содержание курса

Обоснование метода интервала. 1 час.

Свойство непрерывных функций. Описание метода интервалов. Алгоритм решения неравенств методом интервалов. Рассмотрение простейших примеров.

Методические рекомендации. Учащиеся ещё в  9-м классе встречались с применением метода интервалов при решении простейших неравенств, но без должного теоретического обоснования.  Важно показать учащимся, что метод интервалов строится на основе  свойства непрерывных функций (свойство сохранять знак на промежутке между нулями функции). Затем отработать  пошаговое применение метода на знакомых учащимся неравенствах вида P(x) > 0, > 0, где  P(x), G(x) – многочлены.

Примерные неравенства: (х+3)(2х – 1)х < 0; (х2 – 4)(х + 5) ≥ 0;  < 0;   ≥ 0.

Неравенства высших степеней. Рациональные неравенства. 3 часа.

Решение неравенств вида >0, где к1, к2,…кn, n – натуральные числа и неравенства вида > 0, где P(x), G(x) – многочлены..

Методические рекомендации. Повторить с учащимися способы решения уравнений высших степеней (способы разложения на простые множители, замены переменной, применения теоремы Безу, схемы Горнера и т.д.). Познакомить с различными способами определения знака выражения на промежутке. Рассмотреть неравенства, при решении которых встречаются кратные корни.

Примерные неравенства:

х4–  5х2 – 6 < 0; х4 + 4х3 – 2х2 + 12х – 15 ≥ 0;  < 0;   ≥ 0.

Иррациональные неравенства. 2 часа

Решение неравенств вида , где P(x), G(x) – многочлены, а также других неравенств, содержащих радикалы.

Методические рекомендации.

Тригонометрические неравенства. 4 часа.

Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности. Алгоритм решения тригонометрических неравенств методом интервалов. Решение тригонометрических неравенств методом интервалов. Отработка алгоритма.

Методические рекомендации.

Тема «Тригонометрические неравенства» в школьных учебниках представлена очень скудным набором заданий. В основном для решения предлагаются неравенства вида sin x > 0, cos x > 0,   tg x > 0, ctg х > 0 (вместо знака «>», могут стоять «<, ≤, ≥») и неравенства вида sin (kx+b) > 0 и т.п. Рассмотрим решение сложных тригонометрических неравенств методом интервалов.

П р и м е р.

Решим неравенство 2 соs2x + 3 cos x + 1 ≥ 0.

Преобразуем неравенство к виду (cosx + 1)(2 cosx + 1) ≥ 0.

Отметим на единичной окружности те значения х, при которых cosx = 1или cosx = –. Найдём знак выражения  (cosx + 1)(2 cosx + 1) на каждом промежутке.

При  х=0  (cosx + 1)(2cosx + 1)> 0, х =  (cos+ 1)(2 cos+ 1)<0 и при х =    (cos() + 1)(2 cos()+ 1)<0. Решению исходного неравенства соответствуют те дуги, которые отмечены знаком «+» и х = П. Окончательное решение можно записать в виде совокупности промежутков х{П}[+ 2 Пn;  + 2 Пn], nZ. При записи окончательного ответа нужно помнить, что если в одном из промежутков нарушается переход значений от меньшего к большему, то следует заменить один из концов промежутка, прибавив или отняв 2П.

Примерные неравенства ; (2sin x + 1)( 2sin x –) > 0

Показательные неравенства. Логарифмические неравенства. 4 часа.

Решение показательных, степенно-показательных, логарифмических неравенств различных видов. Комбинированные неравенства.

Методические рекомендации. При решении показательных и логарифмических неравенств, как правило, используют свойства убывающей и возрастающей функций. Но такие неравенства можно решать и методом интервалов.

П р и м е р

Решим неравенство 0,23 – х  >5. Преобразуем неравенство к виду   0,23 – х  – 5 > 0. Найдём нули выражения   0,23 – х  – 5. 0,23 – х  – 5 = 0, х = 4. Найдём знак на промежутках (– ∞; 4) и (4; + ∞).

Ответ:   (4; + ∞).

Так же решаются и более сложные неравенства. Примерные неравенства:  9х – 4·3х + 3 ≤ 0;  3·4х + 6х – 2·9ч > 0;   lg2x – 4 ≥ 0;  2log22x – 5 log2x ≤ –3;   < 0.

Неравенства с модулем.

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Методические рекомендации.

Планирование (20 ч.)

Литература

1. А.Н.Колмогоров и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс.2005 г.
2. Математика в школе. №6-1992 г.
3. В.С. Крамор Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2000.
4. В.С. Крамор Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа - М.: Просвещение, 1993 г.
5. А.М. Тираненко, А.Н. Роганин
6. Математика для поступающих в вузы //Сост. А.А.Тырымов. – Волгоград: Учитель, 2000.
7. Математика. Задачи М.И.Сканави. - Минск; В.М.Скакун,1998г.
8. М.К.Потапов и др. Уравнения и неравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г
9. Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами, Брянск, 1999
10. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2001-2008 г.
11. Вступительные экзамены в ВУЗы. Математика в школе. 1992-2007 гг.

Электронные учебники

1. Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по Математике.
2. 1С:Репетитор. Математика. Электронные уроки по всему курсу средней школы.
3. Графопостроитель.
4. Информационные ресурсы сети Интернет.