Конспект факультативных занятий в 9-м классе
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Конспект факультативных занятий в 9-м классе

по теме «Нестандартное решение задач

на совместно произведенную работу (СПР)». (4 часа).

Цель занятия. Научить учащихся решать задачи СПР нестандартным способом, опирающемся на использование простейших представлений об изоморфизме моделей.

Ход занятия

I. Устно с учащимися повторяется общая схема решения задач СПР стандартным способом по заготовленному плану:

1). 1 весь объем работы;

 время, необходимое для выполнения данной работы отдельными производителями;

части данной работы, выполненные в единицу времени отдельными производителями (производительности).

2). Устанавливаются соотношения между неизвестными величинами; составляются уравнения или системы уравнений.

3). Решение уравнений или систесы уравнений.

4). Исследование полученных решений.

II. Учитель предлагает учащимся по данной схеме самостоятельно решить задачу (условие на доске). 

Задача. Две бригады рабочих, работая вместе, могут окончить некоторую работу за 8 дней. Если бы работало   рабочих 1-ой бригады и 0,8 рабочих  2-ой бригады, то работа была бы выполнена за  дней. За сколько дней могла бы выполнить эту работу каждая бригада в отдельности ?

Решение. Вся работа принимается за 1. Пусть x – количество дней, за которое 1-ая бригада выполняет данную работу; y – то же для 2-ой бригады. Тогда  соответственно, дневные производительности 1-ой и 2-ой бригад. По условию, обеими бригадами совместно работа выполняется за 8 дней. Отсюда получается следующее уравнение:                  (1)

По условию задачи также, если бы работало  рабочих 1-ой бригады и 0,8 рабочих 2-ой бригады, то работа была бы выполнена за за  дней. Отсюда получается еще одно уравнение:           (2) Уравнения (1);(2) составлены из условия одной задачи и поэтому образуют систему:  .Решая систему, находим x=12;y=24.

Ответ: 12 дней, 24 дня.

Устно проверяется ход решения задачи и сверяются ответы.

V

G1

G2

Gk

Gn

T1

T2

Tk

Tn

рис. 1

III. Объяснение учителя. Задачи такого типа можно решать другим способом, интерпретируя условия задачи как наполнение жидкостью некоторого резервуара через систему трубопроводов с различными пропускными способностями и снабженных кранами (рис.1). Схема (рис.1), представленная на плакате (или презентации), разбирается и переносится в тетрадь. V – объем резервуара, как правило, принимается за 1,  пропускные способности трубопроводов, время работы кранов в открытом режиме.

G1; T1

G2; T2

K1

K2

рис.2

V=1

После этого задача, рассмотренная в п.II, вместе с учителем решается в эквивалентной постановке: имеется некоторый резервуар объемом V=1, к которому подведены два трубопровода с кранами  и (рис.2). Пусть  и  время опорожнения (в днях) резервуара, соответственно, когда открыт только кран и, когда открыт только кран . Тогда пропускные способности трубопроводов будут, соответственно, равны  и , а их общая пропускная способность составит . По условию задачи, когда оба крана полностью открыты, резервуар опорожняется за время Т=8 дней, т.е. =, откуда следует уравнение: .Если кран  открыт не полностью, так, что трубопровод работает с производительностью , а кран  при этом также открыт не полностью и его трубопровод работает с производительностью , то опорожнение резервуара происходит за  дней. Отсюда приходим к уравнению: и, в итоге, решение задачи приводит к системе:

, откуда ;,  дней.

Ответ: 12 дней, 24 дня.

Учитель предлагает сравнить два способа решения этой задачи и указать преимущества второго нестандартного способа.

Преимущества: 1. Наглядность;

                           2. Доходчивость;

                           3. Краткость.

IV. Учащимся предлагается решить нестандартным способом задачу Л.Н.Толстого. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Учащиеся при помощи учителя составляют схему, интерпретирующую данную задачу и самостоятельно решают ее по составленной схеме.

Решение. Данная задача эквивалентна следующей. Имеются два резервуара, объём одного из них вдвое больше другого. Резервуары могут заполняться жидкостью от источника с пропускной способностью  G   через

K1

K2

G

Рис.3

рис. 6

2V

V

систему трубопроводов одинакового диаметра с кранами K1 и K2 (рис.3). Полдня заполнялся большой резервуар (кран K2 был закрыт) и в результате в него поступило количество жидкости, равное . После этого был открыт кран K2 и оставшиеся полдня оба резервуара заполнялись одновременно, причём больший резервуар оказался заполненным. Поэтому, учитывая разветвление потока, за оставшиеся полдня в каждый резервуар поступило количество жидкости, равное . Так как при таком режиме работы больший резервуар оказался заполненным, то в результате получаем следующее уравнение:  G=2V                                                (3)

На следующий день производительность источника уменьшили в k раз так, чтобы оставшаяся часть объёма малого резервуара заполнялась полный день. В результате получаем следующее уравнение: +=V      (4)                        Уравнения (3) и (4) позволяют установить, во сколько раз была уменьшена производительность источника. Действительно, поделив уравнение (3) на уравнение (4), получим:

                                           =2        ⇒ k=8.

Легко убедиться, что значение k=8 в исходной задаче как раз соответствует числу косцов в артели. Для этого рассмотрим решение этой задачи по традиционной схеме.

Пусть x – число косцов артели, y – размер участка, скашиваемого одним косцом за один день. Заметим, что y представляет вспомогательное переменное, которое вводится для облегчения решения задачи, и в итоге сокращается. Далее выразим через x и y площади большого и малого луга. Площадь большого луга равняется  площадь малого луга . Большой луг по условию больше малого в 2 раза ⇒  или . После сокращения на y получим:⇒ x=8.   Ответ: 8 косцов.

V.Учитель вместе с учащимися разбирает нестандартное решение текстовой задачи повышенной сложности.

Трое рабочих должны изготовить некоторое количество деталей. Сначала к работе приступил первый рабочий, а через некоторое время к нему присоединился второй. Когда  часть работы была выполнена, к работе приступил третий рабочий. Работу они закончили одновременно. Сколько времени работал первый рабочий, если каждый рабочий изготовил одинаковое количество деталей, причём третий рабочий работал на 2 часа меньше второго? При этом известно ещё, что первый и второй рабочие, работая вместе, могут изготовить требуемое количество деталей на 9 часов раньше, чем третий рабочий, если бы он работал один.

Решение. Данная задача эквивалентна следующей. Некоторый резервуар объёма V=1 может заполняться через три трубопровода с пропускными способностями G1, G2 и G3 ;. Трубопроводы снабжены кранами K1, K2 и K3 (рис. 4).

G2; T2

G3; T3

K2

K3

рис.4

K1

V=1

G1; T1

Пусть T1, T2 и T3, соответственно, времена работы первого, второго и третьего трубопроводов, причём, по условию,    T1 >T2 > T3                 (5).

Для решения задачи необходимо составить шесть уравнений для определения шести неизвестных: G1; G2; G3; T1; T ; T3, причём, последние три должны удовлетворять неравенству (5).

Для составления уравнений изобразим график работы трубопроводов (рис.5). Из графика видно, что при 0≤T1-T2 – работал только первый трубопровод (краны K2 и K3 закрыты); при (T1-T2)≤T<(T1-T3) – работали первый и второй трубопроводы (кран K3 закрыт); при (T1-T3)≤T1 – работали все три трубопровода (краны K1, K2 и K3 открыты). Следует заметить, что площадь заштрихованной фигуры на рис.5 равна 1, т.к. представляет собой выполненную работу.

G

T

T1-T3

T1-T2

O

G1

G1+G2

G1+G2+G3

    Рис.5

Приступим к составлению уравнений задачи. По условию сначала к работе приступил первый рабочий, а через некоторое время к нему присоединился второй. Таким образом, они выполнили  часть всей работы. В эквивалентной задаче это звучит так: Первый трубопровод работал время  (T1-T2) и заполнил G1(T1-T2) часть резервуара, после чего открылся кран K2, и первый и второй трубопроводы время (T1-T3)-(T1-T2)=T2-T3 работали вместе, заполнив ещё (G1+G2)(T2-T3) часть резервуара.

В сумме при таком графике работы трубопроводов заполняется  часть резервуара. Отсюда получаем первое уравнение задачи:

                               G1(T1-T2)+(G1+G2)(T2-T3)=, откуда

                                         G1(T1-T3)+G2(T2-T3)=                                        (6).

Далее, по условию задачи, третий рабочий работал на 2 часа меньше второго (т. е. третий трубопровод работал на 2 часа меньше второго). Поэтому                                                   T2 - T3=2.                                                        (7)

По условию, каждый рабочий изготовил одинаковое количество деталей и, следовательно, выполнил  всей работы. В эквивалентной задаче это означает, что через каждый трубопровод за время его работы перекачивается одинаковое количество жидкости, равное  объёма закачиваемого резервуара. Поэтому

                                     G1T1=G2T2=G3T3=                                        (8)

И, наконец, используем последнее условие задачи: первый и второй рабочие справляются с поставленной работой на 9 часов быстрее, чем третий рабочий. Это означает, что заполнение резервуара через первый и второй трубопроводы происходит на 9 часов быстрее, чем, если бы работал один третий трубопровод.

Общая пропускная способность первых двух трубопроводов равна сумме G1+G2. Тогда обратная величина    есть время заполнения резервуара через первый и второй трубопроводы (кран K3 закрыт). Время заполнения резервуара через третий трубопровод (краны K1 и K2 закрыты) составляет . Отсюда получаем следующее уравнение:

                                    - =9                                                (9)

Поскольку составленные уравнения получены из условия одной задачи, то они образуют систему:

                                                                   (10)

Система (10) есть математическая модель данной задачи. Она состоит из шести уравнений и содержит столько же неизвестных. Эти неизвестные по смыслу задачи должны быть положительными и, кроме того, должно выполняться неравенство (5). Заметим, что конкретный смысл неизвестных в системе (10) не играет абсолютно никакой роли. Поэтому оправдана эквивалентная постановка задачи, имеющей более наглядное представление.

Решаем систему (10). Открывая скобки в уравнении (6), получим

G1T1-G1T3+G2T2-G2T3=, что с учётом уравнения (7) даёт:        T3(G1+G2)=, откуда T3=.

В тоже время G3=. Подставляя выражение (G1+G2) и G3 через T3 в последнее уравнение системы, получим: T3=9 часов, тогда T2=11 часов, G3=; G1+G2=; G2==. Откуда: G1=-= и, наконец, T1===13 часа=13 часа 12 мин. Полученные решения удовлетворяют неравенству (1). Поэтому отсюда следует

Ответ: первый рабочий работал 13 часов 12 минут.

VI. Подведение итогов занятий.

VII. Домашнее задание: прорешать нестандартным способом задачи №№ 13.004, 13.006, 13.010, 13.012, 13.021, 13.030 из сборника [7].

Список литературы

1. Фирстов В.Е. Идея изоморфизма и ее интерпретация при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры: теоретический аспект [Текст] / В.Е.Фирстов, И.В. Серебрякова, В.И.Игошин // Актуальные вопросы региональной педагогики. Сб. науч. трудов. Вып.7. – Саратов: изд-во СГУ, 2005. – С. 32-38.

2. Фирстов В.Е. Идея изоморфизма и ее интерпретация при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры (примеры решения задач) [Текст] / В.Е.Фирстов, И.В. Серебрякова, В.И.Игошин.–Там же. – С. 38-43.

3. Фирстов В.Е. Идея изоморфизма и ее интерпретация при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры [Текст] / В.Е.Фирстов, И.В. Серебрякова, В.И.Игошин // Университет и гимназия: опыт становления научно-учебно-методического комплекса в условиях глобализации образования. Сб. статей / Под ред. Н.И.Девятайкиной, З.И.Ивановой, Л.М. Розенберга.–Саратов:Изд-во «Научная книга», 2005.–С.113-126.

4. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений  [Текст] / М.В.Лурье, Б.И. Александров. – М.,   Наука, 1990. – 96 с

5. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике [Текст] / В.Д.  Чистяков. – Минск: Вышэйшая школа, 1978. – 270 с.

6. Шахно К.У. Сборник задач по математике повышенной трудности [Текст] / К.У.Шахно. – Минск: Вышэйшая школа, 1969. – 303 с.

7. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы [Текст] / Под. ред. М.И.Сканави. – Ташкент, «Укитувчи», 1992. – 430 с.

8. Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики [Текст] /  Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, Е.Л.Мокрушин, В.А.Оганесян, Л.Ф.Пичурин, В.Я.Саннинский. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.