Департамент Образования города Москвы

Северо-западное окружное управление образования

Государственное бюджетное образовательное учреждение

гимназия № 1551

Зачетная работа по основному блоку

«Учебное проектирование»

Направление:  естественнонаучное

Предмет: математика

ТЕМА: Метод проектов в уроке по теме «Длина окружности»

Слушатель: Седова Светлана Викторовна

Москва

2012

«Всякое знание остается мертвым, если в учащихся не развивается инициатива и самодеятельность: учащегося нужно приучать не только к мышлению, но и к хотению».

Н.А.Умов

Цель урока: Определить величину прямо пропорциональности длины окружности и диаметра окружности, научиться вычислять длину окружности.

Задачи:

Образовательная:

- научиться вычислять длину окружности по формуле l=2R;

- освоить простейший способ вычисления числа ;

- запомнить значение числа ;

- умение работать с чертежными инструментами (линейка, циркуль, угольник).

Развивающая

- анализ полученных результатов измерительного этапа;

- развивать познавательную активность;

- развивать внимание; мышление; самостоятельность; формировать способность к обобщению;

- развивать интерес к предмету;

- систематизация информации из ответов одноклассников, формирование коллективного вывода по теме.

Воспитательная

- учить прислушиваться к мнению своих товарищей;

- развивать умение работать в группах;

- овладение проектным методом мышления.

Предполагаемый результат: Учащиеся опытным путем вычисляют значение числа  и выводят формулу длины окружности l=2R.

Продукт: значение числа  и формула длины окружности l=2R.

Ход урока.

I. Организационный момент (2 минуты)

Сообщение темы, цели урока запись даты на доске и в рабочих тетрадях.

II. Проверка домашнего задания Взаимопроверка. (Ученики меняются тетрадями с соседями по парте, проверяют домашнее задание)

III. Устная работа (с целью контроля знаний, полученных на предыдущем уроке)

№842 (а), № 843 (а,б)

IV. Изучение нового материала.

С

В

Постановка проблемы: Выполните измерения длин (отрезка, сторон треугольника, сторон прямоугольника, окружности) геометрических фигур.

В

D

А

В

А

С

А

Что не получилось измерить? Почему?

Чтобы такое сделать с окружностью, чтобы ее длину можно было бы измерить линейкой? – Разрезать, распрямить и похожие ответы…

Верно, мы так и поступим… НО не для всех окружностей это можно сделать, лучше если была бы формула… такая что, зная, например, радиус (диаметр) окружности  можно вычислить длину любой окружности.

Учащимся раздаются (достают свои из дома) кружки, нитки или тоненькая веревочка, линейки.

В тетрадке учащиеся рисуют таблицу, проводят измерение и заносят результаты в Таблицу 1, формулируют Выводы.

Таблица 1.

•  Ученики анализируют полученные  данные, выделяют главное;

•  Выстраивают логическую цепочку для формулировки выводов;

Выводы:  1. Отношение l к d не зависит от радиуса окружности, не зависит от длины окружности и является числом постоянным равным приблизительно 3,14. 2. Длина окружности прямо пропорциональна диаметру окружности. 3.  Формула длины окружности  l=2r (или  l=d), где =3,1415926…

Это число называют число  (ПИ).

Как запомнить число.

Про число   — 3,1415926...
Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь,
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться
И запомнить все как есть
Три — четырнадцать —
пятнадцать — девяносто два и шесть!

 С.Бобров

Решение задач по новой теме:

№833

№831

№834

V. Повторение и систематизация пройденного материала.

№846

№848(1)

VI. Итог урока.

Вопросы №1 и №2 из учебника.

VII. Домашнее задание.

№851, №852 (1 значение r), №857(а).

VIII. Приложение.

Дополнительный (исторический) материал к уроку.

Поэзия числа p

Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуется числом p. В школе на нелюбимой многими геометрии мы уяснили, что это отношение длины окружности к диаметру, что ж тут может быть интересного? Но познакомившись поближе с этим виртуальным героем, мы будем удивлены еще больше, ибо история человечества предстанет нам как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа p и поисков алгоритмов для этого процесса.

... Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков, проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени.

= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Зачем, спросит обыватель, нам столько знаков p, ведь известно, что для расчета полета на край нашей Галактики с точностью, равной диаметру протона, достаточно знать сорок знаков числа, а при расчете земной орбиты вокруг Солнца с точностью до миллиметра достаточно четырнадцати знаков? А уже в XVII веке были получены первые 34 знака. Трудно объяснить деловым людям, ожидающим непременную сиюминутную выгоду от каждого движения, что число p, как и простые числа, совершенные, дружественные, числа Мерсенна, — это вызов нашему интеллекту, волнующая загадка устройства мира, в конце концов, это очень интересно. Какое бы сочетание цифр мы бы ни выдумали — оно непременно встретится в знаках числа p, то есть можно ожидать появление любой наперед заданной последовательности цифр. Например, самые распространенные расстановки встретились в следующих по счету цифрах:

01234567891 — начиная с 26852899245-й
01234567891 — с 41952536161-й
01234567891 — с 99972955571-й
01234567891 — с 102081851717-й
01234567891 — с 171257652369-й
01234567890 — с 53217681704-й
01234567890 — с 148425641592-й
27182818284 (это цифры числа е) — с 45111908393-й. (Была такая шутка: ученые нашли последнее число в записи p— им оказалось число е, почти попали.)

Попробуйте поискать в первых десяти тысячах знаков p свой телефон или дату рождения; если не получится — ищите в ста тысячах знаков.
И еще: в числе 1/p начиная с 55172085586-го знака идут 3333333333333; не правда ли, удивительно? Да что ходить далеко: даже в первой тысяче есть неожиданности — пять девяток подряд.

Есть гипотезы, предполагающие, что в числе  скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям. В том числе и различные предсказания — надо лишь найти их и расшифровать; имея под рукой компьютер — это не составит большого труда. Хочется только напомнить, что один исследователь в ответ на сообщения о наличии в Библии зашифрованных предсказаний сказал, что он с помощью программы нашел в Библии предсказание о том, что в ней нет никаких предсказаний. Но это вовсе не значит, что мы должны прекратить наши опыты с .

История числа "пи"

История числа  выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число  считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е.  3,160...
В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число  в то время принимали равным , что даёт дробь 3,162... 
Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

Архимед в III в. до  н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:

1. Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
2. Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
3. Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя  вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что  = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653... 
В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...
Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил  с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число  только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что  можно отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить  с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом  английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.
В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число  иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, н е в о з м о ж н о, а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.
Поиски точного выражения  продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610)  (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа  с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.
К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа . Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.
После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =/4,

который дал возможность вычислить  более коротким путём, нежели Архимед. Всё же указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных расчётов. Для вычисления "пи" удобнее использовать ряд, получаемый от разложения arctgx при значении x=1/, при котором разложение функции arctg 1/=/6 в ряд даёт равенство

/6 = 1/[1 - 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + ...],
т.е.
= 2[1 - 1/9 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + ...]

Частично суммы этого ряда можно вычислять по формуле

Sn+1 = Sn + (2)/(2n+1) * (-1/3)n,

при этом "пи" будет ограничено двойным неравенством:

S2n <  < S2n+1

Ещё более удобную формулу для вычисления p получил Дж.Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил p (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для "пи" даёт выражение

 +

Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая - трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.
Как указала в своих статьях Э.Я.Бахмутская (60-ые годы XX столетия), ещё в XV-XVI вв. южноиндийские учёные, в том числе Нилаканта, пользуясь приёмами приближённых вычислений числа , нашли способ разложения arctgx в степенной ряд, подобный ряду, найденному Лейбницем. Индийские математики дали словесную формулировку правил для разложения в ряды синуса и косинуса. Этим они предвосхитили открытие европейских математиков XVII в. Тем не менее их изолированные и ограниченные практическими потребностями вычислительные работы никакого влияния на дальнейшее развитие науки не оказали.
В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число "пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов.
В современной математике число - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии, и формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа  и числа e следующим образом:

e2 i = 1, где i = .

Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа .