Урок обобщения по теме: «Решение тригонометрических уравнений».
план-конспект урока алгебры (10 класс) на тему

Урок обобщения по теме: «Решение тригонометрических уравнений».

Тип урока: урок обобщения знаний.

Класс: 10 класс.

Продолжительность урока: 90 минут.

Учебник: А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10-11.

Цели урока:

Образовательная

- выработать прочные навыки решения тригонометрических уравнений;

- отработать алгоритм решения различных видов тригонометрических уравнений.

Развивающая

- способствовать формированию умений классифицировать тригонометрические уравнения по методу их решений,

- развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

-активизация самостоятельной деятельности;

-развивать познавательный интерес;

- развивать наглядно-действенное творческое воображение.

Воспитательная

- содействовать понимания значимости этого урока на завершающем этапе линии простейших тригонометрических уравнений

- воспитание чувства коллективизма, ответственности, самоконтроле.

- воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся;

- умение учащихся данной группы построить на короткое время взаимодействия, исходя из особенностей задач.

- Эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради, через наглядные и дидактические пособия.

В ходе урока формируются общеучебные умения: 

1. пользоваться доской;
2. организовывать себя на работу;
3. работа с таблицей;
4. пользоваться умением самопроверки.

Знать: методы решения тригонометрических уравнений.

Уметь:

          2. решать различные виды тригонометрических уравнений;

          3. сравнивать уравнения, находить отличия;

Деятельность учителя: осуществление дифференцированного обучения, поддержание обратной связи с группами в непрерывном виде.

Ход урока:

1. Организационный момент.

(введение в тему урока, формирование целей)

2. Работа устно:

На доске написано задание «Найдите ошибку»

а)                                    (не определено)

б)                                        

в) ;            (не существует)

г)                                            

д)                                          

3. Работа по вариантам (обучающая самостоятельная работа)

к доске вызываются два человека (решают, объясняют), остальные делают в тетрадях

 IV.Устная работа. ( на доске)                                    

                         Необходимо найти соответствие

                                                                                               где    nZ

Ответ:

V. Индивидуальная работа. Решите уравнения, записанные на доске:

1.                       (отв. , где n  Z)

2.         (отв. , где n  Z)

3.              (отв. , где n  Z)

4.

          (отв. , где n  Z)

5.                         (отв. , где n  Z)

6.                      (отв. , где n  Z)

7.

                   (отв. , где n  Z)

8.                      (отв. , где n  Z)

9.              (отв.нет корней)

10.              (отв. , где n  Z)

VI. Работа по группам (всем одно и тоже)  кто быстрей, один из группы к доске и объясняет

1.    (отв.  где k  Z)

2.             (отв. , где n  Z)

3.       (отв. , где m, n  Z)

4.                 (отв. , где m, n  Z)

5.                           (отв. , где m, n  Z)

VII. Классификация тригонометрических уравнений.

1. 3sin2x – sinx cosx – 2 cos2x = 0.
2. cos2x – 9· cosx + 8 = 0.
3. 2 cos2x – 3sinx= 0.
4. sin6x – sin2x = 0
5. 2sinx·cosx = cos2x – 2sin2x.
6. 2cos2x – 11 sin+5=0
7. tgx+ 3ctgx = 4.
8. cos2x + cos= 0.
9. cosx + sinx = 1.
10. cosx + sinx = 0.
11. 3cosx + sinx =0
12. sinx + cosx = 1.

На доске написаны уравнения и повешена системно-обобщающая таблица. У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения уравнений, учащиеся заполняют свою схему.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РЕШЕНИЕ   УРАВНЕНИЙ   ПО                                         РЕШЕНИЕ  УРАВНЕНИЙ   ПУТЕМ

ИЗВЕСТНЫМ   АЛГОРИТМАМ                                       РАЗБИЕНИЯ   НА  ПОДЗАДАЧИ

№ 2,3,6        №__8, 4, 7_________

        ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                       УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ

              И  СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ                                       ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ НА

                                                                                                    МНОЖИТЕЛИ

        №____ 1, 11                                                                          №__8, 4, _________

УРАВНЕНИЯ ВИДА Acos x+Bsinx =C,                                  УРАВНЕНИЯ, РЕШАЮЩИЕСЯ

ГДЕ А, В, С ≠0, РЕШАЮЩИЕСЯ МЕТОДОМ                      ОЦЕНКОЙ  ЗНАЧЕНИЙ ЛЕВОЙ

ВВЕДЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА          И  ПРАВОЙ  ЧАСТИ  

      №___9, 10, 12___                                                                      № ______5,___________

Динамичные блоки уравнений

1 вопрос. О чем идет речь?

Ответ:  1, 2, 4 – простейшие тригонометрические уравнения, решаются по известным формулам; 3 – простейшее тригонометрическое уравнение с параметром. Решение имеет только при а =0.

2 вопрос. О чем говорит этот блок уравнений?

Ответ: 1, 3, 4 – однородные тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним, решаются методом подстановки;  2 – уравнение однородное, но заменив  1  в правой части на  

Sin2x + cos2x  и разделив обе части уравнения на  cos2x ( или на  sin2x), получим одноименное тригонометрическое уравнение.

3 вопрос. Что бы это означало?

Ответ: 1 – однородное уравнение первой степени, решается методом деления на  cosx  ( sinx );            

2 – однородное уравнение второй степени, решается методом деления на  cos2x  ( sin2x );

3 – нельзя делить на  cos2x, это приведет к потере корней. Можно делить на  sin2x или разложить на множители.

4 вопрос. Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.

Ответ: 1, 3 уравнения решаются методом разложения на множители; 2- уравнение лишнее. Оно содержит обратную тригонометрическую функцию.

5 вопрос. Назовите главный ключевой блок уравнений.

Ответ: Это блок простейших тригонометрических уравнений, так как решение всех остальных уравнений сводится к решению простейших.

6 вопрос.  Что объединяет данные уравнения?

Ответ: Это тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

7 вопрос. Рассказать алгоритм решения  данных уравнений.

Ответ: 1. Сводим к однородному уравнению.

            2. Делаем замену переменной.

            3. Решаем квадратное уравнение.

            4. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

Через 10 минут после начала работы учащиеся в лист учета знаний вкладывают обобщающую схему, а также экземпляр самостоятельной работы и сдают на проверку. После этого сами проверяют свои работы по готовым решениям на доске ( или кодоскопе ), что позволяет им сразу оценить свою работу и увидеть допущенные ошибки.

Решения:

Группа А : 1)  2( 1- sin2x ) + 3sinx =0;   2sin2x – 3sinx – 2 = 0;  sinx = t;  2t2 – 3t – 2 = 0; D = 25; t1= 2;

t 2 =-; sinx = 2   не имеет решения, т.к. 2 ;  sinx = -,  x= n+1+πn, nZ.

2). 2sinx cosx + sinx = 0;  sinx( 2cosx + 1 ) = 0 sinx = 0 или  2 cosx +1 = 0;  

sinx = 0;  x =  πn, nZ;   2cosx = - 1;  cosx = -; x = ± + 2πn, n Z.

Группа  Б: 1)  sin2x – 2sinx cosx + cos2x = 0;  tg2x – 2tgx + 1 = 0; tgx = t;  t2 – 2t + 1 = 0;  D = 0;  t = 1;

tgx = 1;  x =  + πn, n  Z.

2) sin 7x – sinx + cos4x = 0;  2cos4x sin3x + cos4x = 0;  cos4x( 2sin3x + 1 ) = 0;  cos4x = 0 или

2cos3x + 1 = 0.   cos4x = 0;  4x =  + πn, n  Z.;  x =  + ; n  Z.  2cos3x + 1 = 0; sin3x = - ;

x = n+1+ . , n Z.

Группа В: 1) cos2x cosx = cos2x cosx – sin2x sinx;  -sin2x sinx = 0;  sin2x = 0  или  sinx = 0.

X = , n Z.  или  х = πm, m Z.

2). cosx + sinx = 2;  cosx + sinx = 1;  cos cosx + sinsinx = 1; cos = 1;

x- = 2πn¸n Z; х =  + 2πn¸n Z.

Итог урока:

Вот уже несколько уроков мы решаем тригонометрические уравнения.

Ответьте, пожалуйста ,на вопросы:1. Что это за уравнения?  ( Тригонометрическими называют уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций)

2. Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем?

( Простейшие тригонометрические уравнения,  уравнения I  порядка,  уравнения  II  порядка сводящиеся к квадратным;  уравнения, решаемые разложением на множители;  оценкой левой и правой части;  уравнения решающиеся методом введения вспомогательного аргумента.)

После этого дается оценка работы группы и домашнее задание: подготовка к контрольной работе.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме: « Решение тригонометрических уравнений ».

Отзывы учащихся.

После урока учащимся было предложено оставить свои отзывы о проведённом уроке:

- что понравилось?

- что не понравилось?

- какие трудности возникли в ходе урока?

- ваши пожелания.

Анализируя отзывы учащихся, можно сказать, что учащимся было комфортно на уроке. Это было видно по их большой активности. Урок им понравился. Группа ребят изъявила желание изучить тригонометрические уравнения и неравенства, которые выходят за рамки общеобразовательной программы.

 На следующем уроке была проведена следующая контрольная работа в четыре в варианта с дифференциацией внутри заданий. Чтобы получить оценку « три » нужно было выполнить четыре первых задания, дающие представление о том на сколько прочно усвоен материал учащимися.

1-ое задание. Вычислите : а) sin 15;  б) cos 88* соs 2- sin 88 sin 2;  в) sin 50 cos 5 – cos 50 sin 5

является  заданием на применение формул сложения аргументов, что не вызвало затруднений у учащихся.

2-ое задание. Упростить выражение:  …………………………                                                     ,где необходимы знания формул двойного аргумента, с чем справились все ученики.

3-ье задание. Решить уравнение ………………………                                                             . Это задание требовало от них знание формул сложения аргументов и умение сводить его к простейшему виду……………… С ним также  справились все ученики, писавшие работу.

4-ое задание   …………..                                           содержало уравнение, решаемое с помощью разложения на множители, при этом нужно было найти числа, принадлежащие заданному промежутку. С этим заданием также справились все ученики класса.

Таким образом с базовым уровнем справились все учащиеся, писавшие работу.

5-ое задание  ………………………. содержало уравнение, относящееся к уравнениям, решаемым путём разбиения на подзадачи. С этим заданием справились 70% учащихся.

6-ое задание. ....................................... Было включено тригонометрическое неравенство для более подготовленных учащихся, с которым справились 50% учащихся.  

Подводя итог работы над темой: « Решение тригонометрических уравнений» и анализируя контрольную  работу, которая была проведена после обобщающего урока по теме, можно утверждать, что материал был усвоен учащимися на достаточно хорошем уровне.

Проведение обобщающего урока перед контрольной работой помогло им лучше и легче подготовиться к ней и как следствие: наблюдается улучшение качества написания работы по сравнению с предыдущими годами, хотя класс слабее.