Тема.  Применение нестандартных способов при решении

            показательных и    логарифмических уравнений

            и неравенств.

 Цель урока: 1) систематизировать знания о некоторых нестандартных

                       способах решения, умение применять свойства функций,

                       правила при решении уравнений и неравенств;

                      2) развивать умение видеть, умение распознавать

                       рациональность применения того или иного способа;

                      3) прививать интерес к математике, воспитывать

                        математическую грамотность ученика, как при устной,

                        так и при письменной работе.

  Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

  На доске:    

План урока:

1. Орг. момент.                           

2. Устная работа.                          

3.Работа в группах

4. Защита решений.                    

5. Сам. работа.                                      

6. Задание на дом

7. Итог урока.                                                      

Ход урока:

  I. Организационный момент.

*знакомство с целью урока;

  задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.

* использование при решении задач :

– монотонности функций;

– «правила знаков»;

– метода оценки;

– освобождение от логарифма.

  II. Устная работа.

 1. Какие из выражений имеют смысл?

а)                                 а) да;

б)                                      б) нет, т.к.  

в)                                  в) нет, т.к. а  

г)                                   г)  да; 

д)                                 д) нет, т.к.

 2. Решить уравнение:

 (Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет.  Левая часть – сумма возрастающих функций есть  функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

 3. Решить уравнение:

          /       :                  

 ( Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

    Разделим обе части уравнения на  

   следовательно, в левой части уравнения – сумма                                                         двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

– Какое  свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?    

         (свойство монотонности)

III. Работа в группах.  Решение задач.       

1 группа.   Решить уравнение:

 – Какой способ надо применить при решении данного   уравнения?                                                      

Решение:                                        

–  Используем свойство монотонности убывающей  функции, для этого

разделим на

– Можем ли мы угадать хоть один корень?  

( Можно угадать корень уравнения: х = 2.)                                              

– Докажем единственность.                                    

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

точка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

Ответ: х = 2.                                          

  2 группа.     Решить неравенство:

– Применим  теорему для функции f(f(x)).

– Сформулируем  теорему:

Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение

f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ:    

Решение:                                   

 – Выполним некоторые преобразования:

 – вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

– приведем к общему знаменателю:

– приведем подобные

 т.к. , а  , тогда

функция принимает вид , где  - возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:

///////o                    o//////   х                        

1. 10

–  Учитывая ОДЗ, получим:

Ответ: 1 ≤ x < 5, x > 10.                        

 3 группа.            Решить неравенство:  

  – Решим неравенство методом оценки левой и правой частей              

;              

Решение:

–Заметим, что .  

;          

   – Разделим обе  части уравнения на положительное выражение , получим:    

    ;                                                                            

– Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:                                                                    

 ;                          

не меньше 1       не больше 1                                                                                      

 – Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.  

 – Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

Ответ: х = 3.                                            

4группа.         Решить уравнение:                                              

;  

Решение:  

;  

 немонотонная ф-я       немонотонная ф-я                

–  Решим уравнение методом оценки;

– Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

– Преобразуем логарифмы в левой части;                                                        

;                    

;                                                                                                                          

Выделим полный квадрат в правой части;

– Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

– В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

– левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1                                                                при х = 1.  

– Равенство выполняется тогда и только тогда,  когда обе части                                                               уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

Ответ: х = 1.                                                                

 5 группа.                 Решить неравенство: 

– Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

– Освободимся от логарифмов по правилу знаков:    

Знак log a b совпадает со  знаком произведения (а – 1)∙(в – 1). 

Рассмотрим ОДЗ:

 Решение:  

 – Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов                        

    освободиться по правилу знаков:

– Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):                                                                

найдем нули функции: нули функции  

+                     +           +  

 //////o    _    ο////////o//////   х                        

       ½          2         5

функция f(x) > 0 при  учитывая ОДЗ, получим:  

Ответ:  

 IV. Защита проектов.

 – От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего                                                                решения (решение на доске кратко записать,                                                                пояснения по ходу решения, либо записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.

– Решить уравнение:

I вариант.                                            II вариант.

– Проверим решение  уравнений по готовым записям на доске:

 – Оценить самостоятельно (оценка на полях).                                                                                            

 VI. Задание на дом. 

1). Решить уравнение:

2). Решить неравенство:

а)

б)

 VII. Итог урока.

 – Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке?

– Давайте посмотрим графические интерпретации этих способов.

На чем они основываются?                                              

 (Ответы: использование монотонности функции, использование правила знаков, метод оценки)