Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Цель урока:

1. систематизировать знания о некоторых нестандартных способах решения, умение применять свойства функций, правила при решении уравнений и неравенств;
2. развивать умение видеть, умение распознавать рациональность применения того или иного способа;
3. прививать интерес к математике, воспитывать математическую грамотность ученика, как при устной, так и при письменной работе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

На доске:

План урока:

1. Орг. момент.
2. Устная работа.
3. Работа в группах
4. Защита решений.
5. Сам. работа.
6. Задание на дом
7. Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

• знакомство с целью урока; задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.
• использование при решении задач:
  – монотонности функций;
  – «правила знаков»;
  – метода оценки;
  – освобождение от логарифма.

II. Устная работа.

1. Какие из выражений имеют смысл?

2. Решить уравнение:

(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

3. Решить уравнение:

 / :

(Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на

  следовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

– Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?

(свойство монотонности)

III. Работа в группах. Решение задач.

1 группа. Решить уравнение:

– Какой способ надо применить при решении данного уравнения?

Решение:

– Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого разделим на

– Можем ли мы угадать хоть один корень?

(Можно угадать корень уравнения: х = 2.)

– Докажем единственность.

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

точка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

Ответ: х = 2.

2 группа. Решить неравенство:

– Применим теорему для функции f(f(x)).

– Сформулируем теорему:

Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ:

Решение:

– Выполним некоторые преобразования:

– вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

– приведем к общему знаменателю:

– приведем подобные

 т.к. , а , тогда

функция принимает вид , где  - возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:

– Учитывая ОДЗ, получим:

Ответ: 1 ≤ x < 5, x > 10.

3 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом оценки левой и правой частей

;

Решение:

–Заметим, что .

;

– Разделим обе части уравнения на положительное выражение , получим:

;

– Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:

– Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.

– Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

Ответ: х = 3.

4 группа. Решить уравнение:

;

Решение:

– Решим уравнение методом оценки;

– Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

– Преобразуем логарифмы в левой части;

;

;

Выделим полный квадрат в правой части;

– Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

– В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

– левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.

– Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

Ответ: х = 1.

5 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

– Освободимся от логарифмов по правилу знаков:

Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в – 1).

Рассмотрим ОДЗ:

Решение: Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов освободиться по правилу знаков:

– Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):

найдем нули функции: нули функции

функция f(x) > 0 при  учитывая ОДЗ, получим:

Ответ:  

IV. Защита проектов.

– От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение на доске кратко записать, пояснения по ходу решения, либо записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.

– Решить уравнение:

I вариант.

II вариант.

– Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:

 – Оценить самостоятельно (оценка на полях).

VI. Задание на дом.

1) Решить уравнение:

2) Решить неравенство:

а)

б)

VII. Итог урока.

– Подведем итог. Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке? На чем они основываются?

(Ответы: использование монотонности функции, использование правила знаков, метод оценки. Рассматриваются графические интерпретации этих способов.)