Методика преподавания темы "Производная" в вечерней школе
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Методика изучения темы

«Производная»

        I. Тема «Производная» изучается в 11х классах вечерней школы. На изучение темы программой предлагается 12 часов. Как показывает практика, этого количества времени достаточно для овладения техникой нахождения производной, пользуясь теоремами о производной суммы, произведения и частного.

        Однако упражнения, для решения которых требуется понимание сущности понятия производной вызывают у учащихся значительные затруднения. Опросы показывают, что некоторые учащиеся формально усваивают определение производной, не осознавая входящих в него компонентов. Например, после правильного воспроизведения  определения они не могут ответить на такие вопросы: «Что называется приращением аргумента (Х)? Как найти приращение функции (f)? и т.п. Поэтому необходимо обратить внимание на осмысление этого материала на речевом уровне, что будет способствовать его успешному усвоению.

        II. Характеристика учащихся.

Как правило,  учащиеся нашей школы имеют слабые математические знания, вычислительные навыки, у них отсутствуют навыки самостоятельной работы. Поэтому я основное внимание уделяю именно самостоятельным работам учащихся, которые носят как обучающий, так и контролирующий характер. Для этого каждый учащийся получает свой вариант, где учитываются его знания, умения, навыки, вариантов самостоятельной работы столько, сколько учащихся в классе.

        III. Поурочное планирование на 12 ч.

1. Числовые функции
2. Приращение аргумента и функции
3. Касательная к графику функции
4. Понятие производной
5. Производная функции у – х2
6. Производная суммы функций
7. Производная произведения
8. Решение упражнений по теме «производная суммы и произведения функций»
9. Производная частного 2х функций
10. Производная сложной функции
11. Решение упражнений.
12. Контрольная работа.

        1. Материал данной темы в основном знаком учащимся. Однако при изложении этого материала встают важные задачи. Во-первых, при рассмотрении с учащимися числовых функций появляется возможность показать, что курс математического анализа, предметом изучения которого и являются числовые функции, имеет не только теоретическое, но и широкое практическое применение, т.к. с помощью этих функций описываются процессы и явления действительности. Во-вторых, предоставляется возможность напомнить учащимся некоторые числовые функции и отдельные их свойства, которые были изучены в девятилетней школе. Я предлагаю на уроке следующую систему упражнений.

        а)  Вычислить числовое значение функции в точке:

f (х) = 5х2 – 4х + 7               f(0)?    f (-1),  f(а)?

        б) Принадлежат ли графику функции  точки А(6;2),  В(-3; 4),  

        в) Найти область определения функции:

Каждый учащийся должен уметь находить числовое значение функции в точке, поэтому каждый получает индивидуальное задание на карточке типа а

1. При изложении этого материала на уроке предлагается система упражнений, которая поможет показать и разъяснить учащимся зависимость приращения функции от самой функции, от точки, в которой находится приращение и от приращения аргумента, что очень важно для вывода геометрического смысла производной.

        Предлагаемые упражнения.

а)  Найдите приращение функций

f (х)=х;     g (х)=3х+1;     f(х)=х2

в т. хо=1,  соответствующие приращению аргумента Х-0,1

Сравнить полученные результаты.

От чего зависят приращения функций в данной точке при одном и том же приращении аргумента?

        б) Найдите приращение функции

f (х)=2х+5  в т. хо=0, соответствующие приращениям аргумента Х=0,01;

Х=0,1; Х=1. Сравните результаты.

        в)  Постройте график функции

g (х)=4х-1 и отметьте на нём приращение функции h, если хо=0; Х=0,5

хо=3;  Х=0,3

        4. Понятие производной является одним из основных понятий курса начал математического анализа. Определение производной вводится,  опираясь на интуитивное понимание учащимися термина «предел». Даётся алгоритм нахождения производной, с помощью которого находятся производные, следующих функций (кх+с)=к 

С1=0;    х1=1;   (кх)=к.

(х2) =2х          На этом уроке с целью закрепления новых терминов необходим устный опрос.

        а)  Как называется операция нахождения производной функции?

        б)  Как называется функция, имеющая производную?

        в)  Расскажите план решения задачи на нахождение производной функции в т. хо?

        г) Пусть Д1 -  множество точек, в которых функция f – дифференцируема. Будет ли функцией соответствие хо f(хо),  где хо = Д1

Упражнения для самостоятельной обучающей работы:

        а) Пользуясь определением производной функции найдите производную функции

f(х)=5х+4  в т. хо. Для этого продолжите запись:

1) f (хо + Х)=            5(хо + Х)+4=

2) f (хо + Х) -   f (хо)=5( хо + Х)+4-(5 хо-4)=

3) f (хо + Х) -   f (хо)  =

                  Х)

4)  

б)   Найти значение производной функции

    f(х)=х2-1    в т. хо=0,  используя определение, по плану:

1. составьте f (хо + Х)
2. найдите приращение функции
3. найдите отношение приращения функции к приращению аргумента.
4. найдите производную функции

        5.Вычислите значение производной в т. хо=0

      5.С этого урока начинается работа по овладению техникой нахождения производных различных функций, учащиеся знакомятся с формулой (хn)=n  xn-1

        Каждому учащемуся предлагается обучающая самостоятельная работе следующего содержания:

Найдите производные следующих функций:

у= (-3х +1)

f(х)=5,2

g(х)=7х

(х)=х-5

f(х)=х3,3

h(х)=

t(х)=

6.Далее ведется работа над тем, чтобы научить учащихся пользоваться простейшими теоремами для нахождения производных заданных функций. Учащимся предлагаются самостоятельные работы для проверки результатов первичного усвоения правил нахождения производной суммы, произведения, частного, где проверяются собственно знание соответствующих формул и умение непосредственно применять их на уроке № 6.

1. Найдите производные функций:

а) f(х) = f(х)+ g(х)

б) u(х)=х2+х3

в) (х)=х-28.

Это для слабых учащихся.

Для средних предлагаются задания следующие: Найти производную:

а) f(х)= u(х)+ (х)

б) w(х)=х2 +

в) (х)=х+

г) g(х)+ -21 +

8. На этом уроке после фронтальной работы с классом учащимся предлагаются следующие упражнения:

а) h(х)= f(х) g(х)         f u(х)=(х)=?

б) f(х)=

в) u(х)=(-40х2)

г) f(х)=(х(х2+1) и вычислить её значение в т. хо=1

Ур.9. Найти производную функции:

а)

б)            и вычислить её значение в т. хо=0

10. Как правило, учащиеся с трудом усваивают вопрос о нахождении производной сложной функции. Это объясняется отчасти тем, что они ошибаются в выделении внутренней («промежуточной») переменной. Поэтому в процессе выполнения упражнений важно сформировать у них умение «расчленить» сложную функцию на составляющие и «конструировать» из простых функций заданную сложную. Упражнения, выполняемые на уроке: Найти производные следующих функций: у=(2х-7)14;  у=(3+5х)10;  g(х)=(7х-1)3; v(x)=   w(х)=

13. Примерный вариант контрольной работы.

1. Найти производную функции

f(х)=3х2+х   Вычислить f(-2);   2f(-2)+ 3f(1)

2. Найти произв. у= (2-3х+х3) (4+2х2)

3.   f(х)=;        Найти: f(х);   f(-2)