Квадрат тигезләмәләрне чишү тарихы
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

Квадрат тигезләмәләрне чишү тарихы күпләрне кызыксындыра. Укучыларны мавыктыргыч формада, презентация кулланып, тарихи материал белән таныштытыру укучыларның фән белән кызыксынуына этәргеч ясый. Тигезләмәләрне чишүнең төрле ысуллары белән таныштыру укучылар өчен кызык һәм файдалы.

Алып баручы.Үзебезне фантастик вакыт һәм простанство машинасы ярдәмендә төрле цивилизация вәкилләре :Борынгы Мисыр, Борынгы Вавилон, Борынгы Греция,Борынгы Һиндистан,Борынгы Кытай,урта гасыр Көнчыгышы һәм европалылар яши торган шәһәрдә дип хис итик.Безнең барыбызны да – төрле вакыт һәм халык балаларын  тигезләмәләр, аерым алганда квадрат тигезләмәләр чишү ысулларын үзләштерү омтылышы берләштерә дип уйлыйк.Шартлы рәвештә безнең шәһәрне кварталларга булик һәм һәрберсенең вәкиленә сүз бирик.Сүз Борынгы Мисырга бирелә.

Мисыр вәкиле. Квадрат  тигезләмәләрне иң беренче булып  Борынгы Мисыр  математиклары чишкәннәр. Математик папирусларның берсендә мондый мәсьәлә бар:

“ Турыпочмаклы  фигураның мәйданы 12 гә , ә буеның  е иңенә тигез. Кырның якларын табарга.”

 Бу мәсьәләне тикшерик. х – кырның буе булсын .  Ул вакытта  - аның иңе,      S= - мәйданы. Квадрат тигезләмә килеп чыкты

       = 12

 Папируста аны чишү кагыйдәсебирелгән: “ 12 не   кә бүләбез”.

 12: = 12 * = 16. Димәк, х² = 16.

 “Папируста буе 4 кә тигез, “– дип бирелгән.

    Мең еллар үтте, алгебрага тискәре саннар килеп керде. х² = 16тигезләмәсен чишеп без ике сан табабыз:  4; -4

   Әлбәттә, мисырлылар мәсьәләсендә х = 4, чөнки кырның буе уңай зурлык кына була.

    Алып баручы.Сүз “Вавилонлылар “ кварталы вәкилләренә бирелә .

    Вавилонлылар вәкиле.Борынгы заманнарда ук беренче генә түгел,ә икенче дәрәҗә тигезләмәләрне чишү ихтыяҗы җир участоларының мәйданын табу,хәрби характердагы җир эшләре белән бәйле мәсьәләләр чишү,шулай ук астрономия һәм математика үсеше белән бәйле.Мисыр математиклары белән чагыштырганда Елгаара өлкә математиклары зур адым ясый.Алар х²+рх+q=0 (монда р һәм q-теләсә нинди реаль саннар) квадрат тигезләмәсен чишү өчен кагыйдә табалар..

Бер вавилон мәсьәләсендә турыпочмаклы кырның озынлыгын (аны х дип билгелик)һәм киңлеген (у) табарга кирәк була.

”Турыпочмаклыкның буен һәм 2 иңен кушып 14 санын,ә кыр мәйданының 24 икәнен табабыз. Кырның якларының үлчәмнәрен  табарга.”                              х+2у=14                                   

Система төзибез:                   ху=24                                 

 Икенче тигезләмәдән у= ны табабыз һәм беренче тигезләмәгә куябыз. х+=14 килеп чыга.

Моннан квадрат тигезләмә килеп чыга.х² -14х+48=0.

 Бу тигезләмәне чишү өчен х^2-14х аңлатмасына тулы квадрат килеп чыгарлык итеп ниндидер сан кушарга кирәк.х²-14х=х²-2*7х=х²-2* *7х+7²-7²=(х-7)²-49.

Хәзер  тигезләмәне болай язып була:

 (Х-7)²-49+48=0 яки (х-7)²=1

  Без мисырлылар да чишә ала торган квадрат тигезләмәне таптык.Тискәре саннарны белмәгәнгә күрә,борынгы математиклар         х-7=1;х=8 чишелешләрен тапканнар. Моннан у==3 килеп чыга.Димәк турыпочмаклы кырның буе 8,ә иңе 3 кә тигез.Гомумән(х-7)²=1 квадрат тигезләмәсенең ике тамыры бар:

1)х-7=1, моннан х=8,у=3

2)х-7=-1,моннан х=6,у=4

  Алып баручы.Безгә килеп ирешкән чыганаклар борынгы галимнәрнең билгесез зурлыклары булган мәсьәләләрне чишүнең гомуми кагыйдәләрен белүләрен дәлилли.Вавилонлыларның квадрат тигезләмәләрне чишү кагыйдәсе нигездә хәзерге кагыйдә белән туры килә,әмма вавилонлыларның моңа ничек килүләре билгесез.Әмма табылган барлык папирус һәм чөй язулы текстларда мәсьәләләр чишелешләре белән китерелә.Авторлар бик сирәк кенә үзләренең санлы хисаплауларын        “ Кара”, “Шулай эшлә!”, “ Син дөрес таптың” кебек саран комментарийлар белән бирәләр.

 “Грек” кварталы вәкиле. Мин сезгә грек математигы Диофантның квадрат тигезләмәләрне ничек төзүе һәм чишүе турында сөйләрмен. Диофант “Арифметика”сында алгебраны системалы бәян итү юк, әмма анда аңлатмалары бирелгән,  һәм төрле дәрәҗәдәге тигезләмәләр төзеп чишелә торган мәсьәләләр системаштырылган. Тигезләмәләр төзегәндә чишүне гадиләштерү өчен Диофант билгесезләрне бик уңайлы итеп сайлый.

   Аның бер мәсьәләсен карап үтик.

   “Суммалары 20 гә, тапкырчыгышлары  96 га тигез булган ике сан табарга.”

   Диофант түбәндәгечә фикер йөртә:

   Эзләнә торган саннар тигез түгел, әгәр алар тигез булсалар, аларның тапкырчыгышы 96 түгел,ә 100 булыр иде.Шулай итеп, аларның берсе икесенең суммасы яртысыннан зур, ягъни 10+х,ә икенчесе- кечкенә, ягъни 10-х. Аларның аермасы 2х. Моннан

                          (10+х)(10-х)=96

тигезләмәсе килеп чыга,яки  100-х²=96, х²-4=0

 Моннан х=2.Эзләнә торган бер сан 12гә,икенчесе 8 гә тигез.              х=-2 чишелеше Диофант өчен юк,чөнки грек математикасы унай саннарны гына белгән.    

 Алып баручы.Квадрат тигезләмәләр төзүгә мәсьәләләр 499 елда һинд математигы һәм астрономы Ариабхатта тарафыннан төзелгән “Ариабхатиам”дип аталучы астрономик трактатта очрыйлар.

  Икенче һинд математигы (VIIгасыр) Брахмагупта ах²+вх=с рәвешендәге квадрат тигезләмәләрне чишүнең гомуми кагыйдәсен бирә.

   “Һиндстан” кварталы вәкиле.Борынгы Һиндстанда авыр мәсьәләләрне чишү буенча күрсәтмә ярышлар уздырылган.

Һиндстанның борынгы бер китабында бу ярышлар турында болай язылган:”Кояш үзенең яктылыгы белән йолдызларны томалаган кебек, галим кеше дә ,халык җыенында математик мәсьәләләрне чишеп һәм үз фикерен тәкъдим итеп, башка берәүнең данын томалый.”Еш кына мәсьәләләр шигъри форманы алганнар.Мәсәлән, XII гасырда яшәгән, танылган бөек һинд математигы Бхаскараның бер мәсьәләсен мисал итеп китерик:

              Тиктормас маймыллартөркеме,

              Тәмле ашап,ял итә.

              Аларның сигезенче өлешенең квадраты

              Болында күңел ача.

              Уникесе лианаларга

              Эленеп сикерәләр.

              Әйт син миңа, бу төркемдә

              Ничә соң маймыл була. 

 Бхаскараның бу мәсьәләне чишүе аның квадрат тигезләмәләрнең ике тамырлы булырга мөмкинлеген  белүен күрсәтә.

            ²+12=x  тигезләмәсенә туры килүче чишелешне

 Бхаскара болай яза:

                         х²– 64х = -768

 һәм, тигезләмәнең сул ягын квадратка тутыру өчен,  тигезләмәнең ике ягына да 32² ын куша:

                          х –64х+32² = -768+1024,

                          (х-32)² = 256, х-32 = ±16

                          х₁ = 16, х₂= 48. 

                                                                                                                                                                         Алып баручы.Математика үсешенә Борынгы Кытай галимнәре зур  өлеш кертә.

“Кытай “ кварталы вәкиле.Безгә килеп ирешкән математик текстларның иң борынгылары б.э.к I гасыр ахырына карый.Б.э.к II гасырда “ Тугыз китапта математика”(“Математика в девяти книгах”) китабы язылган.Соңрак,VII гасырда ул күп гасырлар дәвамында өйрәнелгән “Ун классик трактат”җыентыгына кертелә.

  “Математика ун китапта” трактатында ике сан суммасының квадратыннан  формула ярдәмендә квадрат тамыр алу аңлатыла.

    Бу метод “тянь-юань”(галәм элементы) – исеме ала – китайлылар билгесез зурлыкны шулай билгеләгәннәр.Соңрак,”тянь-юань” методы үстерелә һәм XIII – XIV гасырда китай алгебраистлары тарафыннан эшкәртелә.Европада XIX гасырда бу метод Руффини-Горнер методы буларак таныла.

  Алып баручы.Ә хәзер карашыбызны Урта гасыр Көнчыгышына юнәлтик. Гарәпләрнең басып алулары нәтиҗәсендә гарәп теле һәм дине- ислам киң тарала. Антик мираска нигезләнгән фәнни традиция формалаша башлый. IX-XII гасыр- гарәп телле илләрдә фән чәчәк ату чоры. Гарәп теле фән теленә әйләнә.                                             “Гарәп” кварталы вәкиле.Мәсьәләләр чишү буенча киң таралган беренче кулланма IX г. багдад галиме Мөхәммәт ибн Муса әл-Харәзминеке була.

      Бу трактатның гарәп атамасы”Китап әл-җәбәр вәл-мокабәлә” дән“әл-җәбер”сүзе – вакыт узу белән безгә таныш булган “алгебра” сүзенә әйләнә, ә әл-Харәзми сочинениесе тигезләмәләр чишү турындагы фән тууының  башлангычы дип санала.

Торгызу(“әл-җәбер”) дип әл-Харәзми тигезләмәләрдәге тискәре буыннарны капма-каршы тамгалы тигез булган буыннар кушу юлы белән юк итү процессын атый.Каршы кую(“әл-мокабәлә”) дип тигезләмә  өлешләрендә бертөрле буыннарны кыскартуны атый.

       “Әл-җәбер” кагыйдәсен билгесез математик болай аңлата:

                           Уң ягында яки сулда,

                           Анысы мөһим түгел,

                           Тискәре буыны булган

                           Тигезләмә чишкәндә.

                           Без ике кисәккә дә

                           Капма-каршы тамгалы

                           Тигез буын кушабыз

                           Һәм уңай нәтиьщне табабыз.

 Тигезләмәләргә ике ягына да бертөрле үзгәреш кертеп була торган үлчәүләрдәге тигез йөк буларак карау бик отышлы.Тигезләмәнең ике янына да тигез зурлыкны кушып та,алып та була.Әгәр тигезләмәнең ике ягын да бер үк санга тапкырласаң яки бүлсәң  тигезлек бозылмый. Билгеле инде,ул 0 түгел. Тигез зурлыклар өстендә бертөрле гамәл башкару нәтиҗәсендә яңадан бертигез зурлыклар барлыкка килү принцибы, әл-Харәзминең кулланмасын аңлап укучылар өчен,  үзенчәлекле  “тылсымлы таякка әверелә”. Әл-Харәзминең квадрат тигезләмәләрен җентекләбрәк карыйк.

       Әл-Харәзминың алгебра трактатында сызыкча һәм квадрат тигезләмәләр классификациясе бирелә.Ул 6 төр тигезләмә  таба һәм түбәндәгечә тасвирлый :

   1)квадратлар тамырга тигез, ягъни ах²=вх.

   2)квадратлар санга тигез, ягъни ах²=с.

   3)тамырлар санга тигез, ягъни ах=с.

   4)квадратлар һәм тамырлар санга тигез, ягъни ах²+вх=с.

   5)квадратлар һәм саннар тамырга тигез, ягъни ах²+с=вх.

   6)тамырлар һәм саннар квадратларга тигез, ягъни вх+с=ах².

       Тискәре саннарны кулланмаучы әл-Харәзми өчен бу тигезләмәләрнең һәрберсенең буыннары кушылучы,ә киметүче түгел. Бу очракта уңай чишелешләре булмаган тигезләмәләр каралмый.Әл-Харәзми күрсәтелгән тигезләмәләрне “әл-җәбер” һәм “әл-мокабәлә” ысулын кулланып чишү алымнарын бәян итә.Аның тигезләмәләр чишү юлы безнеке белән тулысынча тәңгәл килми,билгеле.

Мәсьәлән,беренче төрдәге тулы булмаган квадрат тигезләмәне чишкәндә, XVII гасырның барлык математиклары кебек, нульгә тигез булган тамыр исәпкә алмый,чөнки ул конкрет практик мәсьәләләрдә игътибарга алынмый.

       Әл-Харәзми тулы квадрат тигезләмәләрне чишкәндә аерым санлы мисалларда тигезләмәләрне чишү кагыйдәсен бәян итә,ә аннары аларның геометрик исбатланышын бирә.

       Мәсьәлә. Квадрат һәм 21 саны 10 тамырга тигез. Тамырны табарга. (х²+21=10х тигезләмәсенең тамыры күз алдында тотыла)

       Авторның чишелеше түбәндәгечә :

 Тамырлар санын икегә бүл – 5 чыга,5 не үз – үзенә тапкырла,тапкыр-

чыгыштан 21 не ал,нәтиҗәдә 4 кала.4 тән тамыр ал – 2 не табарсың.5 тән 2 не ал – 3 не табарсыз,бу эзләнгән тамыр була.5 кә 7 килеп чыгарлык санны куш,бу-шулай ук тамыр.

        Әл-Харәзми трактаты безгә килеп ирешкән квадрат тигезләмәләрнең классификациясе системалы бәян ителгән һәм аларны чишү формулалары бирелгән беренче китап була.Әл-Харәзминең трактаты Европада математикадан беренчеләрдән булып гарәп теленнән латинга тәрҗемә ителгән математик хезмәтләрнең берсе була.ХVI гасырга кадәр Европада алгебраны “алгебра һәм мокабәлә сәнгате” дип атыйлар.Көнчыгыш математикларыннан мирас итеп алынган сызыкча һәм квадрат тигезләмәләр турындагы тәгълимат Европада алгебра үсешенең нигезенә әйләнә.

  Европа кварталы вәкиле.    Әл-Харәзми үрнәге буенча,квадрат тигезләмәләрне чишү формулалары 1202 елда  итальян математигы Леонардо Фибоначчи тарафыннан язылган “Книга абака” китабында күрсәтелә. Бу зур күләмле,тулы һәм ачык хикәяләнгән хезмәттә,математиканың ислам илләре белән берлектә Борынгы Грециягә дә йогынтысы чагылдырылган. Автор мөстәкыйль рәвештә кайбер яңа алгебраик мәсьәлә чишелешләрен эшкәрткән һәм Европада беренче булып тискәре саннарны кертү кирәклегенә ышанган.Аның китабы алгебраик белемнәрнең Италиядә генә түгел, ә Германия,Франция һәм башка Европа илләрендә дә киң таралуына сәбәпче була.XVI-XVII, өлешчә XVIII гасырларда “Книга абака” китабыннан алынган күп кенә мәсьәләләр барлык Европа дәреслекләренә диярлек кертелә.

    в һәм с коэффициентларының мөмкин саналган төрле комбинацияләре өчен х²+вх=с рәвешенә китерелгән квадрат тигезләмәләрне чишүнең гомуми кагыйдәсе Европада бары тик 1544 елда гына М.Штифель тарафыннан күрсәтелә. Квадрат тигезләмәне гомуми рәвештә чишү формуласы Виетта була, ләкин ул да уңай тамырларны гына таныган.

   ХVI гасырда иң беренчеләрдән булып италия математиклары Тарталья,Кардано,Бомбелли уңай тамырларны гына түгел ,ә тискәреләрне дә исәпкә алалар. Бары тик ХVII гасырда гына Җирар, Декарт,Ньютон һәм башка галимнәрнең хезмәтләре нәтиҗәсендә квадрат тигезләмәләрне чишү ысуллары хәзерге рәвешне ала.

  Алып баручы.Хәзер дәреснең практик өлешенә күчик. Якынча б.э. кадәр 2000 ел элек вавилонлылар чишә алган квадрат тигезләмәләргә мөрәҗәгать итик. Хәзерге алгебраик язу кулланып ,чөй язулы текстларда х²+х=рәвешендәге квадрат тигезләмәләр очрый, дип әйтергә мөмкин.Үзебезгә сорау бирик:без-борынгылар туплаган белемнәр белән коралланган хәзерге заман 8 класс укучылары- бу тигезләмәне нинди ысуллар белән чишә алабыз?

(Укучылар бу тигезләмәне чишүнең төрле ысулларын тәкъдим итәләр)

Iысул. х²+х=

4х²+4х-3=0

Д=4²-4*4(-3)=16+48=64

Х=

Х₁=-1; х₂=.

II ысул.(икенче коэффициентның җөп икәнлеген исәпкә алып)

4х²+4х-3=0

=2²-4*(-3)=16.

х=,

х₁=-, х₂=.

III ысул(икебуын квадратын аерып алу).

х²+х-=(х²+2х*+)-- =(х+)²-1,

(х+)²-1=0, (х+)²=1,

х+=-1 яки х+=1,

х=-1 яки х=

IVысул( график)

1. Графигы-япьләре өскә юнәлгән парабола , чөнки а=1>0.
2. Түбәсенең координаталары m=-  n=(-)--=-1.
3. Таблица төзибез.

Алып баручы.Бүгенге дәрескә нәтиҗә ясыйк.

• Беренчедән, үз заманында У.Сойер “Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»дип әйткәнне эшләдек.

Икенчедән, фәннең, атап әйткәндә математиканың кешелек җәмгыяте үсешендәге роле никадәр зур булуына инандык. Фән өчен бит чик, милләт һәм дәвер төшенчәләре юк. 

Алып баручы.Үзебезне фантастик вакыт һәм простанство машинасы ярдәмендә төрле цивилизация вәкилләре :Борынгы Мисыр, Борынгы Вавилон, Борынгы Греция,Борынгы Һиндистан,Борынгы Кытай,урта гасыр Көнчыгышы һәм европалылар яши торган шәһәрдә дип хис итик.Безнең барыбызны да – төрле вакыт һәм халык балаларын  тигезләмәләр, аерым алганда квадрат тигезләмәләр чишү ысулларын үзләштерү омтылышы берләштерә дип уйлыйк.Шартлы рәвештә безнең шәһәрне кварталларга булик һәм һәрберсенең вәкиленә сүз бирик.Сүз Борынгы Мисырга бирелә.

Мисыр вәкиле. Квадрат  тигезләмәләрне иң беренче булып  Борынгы Мисыр  математиклары чишкәннәр. Математик папирусларның берсендә мондый мәсьәлә бар:

“ Турыпочмаклы  фигураның мәйданы 12 гә , ә буеның  е иңенә тигез. Кырның якларын табарга.”

 Бу мәсьәләне тикшерик. х – кырның буе булсын .  Ул вакытта  - аның иңе,      S= - мәйданы. Квадрат тигезләмә килеп чыкты

       = 12

 Папируста аны чишү кагыйдәсебирелгән: “ 12 не   кә бүләбез”.

 12: = 12 * = 16. Димәк, х² = 16.

 “Папируста буе 4 кә тигез, “– дип бирелгән.

    Мең еллар үтте, алгебрага тискәре саннар килеп керде. х² = 16тигезләмәсен чишеп без ике сан табабыз:  4; -4

   Әлбәттә, мисырлылар мәсьәләсендә х = 4, чөнки кырның буе уңай зурлык кына була.

    Алып баручы.Сүз “Вавилонлылар “ кварталы вәкилләренә бирелә .

    Вавилонлылар вәкиле.Борынгы заманнарда ук беренче генә түгел,ә икенче дәрәҗә тигезләмәләрне чишү ихтыяҗы җир участоларының мәйданын табу,хәрби характердагы җир эшләре белән бәйле мәсьәләләр чишү,шулай ук астрономия һәм математика үсеше белән бәйле.Мисыр математиклары белән чагыштырганда Елгаара өлкә математиклары зур адым ясый.Алар х²+рх+q=0 (монда р һәм q-теләсә нинди реаль саннар) квадрат тигезләмәсен чишү өчен кагыйдә табалар..

Бер вавилон мәсьәләсендә турыпочмаклы кырның озынлыгын (аны х дип билгелик)һәм киңлеген (у) табарга кирәк була.

”Турыпочмаклыкның буен һәм 2 иңен кушып 14 санын,ә кыр мәйданының 24 икәнен табабыз. Кырның якларының үлчәмнәрен  табарга.”                              х+2у=14                                   

Система төзибез:                   ху=24                                 

 Икенче тигезләмәдән у= ны табабыз һәм беренче тигезләмәгә куябыз. х+=14 килеп чыга.

Моннан квадрат тигезләмә килеп чыга.х² -14х+48=0.

 Бу тигезләмәне чишү өчен х^2-14х аңлатмасына тулы квадрат килеп чыгарлык итеп ниндидер сан кушарга кирәк.х²-14х=х²-2*7х=х²-2* *7х+7²-7²=(х-7)²-49.

Хәзер  тигезләмәне болай язып була:

 (Х-7)²-49+48=0 яки (х-7)²=1

  Без мисырлылар да чишә ала торган квадрат тигезләмәне таптык.Тискәре саннарны белмәгәнгә күрә,борынгы математиклар         х-7=1;х=8 чишелешләрен тапканнар. Моннан у==3 килеп чыга.Димәк турыпочмаклы кырның буе 8,ә иңе 3 кә тигез.Гомумән(х-7)²=1 квадрат тигезләмәсенең ике тамыры бар:

1)х-7=1, моннан х=8,у=3

2)х-7=-1,моннан х=6,у=4

  Алып баручы.Безгә килеп ирешкән чыганаклар борынгы галимнәрнең билгесез зурлыклары булган мәсьәләләрне чишүнең гомуми кагыйдәләрен белүләрен дәлилли.Вавилонлыларның квадрат тигезләмәләрне чишү кагыйдәсе нигездә хәзерге кагыйдә белән туры килә,әмма вавилонлыларның моңа ничек килүләре билгесез.Әмма табылган барлык папирус һәм чөй язулы текстларда мәсьәләләр чишелешләре белән китерелә.Авторлар бик сирәк кенә үзләренең санлы хисаплауларын        “ Кара”, “Шулай эшлә!”, “ Син дөрес таптың” кебек саран комментарийлар белән бирәләр.

 “Грек” кварталы вәкиле. Мин сезгә грек математигы Диофантның квадрат тигезләмәләрне ничек төзүе һәм чишүе турында сөйләрмен. Диофант “Арифметика”сында алгебраны системалы бәян итү юк, әмма анда аңлатмалары бирелгән,  һәм төрле дәрәҗәдәге тигезләмәләр төзеп чишелә торган мәсьәләләр системаштырылган. Тигезләмәләр төзегәндә чишүне гадиләштерү өчен Диофант билгесезләрне бик уңайлы итеп сайлый.

   Аның бер мәсьәләсен карап үтик.

   “Суммалары 20 гә, тапкырчыгышлары  96 га тигез булган ике сан табарга.”

   Диофант түбәндәгечә фикер йөртә:

   Эзләнә торган саннар тигез түгел, әгәр алар тигез булсалар, аларның тапкырчыгышы 96 түгел,ә 100 булыр иде.Шулай итеп, аларның берсе икесенең суммасы яртысыннан зур, ягъни 10+х,ә икенчесе- кечкенә, ягъни 10-х. Аларның аермасы 2х. Моннан

                          (10+х)(10-х)=96

тигезләмәсе килеп чыга,яки  100-х²=96, х²-4=0

 Моннан х=2.Эзләнә торган бер сан 12гә,икенчесе 8 гә тигез.              х=-2 чишелеше Диофант өчен юк,чөнки грек математикасы унай саннарны гына белгән.    

 Алып баручы.Квадрат тигезләмәләр төзүгә мәсьәләләр 499 елда һинд математигы һәм астрономы Ариабхатта тарафыннан төзелгән “Ариабхатиам”дип аталучы астрономик трактатта очрыйлар.

  Икенче һинд математигы (VIIгасыр) Брахмагупта ах²+вх=с рәвешендәге квадрат тигезләмәләрне чишүнең гомуми кагыйдәсен бирә.

   “Һиндстан” кварталы вәкиле.Борынгы Һиндстанда авыр мәсьәләләрне чишү буенча күрсәтмә ярышлар уздырылган.

Һиндстанның борынгы бер китабында бу ярышлар турында болай язылган:”Кояш үзенең яктылыгы белән йолдызларны томалаган кебек, галим кеше дә ,халык җыенында математик мәсьәләләрне чишеп һәм үз фикерен тәкъдим итеп, башка берәүнең данын томалый.”Еш кына мәсьәләләр шигъри форманы алганнар.Мәсәлән, XII гасырда яшәгән, танылган бөек һинд математигы Бхаскараның бер мәсьәләсен мисал итеп китерик:

              Тиктормас маймыллартөркеме,

              Тәмле ашап,ял итә.

              Аларның сигезенче өлешенең квадраты

              Болында күңел ача.

              Уникесе лианаларга

              Эленеп сикерәләр.

              Әйт син миңа, бу төркемдә

              Ничә соң маймыл була. 

 Бхаскараның бу мәсьәләне чишүе аның квадрат тигезләмәләрнең ике тамырлы булырга мөмкинлеген  белүен күрсәтә.

            ²+12=x  тигезләмәсенә туры килүче чишелешне

 Бхаскара болай яза:

                         х²– 64х = -768

 һәм, тигезләмәнең сул ягын квадратка тутыру өчен,  тигезләмәнең ике ягына да 32² ын куша:

                          х –64х+32² = -768+1024,

                          (х-32)² = 256, х-32 = ±16

                          х₁ = 16, х₂= 48. 

                                                                                                                                                                         Алып баручы.Математика үсешенә Борынгы Кытай галимнәре зур  өлеш кертә.

“Кытай “ кварталы вәкиле.Безгә килеп ирешкән математик текстларның иң борынгылары б.э.к I гасыр ахырына карый.Б.э.к II гасырда “ Тугыз китапта математика”(“Математика в девяти книгах”) китабы язылган.Соңрак,VII гасырда ул күп гасырлар дәвамында өйрәнелгән “Ун классик трактат”җыентыгына кертелә.

  “Математика ун китапта” трактатында ике сан суммасының квадратыннан  формула ярдәмендә квадрат тамыр алу аңлатыла.

    Бу метод “тянь-юань”(галәм элементы) – исеме ала – китайлылар билгесез зурлыкны шулай билгеләгәннәр.Соңрак,”тянь-юань” методы үстерелә һәм XIII – XIV гасырда китай алгебраистлары тарафыннан эшкәртелә.Европада XIX гасырда бу метод Руффини-Горнер методы буларак таныла.

  Алып баручы.Ә хәзер карашыбызны Урта гасыр Көнчыгышына юнәлтик. Гарәпләрнең басып алулары нәтиҗәсендә гарәп теле һәм дине- ислам киң тарала. Антик мираска нигезләнгән фәнни традиция формалаша башлый. IX-XII гасыр- гарәп телле илләрдә фән чәчәк ату чоры. Гарәп теле фән теленә әйләнә.                                             “Гарәп” кварталы вәкиле.Мәсьәләләр чишү буенча киң таралган беренче кулланма IX г. багдад галиме Мөхәммәт ибн Муса әл-Харәзминеке була.

      Бу трактатның гарәп атамасы”Китап әл-җәбәр вәл-мокабәлә” дән“әл-җәбер”сүзе – вакыт узу белән безгә таныш булган “алгебра” сүзенә әйләнә, ә әл-Харәзми сочинениесе тигезләмәләр чишү турындагы фән тууының  башлангычы дип санала.

Торгызу(“әл-җәбер”) дип әл-Харәзми тигезләмәләрдәге тискәре буыннарны капма-каршы тамгалы тигез булган буыннар кушу юлы белән юк итү процессын атый.Каршы кую(“әл-мокабәлә”) дип тигезләмә  өлешләрендә бертөрле буыннарны кыскартуны атый.

       “Әл-җәбер” кагыйдәсен билгесез математик болай аңлата:

                           Уң ягында яки сулда,

                           Анысы мөһим түгел,

                           Тискәре буыны булган

                           Тигезләмә чишкәндә.

                           Без ике кисәккә дә

                           Капма-каршы тамгалы

                           Тигез буын кушабыз

                           Һәм уңай нәтиьщне табабыз.

 Тигезләмәләргә ике ягына да бертөрле үзгәреш кертеп була торган үлчәүләрдәге тигез йөк буларак карау бик отышлы.Тигезләмәнең ике янына да тигез зурлыкны кушып та,алып та була.Әгәр тигезләмәнең ике ягын да бер үк санга тапкырласаң яки бүлсәң  тигезлек бозылмый. Билгеле инде,ул 0 түгел. Тигез зурлыклар өстендә бертөрле гамәл башкару нәтиҗәсендә яңадан бертигез зурлыклар барлыкка килү принцибы, әл-Харәзминең кулланмасын аңлап укучылар өчен,  үзенчәлекле  “тылсымлы таякка әверелә”. Әл-Харәзминең квадрат тигезләмәләрен җентекләбрәк карыйк.

       Әл-Харәзминың алгебра трактатында сызыкча һәм квадрат тигезләмәләр классификациясе бирелә.Ул 6 төр тигезләмә  таба һәм түбәндәгечә тасвирлый :

   1)квадратлар тамырга тигез, ягъни ах²=вх.

   2)квадратлар санга тигез, ягъни ах²=с.

   3)тамырлар санга тигез, ягъни ах=с.

   4)квадратлар һәм тамырлар санга тигез, ягъни ах²+вх=с.

   5)квадратлар һәм саннар тамырга тигез, ягъни ах²+с=вх.

   6)тамырлар һәм саннар квадратларга тигез, ягъни вх+с=ах².

       Тискәре саннарны кулланмаучы әл-Харәзми өчен бу тигезләмәләрнең һәрберсенең буыннары кушылучы,ә киметүче түгел. Бу очракта уңай чишелешләре булмаган тигезләмәләр каралмый.Әл-Харәзми күрсәтелгән тигезләмәләрне “әл-җәбер” һәм “әл-мокабәлә” ысулын кулланып чишү алымнарын бәян итә.Аның тигезләмәләр чишү юлы безнеке белән тулысынча тәңгәл килми,билгеле.

Мәсьәлән,беренче төрдәге тулы булмаган квадрат тигезләмәне чишкәндә, XVII гасырның барлык математиклары кебек, нульгә тигез булган тамыр исәпкә алмый,чөнки ул конкрет практик мәсьәләләрдә игътибарга алынмый.

       Әл-Харәзми тулы квадрат тигезләмәләрне чишкәндә аерым санлы мисалларда тигезләмәләрне чишү кагыйдәсен бәян итә,ә аннары аларның геометрик исбатланышын бирә.

       Мәсьәлә. Квадрат һәм 21 саны 10 тамырга тигез. Тамырны табарга. (х²+21=10х тигезләмәсенең тамыры күз алдында тотыла)

       Авторның чишелеше түбәндәгечә :

 Тамырлар санын икегә бүл – 5 чыга,5 не үз – үзенә тапкырла,тапкыр-

чыгыштан 21 не ал,нәтиҗәдә 4 кала.4 тән тамыр ал – 2 не табарсың.5 тән 2 не ал – 3 не табарсыз,бу эзләнгән тамыр була.5 кә 7 килеп чыгарлык санны куш,бу-шулай ук тамыр.

        Әл-Харәзми трактаты безгә килеп ирешкән квадрат тигезләмәләрнең классификациясе системалы бәян ителгән һәм аларны чишү формулалары бирелгән беренче китап була.Әл-Харәзминең трактаты Европада математикадан беренчеләрдән булып гарәп теленнән латинга тәрҗемә ителгән математик хезмәтләрнең берсе була.ХVI гасырга кадәр Европада алгебраны “алгебра һәм мокабәлә сәнгате” дип атыйлар.Көнчыгыш математикларыннан мирас итеп алынган сызыкча һәм квадрат тигезләмәләр турындагы тәгълимат Европада алгебра үсешенең нигезенә әйләнә.

  Европа кварталы вәкиле.    Әл-Харәзми үрнәге буенча,квадрат тигезләмәләрне чишү формулалары 1202 елда  итальян математигы Леонардо Фибоначчи тарафыннан язылган “Книга абака” китабында күрсәтелә. Бу зур күләмле,тулы һәм ачык хикәяләнгән хезмәттә,математиканың ислам илләре белән берлектә Борынгы Грециягә дә йогынтысы чагылдырылган. Автор мөстәкыйль рәвештә кайбер яңа алгебраик мәсьәлә чишелешләрен эшкәрткән һәм Европада беренче булып тискәре саннарны кертү кирәклегенә ышанган.Аның китабы алгебраик белемнәрнең Италиядә генә түгел, ә Германия,Франция һәм башка Европа илләрендә дә киң таралуына сәбәпче була.XVI-XVII, өлешчә XVIII гасырларда “Книга абака” китабыннан алынган күп кенә мәсьәләләр барлык Европа дәреслекләренә диярлек кертелә.

    в һәм с коэффициентларының мөмкин саналган төрле комбинацияләре өчен х²+вх=с рәвешенә китерелгән квадрат тигезләмәләрне чишүнең гомуми кагыйдәсе Европада бары тик 1544 елда гына М.Штифель тарафыннан күрсәтелә. Квадрат тигезләмәне гомуми рәвештә чишү формуласы Виетта була, ләкин ул да уңай тамырларны гына таныган.

   ХVI гасырда иң беренчеләрдән булып италия математиклары Тарталья,Кардано,Бомбелли уңай тамырларны гына түгел ,ә тискәреләрне дә исәпкә алалар. Бары тик ХVII гасырда гына Җирар, Декарт,Ньютон һәм башка галимнәрнең хезмәтләре нәтиҗәсендә квадрат тигезләмәләрне чишү ысуллары хәзерге рәвешне ала.

  Алып баручы.Хәзер дәреснең практик өлешенә күчик. Якынча б.э. кадәр 2000 ел элек вавилонлылар чишә алган квадрат тигезләмәләргә мөрәҗәгать итик. Хәзерге алгебраик язу кулланып ,чөй язулы текстларда х²+х=рәвешендәге квадрат тигезләмәләр очрый, дип әйтергә мөмкин.Үзебезгә сорау бирик:без-борынгылар туплаган белемнәр белән коралланган хәзерге заман 8 класс укучылары- бу тигезләмәне нинди ысуллар белән чишә алабыз?

(Укучылар бу тигезләмәне чишүнең төрле ысулларын тәкъдим итәләр)

Iысул. х²+х=

4х²+4х-3=0

Д=4²-4*4(-3)=16+48=64

Х=

Х₁=-1; х₂=.

II ысул.(икенче коэффициентның җөп икәнлеген исәпкә алып)

4х²+4х-3=0

=2²-4*(-3)=16.

х=,

х₁=-, х₂=.

III ысул(икебуын квадратын аерып алу).

х²+х-=(х²+2х*+)-- =(х+)²-1,

(х+)²-1=0, (х+)²=1,

х+=-1 яки х+=1,

х=-1 яки х=

IVысул( график)

1. Графигы-япьләре өскә юнәлгән парабола , чөнки а=1>0.
2. Түбәсенең координаталары m=-  n=(-)--=-1.
3. Таблица төзибез.

Алып баручы.Бүгенге дәрескә нәтиҗә ясыйк.

• Беренчедән, үз заманында У.Сойер “Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»дип әйткәнне эшләдек.

Икенчедән, фәннең, атап әйткәндә математиканың кешелек җәмгыяте үсешендәге роле никадәр зур булуына инандык. Фән өчен бит чик, милләт һәм дәвер төшенчәләре юк.