Открытый урок по теме "Исследование соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения".
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

УРОК «ОТКРЫТИЯ» НОВОГО ЗНАНИЯ.

«ИССЛЕДОВАНИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ КОРНЯМИ И КОЭФФИЦИЕНТАМИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ».

(Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс.)

Цель урока. Исследовать зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, применять эти зависимости при решении уравнений, учиться работать в группах.

Цели:

Деятельностная: находить новые зависимости.

Содержательная: расширить знания обучающихся за счёт включения новых описаний.

Материалы и оборудование урока: слайд-фильм, компьютер с выходом в интернет.

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Продолжительность: 2 урока.

Ход урока.

I. Этап урока: организационный момент, постановка цели.

Организационный момент.

Проверка готовности к уроку, приветствие, установление  психологического контакта.

Постановка цели. Учитель сообщает цель урока.

II. Этап мотивации к учебной деятельности.

Учитель. Кто-нибудь задумывался, а зачем нужны квадратные уравнения?

Ответы учащихся.

Учитель. Очень много реальных задач сводится к решению различных уравнений. Одним из таких видов уравнений является квадратное.

III. Этап  актуализации и пробного учебного действия.

Учитель. Подумайте, где в жизненной ситуации применяются квадратные уравнения?

Ответы учащихся.

Показ слайд-фильма.

2 слайд. Фонтан. Обратите внимание на струйки воды. Что можно сказать о траектории струи воды?

(Ответ: представляет собой параболу.)

3 слайд. Параболическая струя воды.

4 слайд. Траекторию движения планет, как выяснили учёные, можно описывать с помощью квадратного уравнения.

5 слайд. Дальность полёта мяча рассчитывают с помощью квадратного уравнения.

6 слайд. Аналогично, метание копья.

7 слайд. Взлёт самолёта. Чтобы определить траекторию, нужно провести расчёты, связанные с параболой.

8 слайд. Арочный мост.

Учитель. Поэтому квадратные уравнения играют очень важную роль.

А назовите школьные предметы, при изучении которых используют квадратные уравнения. (Ответ: физика, геометрия, черчение, технология.)

Попытайтесь назвать пример применения квадратного уравнения в физике.

Ответ учащихся.

Учитель. Это – уравнение свободного падения тела, брошенного вертикально вверх.

9 слайд. Представлено уравнение свободного падения тела, брошенного вертикально вверх,

 .

10 слайд. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

«Через какое время тело, брошенное вверх со скоростью 20 м/с, достигнет высоты 15 м? Может ли оно достичь 25 м?»

Каждой группе раздаются листы с напечатанным условием задачи. На данных листах используется специальный шрифт для слабовидящих «Arial», а также номер шрифта, который подбирается для лучшего восприятия задания.

11 слайд; 12 слайд.

Решение.

1. Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью  движется по закону  . Считаем, что  , тогда  ;  .

Подставим  ,  .

Получаем  ;  ;  ;  или  .

2. Может ли это тело достигнуть высоты  ?

Подставляем в уравнение  .

Получаем  ;  ;  .

Находим дискриминант:  . Уравнение решений не имеет.

Данное тело может достичь высоту  ?

Ответ. Тело не может достичь высоты  .

(Смотреть 11 и 12 слайды.)

Учитель. Ещё раз посмотрите на решение задачи, полученные результаты, подумайте, посовещайтесь. Какой можно задать вопрос?

Обратите внимание, в первой части задачи получили два ответа? Как это можно объяснить?

Вызвать одного обучающегося к доске, попросить его подбросить мяч. Показать верхнюю границу доски. Подброшенный мяч вверх достиг верхнюю границу доски, продолжает лететь вверх, после достигнутой определённой высоты падает, и ещё раз пролетает через верхнюю границу доски.

Тело, брошенное вверх, достигнув определённой высоты, начинает падать. Поэтому тело дважды оказывается на высоте  .

Таким образом, показали, что необходимо уметь решать квадратные уравнения.

Учитель. А смогли бы вы решить данную задачу из курса физики, не умея решать квадратные уравнения?

Ответ. Нет.

Учитель. Но, в то же время, решая на уроке математики данную физическую задачу, потребовались знания  одной из основных физических формул.

Устная работа.

Учитель. При решении любых уравнений, стараемся находить рациональные способы решения.

Можно ли находить устно корни квадратного уравнения? Какая теорема помогает решить быстро квадратное уравнение?

Ответ. Теорема Виета.

13 слайд. Портрет французского математика Франсуа Виета, жившего в  веке.

Учитель. Подумайте, посовещайтесь между собой. Ответьте на вопросы. Когда можно воспользоваться теоремой Виета? В каких ситуациях используется данная теорема?

Ответ.

1) Проверка правильности найденных корней.

2) Определение знаков корней квадратного уравнения.

3) Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения.

4) Составление квадратных уравнений с заданными корнями.

5) Разложение квадратного трёхчлена на множители.

IV. Этап выявления места и причины затруднения.

Устная работа.

Учитель. Выполняем задания на слух.

1. Верно ли, что числа  и  являются корнями квадратного уравнения  ? Почему? Как можно проверить?

Ответ. Методом подстановки.

Учитель. А ещё?

Ответ. С помощью теоремы Виета.

Учитель. Какой способ является рациональнее?

Ответ. С помощью теоремы Виета. Сумма чисел  и  равна  , поэтому второй коэффициент равен  . Произведение чисел  и  равна  , поэтому свободный член равен  . Поэтому данные числа являются корнями квадратного уравнения  .

А если бы знали соотношения между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, можно было бы проверить ещё легче.

2. Определите знаки корней квадратного уравнения, а затем найдите корни квадратного уравнения  .

Ответ.  получаем  .

V. Этап «релаксации».

Физкультминутка, гимнастика для глаз.

VI. Этап построения проекта выхода из затруднения.

Исследование.

Учитель. А теперь займёмся исследованием. А что значит исследовать?

Ответ. Расширять границы знаний. (Другие ответы могут быть.)

Учитель. А можно ли исследовать то, что уже открыто?

Ответ. Можно. Для кого-то это уже открыто, а для кого-то это будет являться новым. (Другие ответы могут быть.)

Каждой группе раздаются листы с напечатанным заданием. На данных листах используется специальный шрифт для слабовидящих «Arial», а также номер шрифта, который подбирается для лучшего восприятия задания.

Учитель. Составьте квадратные уравнения, если коэффициентами уравнения являются числа  .

Сколько квадратных уравнений можно составить?

Ответ. 6.

Учащиеся составляют уравнения, работая вместе в группе, записывая на листе бумаги. Из каждой группы берётся по одному листу, с написанными квадратными уравнениями, два листа вывешиваются на доске.

Записали уравнения:

1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  .

VII. Этап реализации построенного проекта.

Учитель. Предлагает решить уравнения  и  . (Смотреть 14 слайд.)

Решение.

1.  ,  .
2.  .

 .

 ;  .

(Смотреть 15 слайд.)

Учитель. Что можно сказать о корнях уравнений?

Ответ. Один из корней равен  , а два других корня являются взаимно обратными числами.

Учитель. Сравните коэффициенты этих уравнений.

Ответ. Первый коэффициент и свободный член поменяли местами.

Учитель. Какой вывод можно сделать?

Ответ. Если поменять местами первый коэффициент и свободный член, то по одному корню в этих уравнениях одинаковыми, а другие корни являются взаимно обратными числами.

Учитель. Проверьте данный вывод на другой паре уравнений. Рассмотрим квадратные уравнения  и  . (Смотреть 16 слайд.)

Решение.

1)  ,  .

2)  ,

 .

 ;  .

(Смотреть 17 слайд.)

Учитель: Сравните корни этих уравнений. Как называются числа  и  ?

Учитель. В чём заключается вывод при исследовании таких уравнений?

Учитель: решить оставшиеся два уравнения. (Смотреть 18 и 19 слайды).

Учитель. Составлено шесть уравнений. Какое число является корнем каждого из этих уравнений?

Ответ.  .

Учитель. А какой другой корень? Что можно сказать о нём?

Ответ. Он равен свободному члену, если квадратное уравнение является приведённым. Или равен отношению свободного члена к первому коэффициенту.

Учитель сложите коэффициенты в каждом квадратном уравнении. Чему равна их сумма?

Ответ. Нулю.

Учитель. Какой вывод можно сделать?

Ответ. Если сумма коэффициентов равна нулю, то один из корне квадратного уравнения равен одному, а другой корень равен отношению свободного члена к первому коэффициенту. (Смотреть 20 слайд.)

Письменная работа.

Каждому обучающемуся раздаются листы с напечатанным заданием. На данных листах используется специальный шрифт для слабовидящих «Arial», а также номер шрифта, который подбирается для лучшего восприятия задания.

№ 1. Рассмотрите уравнения:

а)  ;                б)  .

1) Сравните сумму первого коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

2) Найдите корни этих уравнений.

Решение.

1) а)  ; ;  .

б)  ;  ;  .

2) а)  ;  .

б)  ;

 ;  ;  ;  .

Учитель. Сравните корни данных уравнений.

Ответ. Число  является корнем одного и второго уравнений.

Учитель. Если в уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту, то один из корней равен  . (Смотреть 21 слайд.)

VIII. Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи.

Устная работа.

Учитель. Используя полученные выводы, устно найдите корни квадратных уравнений, которые записаны на выданных листках, а также на доске.

а)  ;

б)  .

Решение.

а)  ;  .

б)  ;  .

IX. Этап «релаксации».

Физкультминутка, гимнастика для глаз.

X. Этап включения в систему знаний и повторения.

Письменная работа.

Учитель. Каждый выполняет самостоятельно задание № 3. Один из обучающихся оформляет решение на доске.

Пусть  и  – корни уравнения

. Не решая уравнения, вычислите:

 .

Решение.

 .

XI. Этап рефлексии учебной деятельности на уроке.

Рефлексия.

22 слайд. Выберите утверждение, которое ближе вам:

1. тему понял, могу рассказать другому;
2. тему понял, но другому рассказать не могу;
3. не понял.

Выставление оценок.

Раздать каждому обучающемуся лист «Критерии оценки».

Каждый должен себе поставить оценку за работу на уроке.

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

Домашнее задание.

Для слабых обучающихся:

Составьте квадратные уравнения: приведённое и неприведённое, если известны его корни:  и .  Составьте квадратное уравнение, если один из корней равен одному, и решите его. Составьте квадратное уравнение, если один из корней равен минус одному, и решите его.

Для средних и сильных обучающихся:

Составьте квадратные уравнения для расчёта траектории струи воды в фонтане такие, чтобы один из корней был равен 1 и -1. Представьте данную траекторию струи воды в виде графика на координатной плоскости.

Проводятся пояснения домашнего задания.

Домашнее задание записано на листках, которые каждому розданы.

Спасибо за внимание.

Смотреть 23 слайд.