Производная и ее геометрический смысл
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Теория

Примеры решений

Производная степенной функции для любого действительного показателя:

'

Найти производную функции:

f(x)=x5

Решение:

'

с'=0;      x'=1

6'=0;  12'=0;   (-58)'=0

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(сf(x))'=cf'(x)

Найти производную функции:

f(x)=4x6

Решение:

'

Производная суммы равна сумме производных:

(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)

Найти производную функции:

f(x)=2x4-3x3+4x

Решение:

f '(x)=(2x4-3x3+4x)'=2∙4x4-1-3∙3x3-1+4=8x3-9x2+4

Производная произведения:

(f(x)∙g(x))'=f'(x)∙g(x)+ f(x)∙g'(x)

Найти производную функции   f(x)∙g(x),  если

f(x)=3x2-5,  g(x)=2x+7.

Решение:

(f(x)∙g(x))'=(3x2-5)'(2x+7)+ =(3x2-5)(2x+7)'=6x(2x-7)+(3x2-5)∙2=12x2-42x+6x2-10=18x2-42x-10

Производная частного:

,   при g(x)≠0

Найти производную функции:

f(x)=

Решение:

f'(x

Производные некоторых элементарных функций:

Найти производные функций:

Производная сложной функции:

(f(g(x)))'=f'(g(x))∙g'(x)

Найти производную функции:

f(x)=(2x+3)8

Решение:

f'(x)=((2x+3)8)'=8(2x+3)8-1∙(2x+3)'=8(2x+3)7∙2=

=16(2x+3)7

Найти производную функции:

f(x)=sin(4x3+3)

Решение:

f'(x)=(sin(4x3+3))'=cos(4x3+3)∙(4x3+3)'=

=cos(4x3+3)∙12x2=12x2∙cos(4x3+3)

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (x;f(x)).

f'(x)=tgα=k

Графиком касательной  y=kx+b является прямая.

y=kx+b

Число k=tgα называют угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой   и осью Ох.

1)Найти значение производной функции

 f(x)=2x3+4x2-2    в точке x0=2.

2)Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=2x3+4x2-2    в  точке с абсциссой x0=2

3)Найти тангенс угла между касательной к графику функции f(x)=2x3+4x2-2    в точке с абсциссой x0= 2  и осью Ох.

Решение:

f '(x)=(2x3+4x2-2)'=6x2+8x

f '(2)=6∙22+8∙2=6∙4+16=24+16=40

Ответ: f '(2)=40

Уравнение касательной к графику функции в точке (x0;f(x0))

y= f (x)+f '(x)∙(x-x0)

Написать уравнение касательной к графику функции   f(x)= 2x3+4x2-2

  в точке с абсциссой  x0= -2.

Решение:

f(-1)= 2(-2)3+4(-2)2-2=2∙(-8)+4∙4-2=-16+16-2=-2

f '(x)=( 2x3+4x2-2)'=6x2+8x

f '(2)=6∙(-2)2+8∙(-2)=6∙4-16=24-16=8

y= f (x)+f '(x)∙(x-x0)

y= -2+8(x+2)

y=-2+8x+16

y=8x+14

Ответ: y=8x+14