Методика обучения младших школьников решению задач на движение
статья (3, 4 класс) на тему

Методика обучения младших школьников решению задач на движение

1. Обучение решению простых текстовых задач на движение в одном направлении

Подготовительная работа к решению задач связанных с движением, предусматривает: обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной – скоростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние.

С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело (машина, человек, и т.п.) может двигаться быстрее и медленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных направлениях: либо приближаться друг к другу (двигаясь на встречу одно к другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса,  надо показать детям, как выполняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком; место отправления, встречи, прибытия  обозначают либо черточкой, либо флажком; направление движения указывают стрелкой.

Важным результатом ознакомления учащихся с простыми задачами на движение в одном направлении является усвоение простейших формул, связывающих такие величины, как скорость, время и расстояние (v, t, s ).

Рассмотрим основные пути усвоения зависимости между этими величинами, характеризующими равномерное движение.

На первом из уроков необходимо, опираясь на жизненный опыт и наблюдения учащихся обратить внимание детей на то, что некоторые предметы могут двигаться быстрее и медленнее. Например, велосипедист может обогнать пешехода, автомобиль – велосипедиста, самолет – автомобиль и т.д. Предметы могут двигаться равномерно. Так, например, пешеход может проходить за каждый час по 3 км; автомобиль может проезжать за каждый час по 100 км; бегун может пробегать за каждую секунду по 8 м и т.д. В этом случае говорят, что скорость (соответственно) пешехода – 3 км в час (записывают 3км/ч), автомобиля 100 км/ч, бегуна – 8 м/с.

При ознакомлении со скоростью необходимо так организовать работу учащихся, чтобы они сами нашли скорость своего движения пешком. Дети проходят расстояние за одну минуту. Учитель же сообщает, что расстояние, которое ученик прошел за 1 минуту называется скоростью. Учащиеся называют свои скорости. Затем учитель называет скорости некоторых видов транспорта и  подводит детей к выводу: скорость движения – это расстояние, которое проходит движущийся предмет за единицу времени. После этого рассматриваются простые задачи, на основании которых делается вывод, что для нахождения скорости движения предмета, нужно расстояние, которое прошел предмет, разделить на время, затраченное для этого. Если скорость обозначить буквой v, путь – буквой s, а время - буквой t, то можно записать этот вывод в виде формулы: v= s : t.

На последующих уроках с помощью решения соответствующих простых задач устанавливается, что расстояние равно скорости, умноженной на время: s = v *.t.

На основе решения  следующего вида   задач устанавливается, что время равно расстоянию, деленному на скорость:    t = s : v.  Можно обратить внимание учащихся на связь между этими тремя формулами (например, последняя формула может быть выведена из первой)

В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи:

• если известны расстояние (s) и время (t) движения, то можно найти скорость (v) действием деления: v=s: t
• если известны скорость (v) и время (t) движения, то можно найти расстояние (s)действием умножения: s=v*t
• если известны расстояние (s) и скорость (v), то можно найти время (t) движения действием деления: t=s: v.

Таким образом, специфика этих задач обуславливается введением такой величины, как скорость движения, а также использованием при их решении схем, которые отражают не отношения между величинами, а процесс движения и во многом облегчают поиск решения.

2.  Обучение решению составных задач на встречное движение и на движение в противоположных направлениях

Среди составных задач особое внимание должно быть уделено задачам на встречное движение и в противоположных направлениях. Содержание этих задач включает новый элемент: здесь представлено совместное движение двух тел, что требует специального рассмотрения.

До введения задач на встречное движение важно провести соответствующую подготовительную работу. Надо познакомить с движением двух тел навстречу друг другу. Такое движение могут продемонстрировать в классе вызванные ученики. Например, два ученика  начинают двигаться одновременно от двух противоположных стен навстречу друг другу, а при встрече останавливаются. Одноклассники наблюдают, что расстояние между пешеходами все время уменьшалось, что, встретившись, они прошли все расстояние от стены до стены, и что каждый из них  затратил на движение до встречи одинаковое время. Под руководством учителя выполняется чертеж. Ещё можно провести наблюдение на улице за движением пешеходов, велосипедистов, автомобилей.  Расширить представления учащихся о встречном движении можно попутно с решением задач из учебника. С помощью упражнений надо выяснить, что значит 'вышли одновременно' пешеходы, автомашины и т. п. и что при этом они были в пути до встречи одинаковое время. Необходимо также, чтобы дети  твердо усвоили связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием при равномерном движении, т. е. умели решать соответствующие простые задачи.

Прежде чем ввести задачи на встречное движение очень важно сформировать правильные понятия об одновременном движении двух тел. Важно, чтобы дети уяснили, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут в пути одинаковое время и пройдут все расстояние. Чтобы дети осознали это, следует включать задачи-вопросы, аналогичные следующим:

1. Из двух городов одновременно отплыли навстречу друг другу два теплохода и встретились через 3 часа. Сколько времени был в пути каждый теплоход?
2. Из деревни в город вышел пешеход и в это же время из города навстречу ему выехал велосипедист, который встретил пешехода через 40 минут. Сколько времени был в пути до встречи пешеход?

Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение. Целесообразно на одном уроке ввести все 3 вида, получая новые задачи путем преобразования данных в обратные. Такой прием позволяет детям самостоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решенной детьми.

На последующих уроках проводится работа по закреплению умения решать задачи рассмотренных видов.

Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставится вопрос вида: «Могли ли велосипедисты (теплоходы, пешеходы и т.п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи будут продолжать движение, то какой их них придет раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью и др.?

Также в 4 классе вводятся задачи на противоположное движение. Каждая из этих задач имеет 3 вида в зависимости от данных и искомого.

I вид – даны скорость каждого из тел и время движения, искомое – расстояние;

II вид – даны скорость каждого из тел и расстояние, искомое – время движения;

III вид – даны расстояние, время движения и скорость одного из тел, искомое – скорость другого тела.

Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проводя подготовительную работу, надо, чтобы дети пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, машин, катеров и т.д.) при одновременном выходе их одного пункта. Они должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже может на одном уроке решать три взаимообратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решений.

На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение и движение  в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач.

Далее учащиеся будут решать составные задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям с величинами s, t, v.

Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовать задачу на нахождение четвертого пропорционального, в задачу на пропорциональное деление, и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения. Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения творческого характера. До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получается в ответе большее число и почему, а после решения проверить, соответствуют ли этому виду полученные числа, что является одним из способов проверки решения. Можно далее выяснить, могли ли получиться в ответе одинаковые числа и при каких условиях.

При решении задач на движение в качестве средств наглядности, как правило, используются схематические чертежи,  так как чертеж помогает правильно определять и представлять жизненную ситуацию, отраженную в задаче. Однако в некоторых задачах на чертеже не всегда удается показать все величины и связи между ними, а также обозначить вопрос.

Приведем в качестве примера задачу: «Моторная лодка прошла путь от одной пристани до другой за 20 мин со скоростью 625 м/мин. На обратный путь она затратила на 5 мин больше. На сколько меньше была скорость лодки на обратном пути?»

Выяснив, что величины, фигурирующие в задаче – это время, скорость, расстояние, и опорные слова – туда и обратно, выполняется запись в следующем виде:

Далее выясняется, что для ответа на вопрос задачи необходимо найти скорость, с которой лодка двигалась обратно, а для этого нужно знать время и расстояние. Время, потраченное на обратный путь, находим сложением:

20 + 5 = 25 (мин). Теперь находим расстояние. Расстояние равно скорости, умноженной на время, а так как оно при движении туда и обратно одинаковое, то  625 х 20 = 12500(м),  а скорость равна расстоянию, деленному на время: 12500  : 25 =500  (м/мин). Теперь можно ответить на вопрос задачи. Для этого из большей скорости вычитаем меньшую:  625 – 500 = 125 (м/мин)

Сделав такую запись, учащимся проще ориентироваться  в выборе порядка выполнения действий и знака  выполняемого действия, так как в ней необходимы знания не только о взаимосвязях между величинами «скорость», «время», «расстояние», но и умения решать простые задачи на увеличение числа на несколько единиц и  задач на разностное сравнение.

Таким образом, после ознакомления со скоростью движения и изучения связи между величинами, скорость, время, расстояние, необходимо сформировать у детей умения и навыки решения задач на встречное движение  и движение в противоположных направлениях различных видов, а также умение решать и составлять задачи по чертежам и таблицам.

3. Организация работы на уроках математики при обучении младших школьников решению задач на движение.

Рассмотрим, как на практике вводятся простые задачи на движение в одном направлении. Учитель предлагает решить задачу:

Пешеход был в пути 3 часа. Он прошел расстояние 12 км. Каждый час он проходил одинаковое расстояние. Сколько км в каждый час проходил пешеход?

- Расстояние, пройденное пешеходом, обозначим отрезком. Сколько часов был в пути пешеход?

- Что еще сказано о пешеходе? На сколько равных частей мы должны разделить отрезок?

1 час                                 1час                                 1 час

_____________________________________________________________

                                           12 км

- А теперь внимательно посмотрите на чертеж и скажите: сколько километров  пешеход проходил в каждый час? (4 км)

- Как узнали? (12:3)

- Почему делили? (Потому что пешеход был в пути 3 часа, и в каждый час проходил одинаковое расстояние).

- Итак, сколько километров проходил пешеход в каждый час? (4 км)

-Число 4 обозначает, что в каждый час пешеход проходил по 4 км. Эта величина называется скоростью, которая показывает, какое расстояние проходит пешеход в каждый час.

- Давайте запишем решение и ответ  этой задачи

12 : 3 = 4 км/ч

Ответ: скорость пешехода 4 км/ч

- Итак, что же обозначает скорость? (Какое расстояние проходит пешеход в каждый час, т.е. какое расстояние проходит предмет за единицу времени).

Затем решается несколько задач на нахождение скорости, если известно расстояние и время [9, с. 5]

На следующем уроке вводятся простые задачи на нахождение расстояния

Велосипедист двигался со скоростью 16 км/ч. Какое расстояние проехал велосипедист за 3 ч?

- О каких величинах идет речь в задаче? (О скорости, времени, расстоянии).

- Расстояние обозначим отрезком. Сколько часов был в пути велосипедист? (3 ч)

- Что еще сказано о велосипедисте? (Что он двигался со скоростью 16 км/ч).  - Что это значит? (Что каждый час он проезжал 16 км).

- На сколько равных частей разделим отрезок? (На 3 равные части).

- Почему? (Так как был в пути 3 часа).

        16 км/ч            16 км/ч                16 км/ч

________________________________________________

                                         ? км

- А теперь посмотрите на чертеж и скажите: чему же равно расстояние, которое проехал велосипедист за 3 часа? (48 км)

- Как узнали? (16 х 3=48).

- Почему умножили? (Потому что каждый час велосипедист проезжал по 16 км, а ехал 3 ч, т.е. по 16 нужно взять 3 раза).

- Запишите решение и ответ задачи.

16 х 3 = 48 (км)

Ответ: 48 км проехал велосипедист.

После решения задач  с использованием чертежа учащиеся делают вывод.

- Посмотрите в таблицу и скажите, как найти расстояние, если известны скорость и время? (Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время) [9, с.6]

Теперь знакомимся с задачами на нахождение времени движения.

Автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч. За сколько часов он проехал расстояние, равное 240 км?

- О каких величинах идет речь в задаче? (О скорости, времени, расстоянии). Краткую запись будем составлять в виде таблицы.

- Что сказано о расстоянии? (Что автомобиль проехал 240 км). Запишем это в таблицу.

- Что сказано о скорости? (Что автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч). Запишите это в таблицу.

- О чем спрашивается в задаче? (Сколько часов был в пути автомобиль?) Обозначим в таблице.

- Что обозначает скорость? (Автомобиль проезжал по 60 км в ч).

- Сколько времени потратил автомобиль на весь путь? (4 ч)

- Как узнали? (240 : 60)

- Почему? (Автомобиль проезжал по 60 км в ч, а всего 240 км).

- Запишите решение задачи и ответ задачи.

240 : 60 = 4 (ч)

Ответ: за 4 ч он проехал это расстояние.

После этого учащиеся  решают  несколько задач на  нахождение времени [9, с.7]  и делают вывод.

- А теперь посмотрите на таблицу и скажите: как же найти время, если известно расстояние и скорость?

На последующих уроках решаются все три типа задач вперемешку.

Рассмотрим введение составных задач на встречное движение и на движение в противоположных направлениях

Из двух поселков одновременно навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста и встретились через 2 часа. Один ехал со скоростью 15 км/ч, а второй – 18 км/ч. Найти расстояние между поселками.

- Что известно о движении велосипедистов? Что надо узнать?

- Пусть это будет поселок, из которого вышел 1 велосипедист (Учитель выставляет в наборное полотно карточку с римской цифрой «I»).

- А это поселок, из которого выехал 2 велосипедист (Выставляет карточку «II»).

- Двое из вас будут велосипедистами. (Выходят два ученика).

- С какой скоростью ехал 1 велосипедист? (15 км/ч). Это твоя скорость. (Учитель дает карточку, на которой написано число 15).

- С какой скоростью ехал II велосипедист? (18 км/ч).  Это твоя скорость. (Дает второму ученику карточку с числом 18).

- Сколько времени они будут двигаться до встречи? (2 часа).

- Начинайте двигаться. Прошел час (Дети вставляют одновременно свои карточки в наборное полотно).

- Прошел второй час. (Дети вставляют карточки).

- Встретились ли велосипедисты? (Встретились).

- Почему? (Шли до встречи 2 часа).

- Обозначим место встречи. (Вставляет  флажок).

- Что надо узнать? (Все расстояние). Обозначу вопросительным знаком.

             15 км/ч         18 км/ч

        ? км

После такого разбора учащиеся сами находят два способа решения. Решение надо записать с пояснением сначала определенными действиями, а позднее можно записать выражением или уравнением.

I способ

1. 15 х 2=30 (км) проехал первый велосипедист
2. 18 х 2=36 (км) проехал второй велосипедист
3. 30 + 36=66 (км) расстояние между поселками

II способ

1. 15 + 18=33 (км) сблизились велосипедисты в 1 час
2. 33 х 2 = 66 (км) расстояние между поселками

Если дети затрудняются в решении II способом, надо вновь проиллюстрировать движение: прошел час – сблизились на 33 км, то есть велосипедисты 2 раза проехали по 33 км. То есть по 33 взять сколько раз? (2 раза).

Учитель на доске, а дети в тетрадях выполняют чертеж к решенной задаче.

      15км/ч              2 ч               18 км/ч

I ._________________________________________________. II

?  км

Выясняется, какой из велосипедистов прошел до встречи большее расстояние и почему.

Учитель изменяет условие задачи, используя тот же чертеж.

      15км/ч                            ? ч                     18 км/ч

I ._______________________________________________. II

66 км

Дети составляют задачу по этому чертежу, затем коллективно разбирается, после чего записывается решение с пояснением. Условие задачи еще раз меняется.

     ? км/ч                              2 ч                        18 км/ч

I ._______________________________________________ II

66 км

Ученики составляют задачу, после чего коллективно разбирают 2 способа решения.

I способ.

1. 18*2=36 (км) проехал до встречи II велосипедист
2. 66-36=30 (км) проехал до встречи I велосипедист
3. 30:2=15 (км/ч) скорость I велосипедиста

II способ

1. 66:2=33 (км) сближались велосипедисты в час
2. 33-18=15 (км/ч) скорость I велосипедиста

Решение и анализ задач на движение в противоположном направлении.

Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях отплыли два катера. Один плыл со скоростью 25 км/ч, другой – со скоростью 30 км/ч. Какое расстояние стало между ними через 2 часа?

- Как вы думаете, сколько способов решения имеет данная задача? (2 способа)

- Какой главный вопрос задачи?

- Что нужно знать, чтобы ответить на главный вопрос задачи? (Сколько километров прошел первый катер за 2 часа и сколько километров прошел 2 катер за 2 часа)

- Нам это известно? (нет)

- Что нужно знать, чтобы найти расстояние первого катера? (скорость первого катера и время, за которое он прошел определенный путь)

- Нам это известно? (да)

- С помощью какого действия мы найдем расстояние, которое прошел 1 катер? (умножения)

Что нужно знать, чтобы найти расстояние второго катера? (скорость второго катера и время, за которое он прошел определенный путь)

- Нам это известно? (да)

- С помощью какого действия мы найдем расстояние, которое прошел 2 катер? (умножения)

- Зная расстояние, которое прошли катера за 2 часа, можем мы ответить на вопрос задачи? (да)

- С помощью какого действия? (сложения)

- Это первый способ решения задачи.

1 способ

Решение:

25 x 2 = 50 (км) – прошел первый катер за 2 часа

30 x 2 = 60 (км) – прошел второй катер за 2 часа

50 + 60 = 110 (км) – расстояние между катерами через 2 часа

Ответ:

110 км расстояние между катерами

- Как еще можно решить данную задачу?

(Найти скорость удаления катеров, затем расстояние между катерами через 2 часа)

2 способ

Решение:

1) 25 + 30 = 55 (км/ч) – скорость удаления катеров

2) 55 x 2 = 110 (км) – расстояние между катерами через 2 часа

Ответ:

110 км расстояние между катерами

- Далее ученикам предлагается сравнить эти два способа решения задачи. Какое новое понятие вводится во втором способе решения? Что такое скорость удаления? (Это расстояние, на которое удаляются катера друг от друга за час)

Задачи  на движение являются тем видом задач, которые могут быть включены на разных уровнях сформированности умения решать задачи. Процесс движения многогранен,  т.е. в различных ситуациях он может совершаться при разных условиях и иметь различные результаты. В связи с этим,  задачи на движение могут варьироваться от простых задач до задач повышенной сложности.

После ознакомления со скоростью движения и изучения связи между величинами, скорость, время, расстояние, необходимо сформировать у детей умения и навыки решения задач на встречное движение различных видов, а также умение решать и составлять задачи по чертежам и таблицам. Ученики должны научиться сравнивать задачи и выявлять сходное и различное, составлять задачи по выражениям.

Сложность обучению решению задач на движение имеет несколько причин. Во-первых, задачи на движение имеют много видов. Во-вторых, в задачах на движение описывается не одна «застывшая» ситуация, а процесс движения в динамике его развития, то есть несколько связанных между собой ситуаций. Это вызывает у учащихся трудности на первом же этапе решения задачи, то есть ещё при анализе, так как не все дети могут связать описанные ситуации в нужной последовательности. Поэтому,  важное  значение имеет подготовительный этап, который должен начинаться задолго до того, как начнётся само обучение решению задач на движение.